高考全国Ⅰ理科数学试题及答案word解析版.docx

2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ）
数学（理科）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）【2014年全国Ⅰ，理1，5分】已知集合，，则=（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】∵，，∴，故选A．
（2）【2014年全国Ⅰ，理2，5分】（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】∵，故选D．
（3）【2014年全国Ⅰ，理3，5分】设函数，的定义域为，且是奇函数，是偶函
数，则下列结论中正确的是（ ）
（A）是偶函数 （B）是奇函数 （C）是奇函数 （D）是奇函数
【答案】C
【解析】∵是奇函数，是偶函数，∴为偶函数，为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得为奇函数，故选C．
（4）【2014年全国Ⅰ，理4，5分】已知是双曲线：的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为（ ）
（A） （B）3 （C） （D）
【答案】A
【解析】由：，得，，设，一条渐近线，即，则点到的一条渐近线的距离，故选A．
（5）【2014年全国Ⅰ，理5，5分】4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】由题知，且，所以
，解得，故选D．
（6）【2014年全国Ⅰ，理6，5分】如图，圆的半径为1，是圆上的定点，是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则在上的图像大致为（ ）

（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【解析】如图：过作于，则，,在中，，∴，故选B．
（7）【2014年全国Ⅰ，理7，5分】执行下图的程序框图，若输入的分别为1,2,3，则输出
的（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】输入；时：；
时：；时：；
时：输出，故选D．
（8）【2014年全国Ⅰ，理8，5分】设，，且，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【解析】∵，∴，，，∴，即，故选B．
（9）【2014年全国Ⅰ，理9，5分】不等式组的解集记为．有下面四个命题：：，
：,：，：．其中真命题是（ ）
（A）， （B）， （C）， （D），
【答案】C
【解析】作出可行域如图：设，即，当直线过时，，
∴，∴命题、真命题，故选C．
（10）【2014年全国Ⅰ，理10，5分】已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点， 是直线与的一个交点，若，则（ ）
（A） （B） （C）3 （D）2
【答案】C
【解析】过作于，∵，∴，又，∴，
由抛物线定义知，故选C．
（11）【2014年全国Ⅰ，理11，5分】已知函数，若存在唯一的零点，且， 则的取值范围为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【解析】解法一：
由已知，，令，得或，
当时，；
且，有小于零的零点，不符合题意．
当时，
要使有唯一的零点且，只需，即，，故选B．
解法二：
由已知，有唯一的正零点，等价于有唯一的正零根，令，则问题又等价于有唯一的正零根，即与有唯一的交点且交点在在轴右侧记，，由，，，
，要使有唯一的正零根，只需，故选B．
（12）【2014年全国Ⅰ，理12，5分】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（ ）
（A） （B） （C）6 （D）4
【答案】C
【解析】如图所示，原几何体为三棱锥，其中，，故最长的棱的长度为，故选C．
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分
（13）【2014年全国Ⅰ，理13，5分】的展开式中的系数为 ．（用数字填写答案）
【答案】
【解析】展开式的通项为，∴，，
∴的展开式中的项为，故系数为．
（14）【2014年全国Ⅰ，理14，5分】甲、乙、丙三位同学被问到是否去过、、三个城市时，甲
说：我去过的城市比乙多，但没去过城市；乙说：我没去过城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为 ．
【答案】
【解析】由乙说：我没去过城市，则乙可能去过城市或城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 城市，则乙只能是去过，中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为．
（15）【2014年全国Ⅰ，理15，5分】已知，，是圆上的三点，若，则与的夹角为 ．
【答案】
【解析】∵，∴为线段中点，故为的直径，∴，∴与的夹
角为．
（16）【2014年全国Ⅰ，理16，5分】已知分别为的三个内角的对边，，且，则面积的最大值为 ．
【答案】
【解析】由且 ，即，由及正弦定理得：，∴，故，∴，∴，
，∴．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）【2014年全国Ⅰ，理17，12分】已知数列的前项和为，，，，其中为常数．
（1）证明：；
（2）是否存在，使得为等差数列？并说明理由．
解：（1）由题设，，两式相减，由于，
所以． ……6分
（2）由题设，，可得，由（1）知
假设为等差数列，则成等差数列，∴，解得；
证明时，为等差数列：由知：数列奇数项构成的数列是首项为1，公差为
4的等差数列，令则，∴
数列偶数项构成的数列是首项为3，公差为4的等差数列，令则，
∴，∴（），
因此，存在存在，使得为等差数列． ……12分
（18）【2014年全国Ⅰ，理18，12分】从某企业的某种产品中抽取500件，测
量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
（1）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组
数据用该区间的中点值作代表）；
（2）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分
布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．
（i）利用该正态分布，求；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示100件产品中质量指标值为区间（187.8,212.2）
的产品件数，利用（i）的结果，求．
附：．若，则，=0.9544．
解：（1）抽取产品质量指标值的样本平均数和样本方差分别为：

