三线摆、扭摆、双线摆实验测转动惯量与切变模量.doc

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转动惯量和切变模量的测量实验论文
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转动惯量和切变模量的测量实验论文

摘要：本实验用三线摆、扭摆、和双线摆进行了实验，测量了物体的转动惯量和切变模量，并由实验数据验证了平行轴定理。分别用三线摆测量了物体的转动惯量并由实验数据验证了平行轴定理，用扭摆测量了物体的转动惯量和切变模量，用双线摆测量了物体的转动惯量并由实验数据验证了平行轴定理。
关键词：转动惯量；切变模量；平行轴定理；三线摆；扭摆；双线摆

Themomentof inertia and the shear modulus measurement test paper

Quan Chao
(SichuanUniversity,Institute of architecture and environment,2013)
Abstract:Experimental familiar stopwatch, a level, vernier caliper, meter stick and other equipment to use, control quality, and cycle the same amount of measurement methods; understanding of inertia and shear modulus measurements of the principles and methods to study the rigid body moment of inertia and mass distribution relationship; error and the final consolidation of the test results were analyzed.
Keywords:moment of inertia;shear modulus;three-wire pendulum;torsion doublependulum;parallel axis theorem
此处格式错误。
1 用三线摆测转动惯量并验证平行轴定理
1.1用三线摆测转动惯量
实验装置和原理简介

如图是三线摆示意图。上、下圆盘 均处于水平，悬挂在横梁上。横梁由立柱和底座（图中未画出）支承着。三根对称分布的等长悬线将两圆盘相连。拨动转动杆就可以使上圆盘小幅度转动，从而带动下圆盘绕中心轴OO＇作扭摆运动。当下圆盘的摆角θ很小，并且忽略空气摩擦阻力和悬线扭力的影响时，根据能量守恒定律或者刚体转动定律都可以推出下圆盘绕中心轴OO＇的转动惯量

J 0为

式中，m0为下圆盘的质量；r和R分别为上下悬点离各自圆盘中心的距离；H0为平衡时上下圆盘间的垂直距离；T0为下圆盘的摆动周期，g为重力加速度。将质量为m的待测刚体放在下圆盘上，并使它的质心位于中心轴OO＇上。测出此时的摆动周期T和上下圆盘间的垂直距离H，则待测刚体和下圆盘对中心轴的总转动惯量J1为

待测刚体对中心轴的转动惯量J与J0和J1的关系为 J=J1-J0
实验数据
测量次数
1
2
3
平均值
垂直距离H/mm
380.0
380.0
380.0
380.0
顶盘孔间距r/mm
44.0
44.0
44.0
44.0
底盘孔间距R/mm
95.0
95.0
95.0
95.0
下圆盘质量m0/g
1038
1038
1038
1038
待测物质量m/g
137
137
137
137
不放物体时的时间t0/s
19.01
18.97
19.08
19,02
放物体时的时间t/s
18.02
18.10
18.01
18.04
不放物体时的周期T0/s
1.31
1.31
1.32
1.31
放物体时的周期T/s
1.24
1.25
1.24
1.24
由实验数据可以计算得
底盘和待测物的整体转动惯量为J1=4.9383g.m2
不放待测物时下圆盘的转动惯量为J0==4.9232g.m2
所以待测物的转动惯量为J=J1-J0=4.9383g.m2-4.9232g.m2=0.0151g.m2
1.2利用三线摆验证平行轴定理 
实验装置和原理简介

平行轴定理指出：如果一刚体对通过质心的某一转轴的转动惯量为Jc，则这刚体对平行于该轴、且相距为d的另一转轴的转动惯量Jx为

实验时，将二个同样大小的圆柱体放置在对称分布于半径为R1的圆周上的二个孔上，如图所示。测出二个圆柱体对中心轴OO＇的转动惯量Jx。如果测得的Jx实验误差小于5%值与由上式右边计算得的结果比较时的相对误差在测量误差允许的范围内（≤5%），则平行轴定理得到验证。
实验数据
测量次数
1
2
3
平均值
垂直距离H/mm
380.0
380.0
380.0
380.0
顶盘孔间距r/mm
44.0
44.0
44.0
44.0
底盘孔间距R/mm
95.0
95.0
95.0
95.0
圆柱与转轴距离d/mm
55
55
55
55
下圆盘质量m0/g
1038
1038
1038
1038
待测物质量m/g
137
137
137
137
时间t/s
19.45
19.62
19.58
19.55
周期T/s
1.34
1.35
1.35
1.35
由实验数据可以计算得
底盘和圆柱体的整体转动惯量为J1===5.3730g.m2
圆柱对转轴的转动惯量为JX=J1-J0=5.3730g.m2-4.9232g.m2=0.4498g.m2
JX1=JC+md²=0.0151g.m2+137g×0.4295g.m2
实验误差为×100%=4.5%＜5%，故平行轴定理得到验证。
2 用扭摆测定圆盘的转动惯量和切变模量 
实验装置和原理简介

