2023年温度和气体分子运动论.doc

热学教程
第一讲 温度和气体分子运动论

§1。1 温度
1．1．1、平衡态、状态参量
温度是体现物体冷热程度物理量。但凡跟温度有关现象均称为热现象。热现象是自然界中一种普遍现象。
热学是研究热现象规律科学。热学研究对象都是由大量分子构成宏观物体，称为热力学系统或简称系统。在不受外界影响条件下，系统宏观性质不再随时间变化状态称为平衡态，否则就称为非平衡态。可见系统平衡态变化依赖于外界影响(作功、传热)。
系统处在平衡态，所有宏观物理都具有确定值，咱们就可以选用其中几种物理量来描述平衡态，这几种量称为状态参量。P、V、T就是气体状态参量。
气体体积V是指盛放气体容器容积，国际单位制中，体积单位是m。
1m=103L=10cm
气体压强P是气体作用在容器单位面积器壁上平均压力，单位是p。
1atm=76cmHg=1.01310p
1mmHg=133.3p
1．1．2、 温标
温度数值体现法称为温标。建立温标三要素是：
1、选用某种物质一种随温度变化发生单调明显变化属性来标志温度，制作温度计。例如液体温度计T(V)、电阻温度计T(R)、气体温度计T(P)、T(V)等等。这种选用某种测温物质某一测温属性建立温标称为经验温标。
2、规定固定点，即选定某一易于复现特定平衡态指定其温度值。1954年此前，规定冰点为0℃，汽点为100℃，其间等分100份，从而构成旧摄氏温标。1954年后来，国际上选定水三相点为基本固定点，温度值规定为273.16K。这样0℃与冰点，100℃与汽点不再严格相等，百分温标概念已被废弃。
3、规定测温属性随温度变化函数关系。假如某种温标(例如气体温度计)选定为线性关系，由于不一样物质同一属性或者同一物质不一样属性随温度变化函数关系不会相似，因而其他温标就会出现非线性函数关系。
1．1．3、理想气体温标
定容气体温度计是运用其测温泡内气体压强大小来标志温度高下。
T(P)=P
是比例系数，对水三相点有
T=P=273.16K
P是273.16K时定容测温泡内气体压强。于是
T(P)=273.16K (1)
同样，对于定压气体温度计有
T(V)=273.16K (2)
是273.16K时定压测温泡内气体体积。
用不一样温度计测量同一物体温度，除固定点外，其值并不相等。对于气体温度计也有。不过当测温泡内气体压强趋于零时，所有气体温度计，无论用什么气体，无论是定容式还是定压式，所测温度值差异消失而趋于一种共同极限值，这个极限值就是理想气体温标值，单位为K，定义式为
T=T(V)=T(P)
=273.16K=273.16K (3)
1．1．4、热力学温标
理想气体温标虽与气体个性无关，但它依赖于气体共性即理想气体性质。运用气体温度计通过试验与外推相结合措施可以实现理想气体温标。但其测温范围有限(1K～1000℃)，T＜1K，气体早都已液化，理想气体温标也就失去意义。
国际上规定热力学温标为基本温标，它完全不依赖于任何测温物质性质，能在整个测温范围内采用，具有“绝对”意义，有时称它为绝对温度。在理想气体温标合用范围内，热力学温标与理想气体温标是一致，因而可以不去区别它们，统一用T(K)体现。
国际上还规定摄氏温标由热力学温标导出。其关系式是：
t=T-273.15 (4)
这样，新摄氏温标也与测温物质性质无关，能在整个测温范围内使用。目前已到达最低温度为510K，不过绝对零度是不也许到达。
例1、定义温标t与测温参量X之间关系式为t=ln(kX),k为常数
试求：(1)设X为定容稀薄气体压强，并假定水三相点，试确定t与热力学温标之间关系。(2)在温标t中，冰点和汽点各为多少度；(3)在温标t中，与否存在零度？
解：(1)设在水三相点时，X之值是，则有273．16=In(kX)将K值代入温标t定义式，有
(2)
热力学温标可采用理想气体温标定义式，X是定容气体温度计测温泡中稀薄气体压强。故有
(3)
因测温物质是定容稀薄气体，故满足X→0规定，因而(2)式可写成
(4)