． ……6分
（2）（ⅰ）由（1）知，从而． ……9分
（ⅱ）由（ⅰ）知，一件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的概率为0.6826
依题意知，所以． ……12分
（19）【2014年全国Ⅰ，理19，12分】如图三棱柱中，侧面为菱
形，．
（1）证明：；
（2）若，，，求二面角的余弦值．
解：（1）连结，交于，连结．因为侧面为菱形，所以，
且为与的中点．又，所以平面，故
又 ，故． ……6分
（2）因为且为的中点，所以，又因为，所以，故，从而，，两两互相垂直． 以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示空间直角坐标系． 因为，所以为等边三角形．又，则，，，，，， ，设是平面的法向量，则，即 所以可取，设是平面的法向量，则，同理可取，则，所以二面角的余弦值为． ……12分
（20）【2014年全国Ⅰ，理20，12分】已知点，椭圆：的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点．
（1）求的方程；
（2）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程．
解：（1）设，由条件知，得，又，
所以，，故的方程． ……6分
（2）依题意当轴不合题意，故设直线：，设，将代入，
得，当，即时，
从而，又点到直线的距离，所以的
面积，设，则，，
当且仅当，等号成立，且满足，所以当的面积最大时，的方程为：
或． .……12分
（21）【2014年全国Ⅰ，理21，12分】设函数，曲线在点处的切线为
．
（1）求；
（2）证明：．
解：（1）函数的定义域为，
由题意可得，故． ……6分
（2）由（1）知，，从而等价于，设函数，则
，所以当时，，当时，，故在单调减，
在单调递增，从而在的最小值为(． ……8分
设函数，则，所以当时，，当时，，
故在单调递增，在单调递减，从而在的最小值为．
综上：当时，，即 .……12分
请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
（22）【2014年全国Ⅰ，理22，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，四边形是的内
接四边形，的延长线与的延长线交于点，且．
（1）证明：；
（2）设不是的直径，的中点为，且，证明：为等边三角形． 
解：（1）由题设得，，，，四点共圆，所以，
又，，所以 ……5分
（2）设的中点为，连结，则由知，故在直线上，
又不是的直径，为的中点，故，即，
所以，故，又，故，
由（1）知，，所以为等边三角形． ……10分
（23）【2014年全国Ⅰ，理23，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线，直线（为参数）．
（1）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；
（2）过曲线上任意一点作与夹角为30°的直线，交于点，求的最大值与最小值．
解：（1）曲线的参数方程为（为参数）直线的普通方程为． ……5分
（2）曲线上任意一点到的距离为，
则，其中为锐角，且，
当时，取得最大值，最大值为
当时，取得最小值，最小值为． ……10分
（24）【2014年全国Ⅰ，理24，10分】（选修4-5：不等式选讲）若，且 ．
（1）求的最小值；
（2）是否存在，使得？并说明理由．
解：（1）由，得，且当时等号成立．
故，且当时等号成立，所以的最小值为． ……5分
（2）由（1）知，，由于，从而不存在，使得． ……10分
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