浅析微积分在金融领域中的运用.doc

长春工程学院本科生论文

论文题目：浅析微积分在金融领域中的运用

学 院 管理学院
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指导教师单位 长春工程学院房地产教研室

2011 年 3 月 15 日

浅析微积分在金融领域中的运用

摘 要

随着社会的发展，数学与经济学相互促进共同发展已被越来越多的人认识和接受。而微积分作为数学的基础性理论也在众多领域得到广泛应用。本文将利用微积分方法解决一些经济问题，浅析商业银行领域连续复利计算问题、银行存款利率问题、银行反复投资抵押贷款问题，研究证券投资领域证券投资预测中常用的技术分析体系和分析指标，从基础方面讨论其数学理论的应用，分析商品经济领域生产量、成本与利润和需求量（销售量）、价格与收益的关系，从而研究怎样确定或变动产品的生产量、销售量，以及商品的价格，从而用数学的语言代替传统的解决方法，使问题简单化，工作简易化。

关键词：微积分；经济学；投资；商品；利润

ANALYSES THE APPLICATION IN THE FINANCIAL SECTOR CALCULUS

ABSTRACT

With the development of society, mathematics and economics mutual promoting common development has been more and more people known and acceptd. And calculus of fundamental theory as math is widely used in many fields. This article will use the calculus method to solve some economic issues, the author continuous compounding commercial banking sector, the interest rate on bank deposits, Banks, mortgage problems repeatedly investment securities investment field study of securities investment prediction commonly used technical analysis system and analysis indicators, from basic aspects discuss its application of mathematical theory, analyzes the commodity economy field with profits and production, costs, and demand (sales) of price,earnings relations, so as to study how to determine or change the production, sales, product and the prices of goods, thus using mathematical language instead of traditional solutions, make things simple, work facilitation.

Key words: Calculus; Economics; Investment; Commodities; profits

目 录

1. 绪论 1
1.1国内外研究现状 1
1.2 微积分对经济学的作用和意义 1
2.微积分在商业银行领域运用的实例分析 2
2.1 复利 2
2.1.1复利与连续复利 2
2.2 贴现 3
2.3 消费函数与储蓄函数 4
2.4 外币兑换中的损失 4
3. 微积分在证券投资领域运用的实例分析 4
3.1 投资比例问题 4
3.2 边际函数 5
4.微积分在商品经济领域运用的实例分析 6
4.1 需求函数与供给函数 6
4.2 总成本函数、总收入函数和总利润函数 7
5.微积分对未来经济生活的影响 7
结语 8
参考文献 9

1. 绪论

微积分在金融领域中的应用十分基础和广泛，是学好经济学、剖析现实经济现象的基本工具。作为经济类的大学本科学生，我们无论对高等代数、线性代数还是概率论与数理统计等各方面数学学习都应该给予很高的重视，这样才能深入探究西方经济学、国际经济学、计量经济学等经济学学科，为今后的学习工作打下良好的基础。
1.1国内外研究现状
目前无论是国内还是国外，数学在经济学领域的应用都很广泛，但国内的应用比较粗浅，国外更热衷理论技巧。总体来看，经济研究主要集中在最发达的市场经济国家，这些国家社会经济相对成熟、稳定，新的经济现象不多，但是作经济研究的人很多，在美国各行各业的经济学家有5万多，单单在大学教书的就有一万多，尤其是在大学教书的教授必须不断写论文，可是又没有多少新的问题可以研究，因此大部分的人会倾向于比技巧。因而不论是国内还是国外微积分在金融中的运用都比较浅显，但运用领域很广。
1.2 微积分对经济学的作用和意义
1.2.1 微积分与经济学的联系
经济学,从本质上说,就是这样一个数学公式:F(x)=f(x1,x2…,xn),其中x1,x2…,xn是经济生活中的各种变量因素，而F(x)就是这若干因素相互影响、相互联系而最终导致的结果，也就是我们在生活中随处可见的经济现象。经济学与数学是密不可分息息相关的［1］蔡洪新. 微积分在经济学中的应用分析[J]. 数学学习与研究,2010.9(19).
。数学对于经济学来说，是一个透过现象看本质的必不可少的工具。只有结合数学，才能使经济学从一个仅仅对表面现象进行肤浅的常识推理、流于表面化的学科，变为一个用科学的方法进行数理分析、再结合各社会学科的丰富知识，从而分析出深层次的、更具有广泛应用性的基本结论的学科。
1.2.2微积分的应用意义
可以说，数学与经济学联系最紧密的纽带莫过于微分。因为经济学的核心词语“边际”便是一个将导数经济化的概念。比如说，“边际效用”是说在多消费一单位x产品时，对消费者所增加（或减少）的效用。通过研究各种带有边际含义的经济变量，再赋予一定的样本数值，我们便可找出达到生产最大化、利润最大化、帕累托最优配置等一系列最优选择的条件，再将其适用性尽量扩大到实际生产应用中，达到优化经济的效果［2］邱香兰. 一元微积分在经济学中的应用[J]. 商场现代化,2009,6(577).
。
“弹性”这个在经济学中无处不在的词语更是体现了数学思想的重要性。比如说需求的收入弹性，即需求与收入二者的变化率之比，其经济含义为其他条件不变时，收入的变化将引起多大程度的需求变化。
除了上述两个例子之外，还有“规模报酬、柯布-道格拉斯生产函数、拉弗椭圆、货币乘数、马歇尔－勒那条件、李嘉图模型…”等无数的经济概念和原理是在充分运用导数、积分、全微分等各种微积分知识构建的。