这是温标与温标T之间关系式。
(2)在热力学温标中，冰点，汽点。在温标中其值分别为

(3)在温标中与否存在零度？令=0，有

低于1K任何气体都早已液化了，这种温标中=0温度是没有物理意义。
§1-2 气体试验定律
1．2．1、玻意耳定律
一定质量气体，当温度保持不变时，它压强和体积乘积是一种常数，式中常数C由气体种类、质量和温度决定。
抽气与打气问题讨论。
PV
贮气筒

b

图 1-2-1
简朴抽气机构造由图1-2-1示意，它由一种活塞和两个阀门构成。当活塞向上提高时，a阀门打开，贮气筒与抽气机相通，气体膨胀减压，此时b阀门被关闭。当活塞向下压缩时，b阀门打开，a阀门关闭，抽气机内气体被压出抽气机，完毕一次抽气。贮气筒被抽气过程，贮气筒内气体质量不停在减小，气体压强也不停减小。设第一次抽气后贮气筒内气压，第n次抽气后贮气筒内气压，则有：

整顿得
简朴压气机与抽气机构造相似，但作用相反。图1-2-2示意，当活
PV
贮气筒

b
图1-2-2
塞上提时，a阀门打开，b阀门关闭，外界空气进入压气机中，活塞下压时，压气机内空气被压入贮气筒，而此时阀门a是关闭，这就完毕了一次压气过程。每次压气机压入贮气筒气体是
，故
1．2．2、盖—吕萨克定律
一定质量气体，当压强保持不变时，温度每升高1℃，其体积增长量等于0℃时体积。若用体现0℃时气体体积，V体现t℃体积，则。若采用热力学温标，则273+t为摄氏温度t℃。所对应热力学温度T，273为0℃所对应热力学温度。于是，盖—吕萨克定律可写成。若温度为T时，体积为；温度为时，体积为，则有
或。
故盖—吕萨克定律也可体现为：一定质量气体，当压强保持不变时，它体积与热力学温标成正比。
1．2．3、查理定律
一定质量气体，当体积保持不变时，它压强与热力学温度成正比

式中常数C由气体种类、质量和体积决定。
汞柱移动问题讨论：
一根两端封闭、粗细均匀石英管，竖直放置。内有一段水银柱，将管隔成上下两某些。下方为空气，上方为一种可分解双原子分子气体。该双原子分子气体性质为：当＞时，其分子开始分解为单原子分子(仍为气体)。用体现时双原子分子数，体现时分解了双原子分子数，其分解规律为当△T很小时，有如下关系：。已知初始温度为，此时下方气柱长度为，上方气柱长度为，水银柱产生压强为下方气压倍。试讨论当温度由开始缓慢上升时，水银柱将上升还是下降。
假设水银柱不动。当温度为时，下方气体压强为，温度升至，气体压强。水银柱压强为，故当T=时，上方气体压强为，当温度升至，有个双原子气体分子分解为个单原子气体分子，故气体分子数由增至个。令此时压强为，管横截面积为S，则有：

解得
，

因△T很小，故项起主导作用，而项影响较之第一项要小得多，故从分析如下：①当＞时，＜0时，水银柱上升，②当＜时，＞0水银柱下降。③当=时，＞0水银柱下降。
以上三个试验定律只能反应试验范围内客观事实，它们都具有一定近似性和局限性。对于一般气体，只有当压强不太大，温度不太低时，用三个定律求出成果与试验数据才符合得很好。假如压强很大或温度很低时，用这三个定律求出成果与试验成果就会有很大偏差。
1．2．4、理想气体
它是可以精确遵守气体试验定律一种气体理论模型。
对查理得律，设P和分别体现和时气体压强，则有
，
对盖—吕萨拉定律，设和分别体现和时气体体积，则有
，
对理想气体，有
H
L`
图1-2-4
Po
Lo
图1-2-3
n0
例1、一种质量m=200.0kg、长=2.00m薄底大金属桶倒扣在宽旷水池底部(图1-2-3)桶内横截面积(桶容积为)，桶自身(桶壁与桶底)体积，桶内封有高度空气，池深，大气压强水柱高，水密度，重力加速度g取。若用图中所示吊绳将桶上提，使桶底能抵达水面处，则绳拉力所需做功有一最小值，试求从开始到绳拉力刚完毕此功过程中，桶和水(波及池水和桶内水)机械能变化了多少(成果要保留三位有效数字)。不计水阻力，设水温很低，不计其饱和蒸气压影响，并设水温上下均匀且保持不变。
解：在上提过程中，桶内空气压强减小，体积将增大，从而对桶和桶内空气(空气质量不计)这一整体浮力将增大。本题若存在桶所受浮力等于重力位置，则此位置是桶不稳定平衡点，再稍上提，浮力将不不不小于重力，桶就会上浮。从这时起，绳不必再拉桶，桶会在浮力作用下，上浮到桶底抵达水面并冒出。因而绳对桶拉力所需做最小功过程，就是缓慢地将桶由池底提高到浮力等于重力位置所历过程。
下面先看这一位置与否存在。假如存在话，如图1-2-4所示，设在此位置时桶内空气高度为，因浮力等于重力，应有
(1)
代入已知数据可得
(2)
设此时桶下边缘距池底高度H，由玻——马定律可知
(3)
由(2)、(3)式得到
H=12.24m (4)
由于H＜，即整个桶仍浸在水中，可知存在上述浮力等于重力位置。
目前规定将桶由池底缓慢地提高到H处桶及水机械能增量△E。△E波及三某些：(1)桶势能增量；(2)在H高时桶自身排开水可看作下降去填充在池底时桶自身所占空间而引起水势能增量；(3)在H高度时桶内空气所排开水，可看作一某些下降去填充在池底时空气所占空间，由于空气膨胀那某些上升到水池表面，由此引起水势增量。则
；
；
。

