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Ising模型简述
Lenz曾向他的学生Ising提出一个研究铁磁性的简单模型，而Ising于1925年发表了他对此模型求解的结果，所以这个模型被称为Ising模型。当时Ising只做出了该模型一维下的严格解，在一维情况下并没有自发磁化的发生。另外他还由此错误地推断出在更高维的情况下，这个模型也不存在自发磁化。这个推断在后来被证明是错误的。1936年Peierls论证了二维或三维的Ising模型存在着自发磁化，虽然当时他并没有能够给出模型的严格解。1944年，当Onsager给出了二维Ising模型的严格解之后，Ising模型开始引起人们广泛的关注。这次求解是相变理论发展上的一个重要进展，它第一次清楚地证明了从没有奇异性的哈密顿量体系出发，在热力学极限下能导致热力学函数在临界点附近的奇异行为，而Onsager本人也因此获得了诺贝尔奖。在此之后很多人又相继发表Ising模型的各种不同解法，Baxter甚至有篇论文叫‘Ising模型的第399种解法’。但至今没有被学术界公认的三维Ising模型精确解。甚至有人发表论文证明无法解出三维Ising模型的精确解，因为三维Ising模型存在拓扑学的结构问题。人们通常用分子场理论及其改进理论、高温级数展开、低温级数展开、重整化群理论、蒙特-卡罗模拟等近似计算三维Ising模型的居里温度和临界指数，而其中Wilson于1971年发展的重整化群理论能以较高精度计算三维Ising模型的近似结果[18-20]。我国科学家张志东提出三维“Ising模型”精确解猜想。张志东的出发点就是拓扑学中的一个常识：低维空间的扭曲和纽结可以被高一维空间的旋转打开。通过引入第四卷曲起来的维与本征矢量上的权重这两个猜想作为处理三维Ising模型拓扑学问题的边界条件，并应用这些猜想用自旋分析法评估了三维简单正交晶格Ising模型的配分函数。当系统的对称性越高，居里温度也越高。他猜测三维系统具有最高对称性的简单立方Ising模型具有最高的居里温度黄金解，在二维系统具有最高对称性的正方Ising模型具有最高的居里温度白银解。获得的结果具有一定的对称性和美学价值，并可部分返回到二维和一维的结果。当然，推定的精确解正确性取决于猜想的正确性，而且其与学术界通常接受的评价标准尚不完全吻合，有待于对相关的物理本质作进一步探讨。因此，这一工作目前还只是停留在猜想阶段。
今天的Ising模型根本不再是Ising博士论文中的模样。每年差不多有6000篇左右的论文研究这一模型。除了铁磁性之外，该模型还应用于很多方面，如合金中的有序-无序转变、液氦到超流态的转变、液体的冻结和蒸发、晶格气体、玻璃物质的性质，甚至于神经网络蛋白质折叠、生物膜场论甚至社会现象等广泛的领域。
通过上述介绍，我们知道三维Ising模型尚未得到严格解，而一维和二维情况下的解法确是多种多样的。在这里，我们将给出Ising模型的严格解，采用的是1941年Kramers和Wannier提出的转移矩阵方法(Transfer Matrix Method)。然后简要地说明二维Ising模型严格解的主要结果，并且同平均场理论所得的结果进行对比。

图1.2 一维Ising模型示意图。

对于如图1.2所示的Ising模型，自旋只能取向上或向下两个分量，它可以看作是Heisenberg模型的一种简化。当只考虑最近邻的交换相互作用，并认为这种相互作用在不同磁矩间是相同的，用常数J表示。和Heisenberg模型相同，当J>0时，代表铁磁的交换相互作用，它使得近邻自旋有着同方向排列的趋向；当J<0时，代表反铁磁的交换相互作用，它使得近邻自旋有着反方向排列的趋向。考虑到外加磁场的影响，系统的哈密顿量可以写为：
， (1-14)
其中si表示位于格点i处的自旋，其取值可为+1和-1，分别代表自旋向上向下，所以自旋si可以不再作为算符处理，所以Ising模型可以看作是一个准经典的模型。J是交换相互作用常数，这里我们采用J>0代表铁磁相互作用，mB为Bohr磁矩，h是外磁场。对于一维情况，每个自旋只有两个近邻。现在采用周期性边界条件，即sN+1=s1，N为晶格中的自旋数目。现将一维晶格弯成一个环，当N®¥时，边界效应将不会影响到体系的热力学性质。根据如上的条件，可将哈密顿量(1-14)写为：
， (1-15)
其相应的配分函数为：
。 (1-16)
在这里我们引入矩阵P，其矩阵元定义为：
， (1-17)
因为si与si+1都能取±1两个值，所以P是2´2的矩阵：
。 (1-18)
于是配分函数(1-16)可以重新写成：
。 (1-19)
将P矩阵对角化得，
， (1-20)
l+和l-即为矩阵P的本征值，由下面的久期方程决定,
， (1-21)
其解为：
， (1-22)
要注意的一点就是l+>l-。
现在将等式(1-20)代入(1-19)，配分函数可以表达为：
， (1-23)
所以，当N®¥时，我们得到：
， (1-24)
即配分函数有P矩阵较大的本征值决定。体系的自由能和总极化强度分别为：
， (1-25)
， (1-26)
其它的热力学函数也可同样由自由能求出。
如图1.3所示，在计算中我们选取交换相互作用常数J=1kBK，对于一切T>0都有M(T, 0)=0，也就是说Ising模型在一维的情况下不存在自发磁化，不会发生顺磁-铁磁转变。从物理上看，任何温度下自旋的平均取向由两个对抗的因素相互竞争决定，即能量趋向最小而熵趋向最大，使得自由能达到最小值。在一维情况下，由于近邻数低，使得自旋排列在同方向的倾向不足以对抗使熵极大的倾向，结果在任何有限温度下都不能形成自发磁化。