2.微积分在商业银行领域运用的实例分析

2.1 复利
2.1.1复利与连续复利
设一笔本金A0存入银行,年复利率为r,在下列情况下,分别计算t年后的本利和：
a)一年结算一次；
b)一年分n期计息,每期利率按计算；
c)银行连续不断地向顾客付利息,即,此种计息方式称为连续复利.
解 a) 一年结算一次时,一年后的本利和为A1=A0+ A0r=A0(1+r),第二年后的本利和为A2= A1(1+r)= A0(1+r)2,依此递推关系, t年后的本利和为At= A0(1+r)t.
b) 一年结算n次, t年共结算nt次, 每期利率为,则t年后的本利和为t= A0(1+)nt.
c)计算连续复利时, t年后的本利和t为b)中结果t在时的极限

类似于连续复利问题的数学模型,在研究人口增长、林木生长、设备折旧等问题时都会遇到,具有重要的实际意义［3］金慧萍，吴妙仙. 高等数学实践教学之探讨[J]. 丽水学院学报,2010,4(2).
3］.
在上述问题中,相同的利率(称为名义利率),由于复利种类不同,产生不同的利息,即产生不同的实际利率(也称为有效收益率),用re表示.
设存期为t年,年名义复利率为r,每年结算n次,相应的实际年复利率为re,则
A0(1+re)t =A0
1+re=
re=
若以相同的年名义利率计算连续复利,则

［4］邹鳃玉. 关于经济指标因素分析的微积分法[J].青岛海洋大学学报,1996,2(3).

例1 设投资1000元,年利率为6%,计算其实际年利率.a)半年复利一次；b)计算连续复利.
解 a) 半年复利一次,实际年利率为
re=
b) 计算连续复利,实际年利率为
re=［5］叶中华. 经济理论中的数学应用[J].人文论坛,2010.

2.2 贴现
以A0元存入银行,年复利率为r, t年后变为At= A0(1+r)t元.称At= A0(1+r)t为本金A0的终值；反之,若要t年后有At 元,现在只需存入银行A0= At元,即t年后的At 元只相当于现在的A0= At元,称A0= At为t年后资金At的现值,此时,r也称为贴现率［6］邹永红.浅谈高等数学中微积分的经济应用[J]. 法制与经济,2009,1(192).
6］。
若一年计算复利n次,则本金A0在t年后的的终值为A0(1+)nt；t年后的资金A的现值为.
若计算连续复利,则本金A0在t年后的的终值为A0ert；t年后的资金A的现值为.
例2 假定你为了孩子的教育,打算在一家投资担保证券公司(GIC)投入一笔资金.你需要这笔投资10年后价值为12000美元.如果GIC以年利率9%、每年支付复利四次的方式付息,你应该投资多少美元？如果复利是连续的,应投资多少美元？
解 若每年复利四次,则10年后12000美元的现值为
P=12000(美元)
如果是连续复利,则10年后12000美元的现值为
P=12000(美元)
在两种复利方式下,分别应投资4927.75美元和4878.84美元［7］白锦龙. 浅议数学在国民经济中的应用[J].网络财富,2010,2.
7］。

2.3 消费函数与储蓄函数
宏观经济学中,用Y表示国民收入,C表示居民的消费支出,S表示居民的储蓄(可支配收入中没有被消费的部分).在不考虑其他因素的前提下,消费C与储蓄S均为国民收入Y的函数C=C(Y),S=S(Y),分别称为消费函数与储蓄函数.显然Y=C+S［8］唐燕玉. 试论商品经济领域中的微积分方法[J]. 安庆师院学报,1996,5
8］。
2.4 外币兑换中的损失
某人从美国去加拿大度假,他把美元兑换成加拿大元时,币面数值增加12% ,回国后他发现将加拿大元兑换成美元时,币面数值减少了12%.问经过这一来一回的兑换后,他亏损了吗？
设为将x美元兑换成的加拿大元数,为将x加拿大元兑换成的美元数,则
=1.12x,

而故不互为反函数,即经过这一来一回的兑换后,他亏损了1.44%［9］高彦. 数学在经济分析中的应用[J]. 大众文艺,2010.
9］.