§1-3 理想气体状态方程
1．3．1、理想气体状态方程
反应气体在平衡态下状态参量之间规律性联络关系式称为气态方程。咱们懂得，理想气体状态方程可在气体试验定律基本上得到，一定质量理想气体两平衡参量之间关系式为
（5）
在原则状态，，1mol任何气体体积m3mol-1。
因而vmol气体在原则状态下体积为，由(5)式可以得出：

由此得到理想气体状态方程或称克拉珀龙方程：

式中R称为摩尔气体恒量，它体现1mol气体在原则状况值，其值为
推论：1、1mol任何物质具有粒子数，这称为阿伏伽德罗常数。设质量为m、摩尔质量为M气体，其分子数为N，则此气体摩尔数为
(6)
同步引用玻耳兹曼常数

k物理意义：1个分子在标况下。
将(6)式代入(5)式，可以得到
(7)
或者 (8)
2、气体密度：由(5)式可以得到
(9)
例如空气平均摩尔质量，在原则状态下空气密度为

由(5)式可知，对于理想气体，可应用气态方程另一形式，为
(10)
3、气体分合关系：无论是同种还是异种理想气体，将质量为m，状态为PVT理想气体被提成若干某些()时，则有
(11)
1．3．2、混合理想气体状态方程
1、道尔顿分压定律指出：混合气体压强等于各组分分压强之和。这条试验定律也只合用于理想气体。即
(12)
其中每一某些气态方程为
(13)
混合理想体气状态方程与单一成分理想气体状态方程形式相似，但M为平均摩尔质量。
(14)
由于混合气体摩尔数应是各组分摩尔数之和。因而混合气体平均摩尔质量M有
(15)
由(1-20)式和(1-19)式可得混合气体分压强：
(16)
1．3．3、混合气体状态方程
假如有n种理想气体，分开时状态分别为(、、)，(、、)，…，(、、)，将它们混合起来后状态为P、V、T，那么，有

假如是两某些气体混合后再提成某些，则有

例1、一根一端封闭玻璃管长96cm，内有一段20cm水银柱。当温度为27C且开口端向上时，被封闭气柱长60cm。试问温度至少为多少度，水银柱才可从管中所有溢出。
解：设气体温度为T时，管内水银柱高度为x，x＜20cm，大气压强。
(1)
得到
(2)
其中P以cmHg为单位，长度以cm为单位。
规定x有实数解条件
400+4×(76×96-)≥0
可见≤，≥时，管内气体可以形成平衡状态。反之，T＞因而x＜时，管内气体压强总是(76+x)cmHg，(1)式不再成立，平衡态无法建立而导致非平衡状态，水银柱将所有溢出。
例2、设在恒温0℃下，测得三甲胺密度随压强变化数据如下表所示，试根据这些数据规定三甲胺摩尔质量。

0.2
0.4
0.6
0.8

0.5336
1.0790
1.6363
2.2054
解：为了精确测定气体摩尔质量，必要把实际气体压强外推到零(P→0)时应用理想气体状态方程，即由(1-15)式有
(1)
为了求出P→0时()极限值，可将上述数据作如下变换：