图1.3一维Ising模型在不同温度下，磁化强度M随外场h的变化曲线。

图1.4 一维Ising模型在有限温度下长程序被破坏的示意图。

如同上文所说，当自旋排列在同方向的倾向不足以对抗使熵极大的倾向时，自旋往往会在一个较小的尺度内保持着同方向的排列，形成所谓短程序(Short Range Order)，而在较大的尺度内失去这种有序的状态，也就是破坏了所谓长程序(Long Range Order)。当我们使用蒙特卡洛方法(Monte Carlo Method)来计算一维Ising模型，常常得到如图1.4所示的结果，在某个小范围内，如从格点1到格点4(或者从格点5到格点10)体系可以看作存在‘自发磁化’，而在整体上看(从格点1到格点N)向上的自旋和向下的自旋数目在统计上看是相等的。
对于二维Ising模型，我们考虑正方晶格，每个自旋有4个最近邻。在零磁场下，系统的自由能可以表达为：
。 (1-27)
其中coshg(w)=cosh2fcosh2q-coshwsinh2fsinh2q，而f=bJ，q=tan-1e-2bJ。
系统内能则可以写为：
， (1-28)
这里的K1(m)是第一类椭圆积分，
， (1-29)
其中m=sinh2bJ/cosh22bJ，m¢=2tanh22bJ-1。而临界点由下式确定：
。 (1-30)
所得热容量为：
， (1-31)
这样的热容量在临界点处具有对数发散的奇异性。
计算自发磁化的时候，我们采用杨振宁的方法。他计算了在弱磁场h下，系统的自由能，最后令h®0，得到磁化强度的表达式：
。 (1-32)
而对于平均场近似(Mean Field Approximation，简称MFA)所得的磁化强度可以表达为：
， (1-33)
其中q是最近邻自旋的数目，对于二维正方晶格来说q=4。

图1.5 严格解与平均场近似所得二维Ising模型磁化强度的比较。

在图1.5中，与平均场近似所得的解(TC=4K)相比，严格解(TC=2.269K)有着更低的临界温度TC，而且磁化强度在T®TC-0有着更陡的温度变化率。平均场近似忽略了系统的涨落，而涨落是倾向于破坏有序的，所以在平均场近似下所得的TC是高于实际体系的，磁化强度的变化也反映的这一特点。在这里我们需要注意，在平均场近似所得的结果中，Ising模型在一维的情况下存在着自发的磁化，这个结果是错误的。在前文我们提过，在一维系统中由于近邻数目低，系统的涨落完全抑制了有序，而平均场近似忽略了系统的涨落才得到了有序相。
Ising模型自Ising提出后，有了很多的发展，不仅是解法的多样化，其具体形式也发生了不少变化。Ising模型的一些重要拓展成为描述相变(比仅仅是磁性)等问题重要工具。比如说横场伊辛模型(Transverse-field Ising model，简称TIM)，它是于1963年由Gennes提出。TIM是在Ising模型的基础上考虑了‘横向’外场的作用，所谓横向外场，是指外场的方向垂直于Ising模型中自旋投影的方向。在这里横向外场可以看作是晶体内部横向遂穿效应的一种等效，从而可以应用于零温的量子相变。TIM的哈密顿量可以写成：
， (1-34)
这里W是横向场，也可以看作是遂穿积分，决定了从一个势能极小态到另一个势能极小态的遂穿几率。TIM被广泛运用到多种体系，比如量子自旋玻璃，量子弛豫，量子磁滞，量子铁电等，详细的内容我们将在第三章中做具体的阐述。
我们再说Ising模型的另一种拓展形式弹性伊辛模型(Elastic Ising Model，简称EIM)。我们知道，晶体中的原子(离子)受到其周围的原子(离子)作用，被束缚在晶格格点，也就是平衡位置周围做微小的振动，可以用劲度系数(stiffness factor)k来描述。在EIM中，交换相互作用J不再是常数，而是同离子间的距离存在某种类似于弹性能的关系，新的弹性作用使得原子产生位移，出现新的平衡位置。当自旋以某种有序状态排列时，弹性交换相互作用使得晶格中的某些原子产生同向的位移。这样的特性对于解释某些自旋共线排列的多铁性材料有着重要的意义，我们将在第四章中作具体的介绍。