1.1.5中值定理.doc

新编经济应用数学（微分学 积分学）第五版
课题
1．1.5中值定理（2学时）
时间
年 月 日
教
学
目
的
要
求
1、 理解中值定理的内容。
2、 利用中值定理证明不等式。
重点
利用中值定理证明不等式
难点
利用中值定理证明不等式
教
学
方
法
手
段
精讲多练
主
要
内
容
时
间
分
配
一、 罗尔（Roll）中值定理 15分钟
例1-例2 20分钟
二、 拉格朗日(Langrange)中值定理 15分钟
例3-例6 30分钟
小结 10分钟

作业

备注

1.1.5中值定理
一、罗尔（Roll）中值定理
如果函数 在闭区间 上连续, 在开区间 内可导,且在区间端点的函数值相等，即,那么至少存在一点 , 使得 。
证明：由于在闭区间 上连续，根据闭区间上连续函数最大值和最小值定理，在 上必有最大值和最小值。
现分两种可能来讨论：若，则对任一都有这是对任意的 都有。
若，由知，和中至少有一个不等于，不妨设，则在开区间 内至少有一点使得，下面证明
由在开区间 内可导知，存在，由于为最大值，所以不论为正为负，只要，总有，当时，有
根据函数极限的保号性知
同样，当时，有
所以
因为，故
【例1】 验证函数在 上满足罗尔定理。
证明 因为 满足在闭区间 上连续,在开区间 内可导,且
所以由罗尔中值定理知，至少存在一点使得。
【例2】不求函数的导数，说明方程有几个实根，并指出它们所在区间。
解 显然在 、 上都满足罗尔定理，
所以至少有、使、
即方程至少有两个实根，又因为是一个一元二次方程，最多有两个实根，所以方程有两个实根，且分别在区间、内。

几何意义：如果曲线上除端点外都有不垂直于轴的切线，且端点纵坐标相等，那么其上至少有一条平行于轴的切线。

二、拉格朗日(Langrange)中值定理
如果函数 在闭区间 上连续, 在开区间 内可导,那么至少存在一点 , 使得 。
或
证明：构造辅助函数

容易验证满足罗尔定理的条件，
从而在 内至少存在一点，使得
即 或
注意：
1、 注意罗尔定理和拉格朗日定理得条件和结论中的共同点和不同
点，并且知道罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例。
2、 注意罗尔定理和拉格朗日定理的中值点是开区间 内的
某一点，而非区间内任意点或指定点，换言之，这两个中值定理都“定性”地指出了中值点的存在性，而非“定值”地指明的具体数值。
3、 柯西中值定理
如果函数及在闭区间 上连续, 在开区间 内可导,，且在 内的每一点处均不为零，那么在 内至少有一点使得成立。
证明：构造辅助函数

容易验证满足罗尔定理的条件，
从而在 内至少存在一点，使得
即
从而

几何意义：如果连续曲线除端点外都有不垂直于轴的切线，那么该曲线上至少有这样一点存在，在该点处曲线的切线平行于连接两端点的直线。

【例3】验证函数在 上满足拉格朗日定理的条件，并求出的值。
解 显然在 上连续， 内可导，满足拉格朗日定理的条件。且
则
即
解得
【例4】如果在 上连续,且在 内的导数恒等于零，则在 上为常数。
证明：在 上任取，
则在上满足拉格朗日中值定理，
有，
已知，所以
即在 上为常数。
练习题：证明在 上恒有
【例5】若，证明。
证明：设，则在上满足拉格朗日中值定理，
至少存在一点，使
即，
，

【例6】若，证明。
证明：设，则在上满足拉格朗日中值定理，至少存在一点，使
即，
，

练习题：
1、若，，则。
2、若，则。
小结：罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理的关系
定理及关系
条件
结论
罗尔定理
在闭区间 上连续, 在开区间 内可导,且
至少存在一点 使得 。

拉格朗日定理
在闭区间 上连续, 在开区间 内可导
至少存在一点使得 。

柯西定理
及
在闭区间 上连续, 在开区间 内可导，
至少存在一点使得