0.2
0.4
0.6
0.8

2.6680
2.6975
2.7272
2.7568
2.75
2.70
2.65
2.60
0.8
0.6
0.4
0.2
0

P(atm)
图1-3-1
现觉得纵坐标，P为横作标，作出-P图形(图1-3-1)，将图中曲线外推到P→0得到

将上述成果代入(1)式可得

即三甲胺分子量为59.14。

§1.4 气体分子运动论
1. 4.1、 分子运动论基本点
1、宏观物体由大量分子构成。分子直径数量级一般为，分子质量为。在原则状态下，气体分子数密度为

2、物体内分子永不停息地作无规则运动。这是根据布朗运动和扩散现象得出结论。试验表明扩散快慢和布朗运动剧烈程度与温度高下有明显关系。由此常把大量子无规则运动称为热运动，热运动是物质运动一种基本形式，热现象是它宏观体现。气体分子热运动平均速率与温度关系为

常温下， 。
3、分子之间存在互相作用力。分子之间同步存在引力和斥力，它们都随距离增大而减小。其合力详细体现为相吸引还是相排斥，取决于分子间距离。当时，合力为零，分子间距离位置称为平衡位置；当r＞时，分子力体现引力；当r＜时，分子力体现为斥力；当r＞时，分子力可忽视不计。分子力是保守力，存在着由分子和分子间相对位置所决定势能称为分子力势能。
分子力和热运动是决定物体宏观性质基本原因。分子力作用倾向于使分子汇集一起，在空间形成某种有序排列；热运动却力图导致混乱存在向外扩散趋势。
1．4．2、理想气体微观模型
先来作个估算：在原则状态下，1mol气体体积，分子数，若分子直径，则分子间平均间距，相邻分子间平均间距与分子直径相比。
由此可知，气体分子间距离比较大，在处理某些问题时，可以把气体分子视为没有大小质点；同步可以认为气体分子除了互相碰撞或者跟器壁碰撞之外，分子力也忽视不计，分子在空间自由移动，也没有分子势能。因而理想气体是指分子间没有互相作用和分子可以看作质点气体。这一微观模型与气体愈稀薄愈靠近于理想气体宏观概念是一致。
1．4．3、理想气体压强
宏观上测量气体施给容器壁压强，是大量气体分子对器壁不停碰撞成果。在一般状况下，气体每秒碰撞器壁分子数可达。在数值上，气体压强等于单位时间内大量分子施给单位面积器壁平均冲量。
其体现式为

式中n是分子数密度，是分子平均平动动能，n和增大，意味着单位时间内碰撞单位面积器壁分子数增多，分子碰撞器壁一次予以器壁平均冲量增大，因而气体压强增长。
1．4．4、温度微观意义
将式代入式后，可以得到气体分子平均平动动能为

图1-4-1
这被称为气体温度公式，温度升高，分子热运动平均平动动能增大，分子热运动加剧。因而，气体温度是气体分子平均平动能标志，是分子热运动剧烈程度量度。
例1、质量为圆筒水平地放置在真空中。质量、厚度可忽视活塞将圆筒分为体积相似两某些(图1-4-1)，圆筒封闭某些充有n摩尔单原子理想气体，气体摩尔质量为M，温度为，忽然放开活塞，气体逸出。试问圆筒最终速度是多少？设摩擦力、圆筒和活塞热互换以及气体重心运动均忽视不计。(，，，氦摩尔质量为，，)
解：过程第一阶段是绝热膨胀，膨胀到两倍体积后(图1-4-2)温度将是T。根据绝热方程，有

m1
m2
图1-4-2

因而：
圆筒和活塞总动能等于气体内能损失，即

根据动量守恒定律，

解上述方程，得过程第一阶段结束时圆筒速度：
。
由此得出结论，在过程第一阶段最终瞬间，圆筒以速度向右运动，此时活塞恰好从圆筒冲出。
咱们把坐标系设置在圆筒上。所给是一种在真空中开口圆筒，筒内贮有质量为、温度为T气体。显然，气体将向左上方流动，并推进圆筒向右以速度运动。气体分子动能由下式给出：

式中是分子平均速度[注：指均方根速率]，它由下述关系给定：
平衡状态下各有1/6分子在坐标轴方向来回运动。在计算气体逸出时，假定有1/6分子向圆筒底部运动。这自然只是一级近似。因而，质量以速度向圆筒底部运动，并与筒底弹性碰撞，之后圆筒以速度、气体以速度运动。对于弹性碰撞，动量守恒定律和机械守恒定律成立。由动量守恒有