3. 微积分在证券投资领域运用的实例分析

3.1 投资比例问题
例3：一基金管理人拟对三种证券进行组合投资，在投资的期望收益率不低于17%的前提下，使投资的风险最小。已知三种证券的各期收益率如下表，试决定其投资组合。
期次证券
１
２
３
４
５
６
证券１
14.5%
15.5%
16.5%
15.0%
17.5%
17.0%
证券２
16.5%
17.0%
20.0%
19.0%
17.0%
18.5%
证券３
14.8%
12.8%
13.2%
13.5%
14.5%
15.2%

解：三种证券的预期收益率向量以及协方差矩阵Ａ可由统计数据估计，用样本矩作为总体矩的点估计，则有

其中
为第种证券在第期的投资收益率。
于是可得的估计

由所给数据求得
，
为使在投资的期望收益率不低于17%前提下，使投资的风险最小，可建立组合证券投资决策的均值—方差模型：
:

这是一个二次规划问题，利用计算机软机（如ＬＩＮＧＯ）可求得，结果如下：

即三种证券的投资比例分别为23.16%,63.42% 和13.42%［10］廖东. 谈谈数学与经济学的关系[J]. 科技信息, 2010年第7期
。
3.2 边际函数
可以说，数学与经济学联系最紧密的纽带莫过于微分。因为经济学的核心词语“边际”（margin）便是一个将导数经济化的概念。
经济学上将函数的导数称为边际函数.以总成本函数C=C(Q)为例,其导数

称为边际成本函数,也记为MC,显然.
为在Q到产量间隔内的平均成本,当很小时

取(经济学上通常认为1个单位已经相当小了),则

说明在投资为Q时,投资最后一个单位的产品花费的成本约为［11］朱倍申. 微积分在经济分析中的应用初探[J]. 魅力中国,2010 年3 月
。
例4 设到时刻t(单位：年)总资本为K=K(t),称为资本存量.其导数称为净投资函数,即第t年的净投资额的近似值.若资本存量为

其中150是初始资本.求前4年的净投资额及第9年的投资额［12］谭瑞林 刘月芬. 微积分在经济分析中的应用浅析[J]. 商场现代化,2008年2月
12］.
解: 前4年的净投资额为

由净投资函数

可得第9年的投资额约为

4.微积分在商品经济领域运用的实例分析

4.1 需求函数与供给函数
需求量是指在特定时间内,消费者打算并能够购买的某种商品的数量,用Qd表示.影响需求的因素很多,主要有：商品的价格P,与此商品有关的其他商品的价格P1, P2 ,…,Pn,个人的收入M,消费者对未来商品价格的预期pe,个人的偏好h等等［13］李桂芬. 微积分在经济问题中的应用[J]. 济南大学学报, 1993年第3期
13］.
若除商品的价格P外,影响需求的其他因素不变,则Qd是P的一元函数
Q d = f (P)
它通常是一个单调减函数,常见的需求函数有

有时,也把Qd = f (P)的反函数称为需求函数.
如果影响需求的各种因素均变化,则Qd是各因素的多元函数

供给量是指在特定时间内,厂商愿意并且能够出售的某种商品的数量,用Qs表示.影响供给的主要因素有：商品的价格P,与此商品有关的其他商品的价格P1, P2 ,…,Pn,厂商对未来商品价格的预期Pe,生产投入的的要素成本C及厂商的技术状况等［14］孙昌龙. 微积分在经济中的一些简单应用[J]. 文教论坛, 2007年第9期
14］.
若除了商品的价格P外,影响供给的其他因素均不变,则Qs是P的一元函数
Q s = g (P)
它通常是一个单调增函数,常见的供给函数有