由机械能守恒有
解以上方程组，得到气体逸出后圆筒速度为

气体分子1/6以速度反弹回来，绝对值要不不小于。
气体必然有较低温度，其一某些内能使圆筒动能增长。速度相加后得圆筒速度为。代入所给数据：
;;;
;;.
得圆筒最终速度为

§1.5 理想气体内能
1．5．1、物体内能
(1)自由度：即确定一种物体位置所需要独立坐标系数，如自由运动质点，需要用三个独立坐标来描述其运动，故它有三个自由度。
分子可以有不一样构成。如一种分子仅由一种原子构成，称为单原子(例：He等)，显然它在空间运动时具有三个平动自由度。
如一种分子由两个原子构成，称为双原子(例：等)，双原子分子内两个原子由一种键所连接，确定两个原子共同质心位置，需三个自由度，确定连键位置，需两个自由度，即双原子分子共有五个自由度。而对三原子分子(例：等)，除了具有三个平动自由度、两个转动自由度外，尚有一种振动自由度，即合计有六个自由度。
(2)物体中所有分子热运动动能和分子势能总和称为物体内能。由于分子热运动平均动能跟温度有关，分子势能跟体积有关。因而物体内能是温度和体积函数。
理想气体分子之间没有互相作用，不存在分子势能。因而理想气体内能是气体所有分子热运动动能总和，它只跟气体分子数和温度有关，与体积无关。
1．5．2、理想气体内能
一般，分子无规则运动体现为分子平动和转动等形式。对于单原子分子(如He等)理想气体来说，分子只有平动动能，其内能应是分子数与分子平均平动动能乘积，即。对于双原子分子(如、)理想气体来说，在常温下，分子运动除平动外还可以有转动，分子平均动能为，其内能，因而，理想气体内能可以体现为

注意：，；对于原单原子分子气体，对于双原子分子气体。
一定质量理想气体内能变化量：

此式合用于一定质量理想气体多种过程。无论过程怎样，一定质量理想气体内能变不变就看它温度变不变。式中，体现1mol理想气体温度升高或减少1K所增长或减少内能。是可以变成

1．5．3、物体势能

图1-5-1
由于分子间存在互相作用而具有能量叫做分子势能。当分子间距离(为分子力为零位置)时，分子力是引力，伴随分子间距离r增大，分子势能减小，故处，分子势能最小。而在时，由于分子间作用力可略，故分子势能变为零，如以无穷远处为势能零点，定性分子势能曲线可用图1-5-1体现
1．5．4、重力场中粒子按高度分布
在重力场中，气体分子受到两种互相对立作用。无规则热运动将使气体分子均匀分布于它们所能抵达空间，而重力则要使气体分子聚拢在地面上，当这两种作用到达平衡时，气体分子在空间非均匀分布，分子数随高度减小。根据玻尔兹曼分布律，可以确定气体分子在重力场中按高度分布规律：

是h=0处单位体积内分子数，n是高度为h处单位体积内分子数，n随高度h增长按指数减小，分子质量m越大，重力作用越明显，n减小就越迅速，气体温度越高，分子无规则运动越剧烈，n减小越缓慢。

式中体现h=0处压强，M为气体摩尔质量，上式称为气压公式

因而测定大气压强随高度而减小量值，即可确定上升高度。该式不仅合用于地面大气，还合用于浮悬在液体中胶体微粒按高度分布。
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ

图1-5-2
例1、横截面积为S和αS(α＞1)，长度相似两圆柱形“对接”容器内盛有理想气体，每个圆筒中间位置有一种用硬杆想连活塞，如图1-5-2所示。这时舱Ⅰ内气体压强为，舱Ⅲ内气体压强为，活塞处在平衡，整个系统吸取热量Q，温度上升，使各舱温度相似。试求舱Ⅰ内压强变化。1mol气体内能为CT(C是气体摩尔热容量)，圆筒和活塞热容量很小，摩擦不计。
解：设、、分别为第i个舱内气体体积、压强摩尔数。容器内气体总摩尔数，由于各舱温度皆为T，运用克拉珀龙方程得
①
获得中打斜线活塞与硬杆为研究对象，由平衡条件得
②
而由题意 ③
及 、、
得
④
系统吸取热量后，假设活塞不移动，显然Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ舱气体都作等容升温变化，因题中明确三舱升高温度相似，因而由

可知三舱气体压强都增长相似倍数，即方程②仍然满足，这阐明升温过程中活塞确实不移动，即方程④也仍然成立。
因
结合④式易得Ⅰ舱内气体压强变化
。
阐明运用②式和③式可得
显然只有当＞1时才故意义。由于压强必要为正值。