如果影响供给的各种因素均变化,则
Qs是各因素的多元函数
图1—1

当Qd=Qs时,市场的供需处于平衡状态,此时的价格称为均衡价格,需求(或供给)量称为均衡数量(如图1—1所示).
当商品由某厂商独家生产时,厂商是价格的制定者,它自然会考虑消费者对价格的反应并依需求规律组织生产,其产量即需求量,价格与产量(需求量)的关系由需求函数确定,称该商品市场为完全垄断市场；当商品由众多互不占优势的厂商共同生产时,各厂商之间、消费者之间展开竞争并最终使市场处于均衡状态,此后商品价格即为均衡价格,单一厂商或消费者的行为(改变产量或需求量)不再影响市场均衡,称该商品市场为完全竞争市场.
4.2 总成本函数、总收入函数和总利润函数
在生产和经营活动中,如果投入的各要素价格不变,则成本C是产量或销售量Q的函数C=C(Q),称为总成本函数.一般地,总成本由固定成本C0和可变成本C1两部分组成
C (Q)= C0+ C1(Q)
其中固定成本与产量无关,如厂房、设备的折旧费、企业管理费等,可变成本随产量的增加而增加,如原材料、动力、工人的工资等.常见的成本函数有
C (Q)= C0+aQ (a>0)
以总成本除以产量,得平均成本函数

其中与分别称为平均固定成本与平均可变成本.
厂商销售Q单位的商品所得收入为R=R(Q),称为总收入(益)函数.设商品的价格为P,则总收入函数为
R (Q)=PQ
若商品的需求函数为,且产销均衡,则总收入函数为
R(Q)=PQ=Q
总利润L是总收入R与总成本C之差, 故总利润函数为
［15］尹建华. 应用微积分解决一些经济问题[J]. 承德民族师专学报, 2008年5月

5.微积分对未来经济生活的影响

数学学习是一种培养学生综合素质的有效手段,在教学实践中给学生树立建模的思想对学生的综合素质发展有很大的帮助,也有助于提高我们的学习积极性，微积分在经济学中的运用是非常基础与广泛的。只有学好微积分知识，我们才能对现实中纷繁复杂的经济现象进行剖析与研究，在国家宏观和企业微观的不同层面提出经济政策建议，从而对社会更好的进行服务。
对企业经营者来说，对其经济环节进行定量分析是非常必要的。将微积分作为分析工具，不但可以给企业经营者提供精确的数值，而且在分析的过程中，还可以给企业经营者提供新的思路和视角，这也是数学应用性的具体体现。因此，作为一个合格的企业经营者，应该掌握相应的微积分分析方法，从而为科学的经营决策提供可靠依据。
因此，我们当代大学生学习微积分的重要性就显而以见的了，我们要想在21世纪的社会有一个立足之地就需要全面的发展自己，而我们学习的微积分又是这里面的重中之重！我们只有认清当今社会的人才培养目标，深入的学习微积分，使微积分在我们的人生中起到应有的作用，为社会做到最大的效益!

结语

由此可见，微积分在经济学中的应用是非常基础和广泛的。只有学好微积分知识，并将所学知识灵活熟练地运用到生活的经济现象中，我们才能更加对经济工作得心应手，从而对社会更好的进行服务，实现自己的人生价值。

参考文献
[1] 蔡洪新. 微积分在经济学中的应用分析[J]. 数学学习与研究,2010,9(19).
[2] 邱香兰. 一元微积分在经济学中的应用[J]. 商场现代化,2009,6(577). [3] 金慧萍，吴妙仙. 高等数学实践教学之探讨[J]. 丽水学院学报,2010,4(2).
[4] 邹鳃玉. 关于经济指标因素分析的微积分法[J].青岛海洋大学学报,1996,2(3).
[5] 叶中华. 经济理论中的数学应用[J].人文论坛,2010.
[6] 邹永红.浅谈高等数学中微积分的经济应用[J]. 法制与经济,2009,1(192).
[7] 白锦龙. 浅议数学在国民经济中的应用[J].网络财富,2010,2.
[8] 唐燕玉. 试论商品经济领域中的微积分方法[J]. 安庆师院学报,1996,5.

[9] 高彦. 数学在经济分析中的应用[J]. 大众文艺,2010.
[10] 廖东. 谈谈数学与经济学的关系[J]. 科技信息, 2010年第7期。
[11] 朱倍申. 微积分在经济分析中的应用初探[J]. 魅力中国,2010 年3 月。
[12] 谭瑞林 刘月芬. 微积分在经济分析中的应用浅析[J]. 商场现代化,2008年2月。
[13] 李桂芬. 微积分在经济问题中的应用[J]. 济南大学学报, 1993年第3期。
[14] 孙昌龙. 微积分在经济中的一些简单应用[J]. 文教论坛, 2007年第9期。
[15] 尹建华. 应用微积分解决一些经济问题[J]. 承德民族师专学报,2008年5月。