将一金属丝上端固定，下端悬挂一刚体就构成扭摆。图3.3-3表示扭摆的悬挂物为圆盘。在圆盘上施加一外力矩，使之扭转一角度θ。由于悬线上端是固定的，悬线因扭转而产生弹性恢复力矩。外力矩撤去后，在弹性恢复力矩M作用下圆盘作往复扭动。忽略空气阻尼力矩的作用，根据刚体转动定理有

式中，J0为刚体对悬线轴的转动惯量，θ1为角加速度。弹性恢复力矩M转角θ的关系为

式中，K称为扭转模量。它与悬线长度L，悬线直径d及悬线材料的切变模量G有如下关系

可见，圆盘作简谐振动。其周期T0为

若悬线的扭摆模量K已知，则测出圆盘的摆动周期T0后，由（2-9）式就可计算出圆盘的转动惯量。若K未知，可利用一个对其质心轴的转动惯量J1已知的物体将它附加到圆盘上，并使其质心位于扭摆悬线上，组成复合体。此复合体对以悬线为轴的转动惯量为J0+J1复合体的摆动周期T为 

由（2-9）式和（2-10）式可得

测出0T和T后就可以计算圆盘的转动惯量0J和悬线的切变模型G。圆环对悬线轴的转动惯量J1有以下计算

式中，m1为圆环的质量；D1和D2分别为圆环的内直径和外直径。
实验数据同一个表格要放在一页纸

第一次
第二次
第三次
平均值
圆环内径D1/mm
100.1
100.0
100.0
100.0
圆环外径D2/mm
120.0
120.0
120.0
120.0
不放圆环的时间t0/s
27.99
27.99
27.99
27.99
放圆环的时间t1/s
47.27
47.13
47.27
47.27
待测物体质量m1/g
537
537
537
537
悬线长度L/mm
375
375
375
375
悬线直径d/mm
8.2
8.2
8.2
8.2

不放圆环的周期T0/s
1.93
1.93
1.93
1.93
放圆环的周期T/s
3.26
3.25
3.26
3.26
由实验数据可以计算得
J1==1.64g.m2
J0=0.88g.m2
扭转模量K=×1.64=9.3790×g.cm2/
切变模量G=7.9278×g/(cm.s2)d测量错误，G值错误
3 用双线摆测物体的转动惯量并验证平行轴定理
实验装置

我们考虑双线摆的纯转动的理想物理模型。在这种情况下双线摆的双摆锤在一椭圆柱体的表面运动。该曲线运动可分解为两个分运动:一个水平面上的转动,一个上下方向的往返振动。在水平面上的转动为绕通过横杆中心的竖直直线的轴的转动(轴的附加压力为零),在竖直方向上的运动则视为一质点的往返运动。
3.1用双线摆测均匀细杆的转动惯量
设均匀细杆质量m0、长为l、绕通过质心竖直轴转动的惯量为I0；两相同圆柱体的质量之和为2m1,之间距离为2c；双绳之间距离为d，绳长L设双线摆绕竖直转动轴，转过一初始的角度，双线摆将上升一定的高度，则由于绳的拉力和重力的作用下，将自由摆动，在无阻尼状态下，系统的动能和势能将相互转化，但总量将保持为一恒定的值，可视为一无休止的循环运动。设双线摆摆锤运动至最低点时横杆的中心位置为直角坐标系的原点，并以此时原点所在的平面为零势能面。双线摆运动系统的几何关系图如图2所示。根据该图可得

如果我们取L=d,则 

由于，当摆角很小时，可近似认为

由（3）知系统的势能为

杆的转动动能为

根据能量守恒定律，得

式中h0为初始摆的最大高度。两边对t求一阶导数，得

根据（9）式，实验时先调节摆线长等于两线间的距离，即d=L0,并测出L0，旋转一小角度，测量周期T0，代入（9）式，求细杆的转动惯量。
实验数据

第一次
第二次
第三次
平均值
绳长L/mm
120.3
120.7
120.5
120.5
时间t/s
14.39
14.43
14.41
14.41
细杆质量mo/g
266
266
266
266
周期T0/s
0.99
1.00
0.99
0.99
由实验数据可以计算得
I0=1.95g.m2
3.2用双线摆测待测物体转动惯量

将质量为m的待测物体固定在细杆上，由（9）式知系统总的转动惯量为

待测物转动惯量为

根据（11）式，实验先测出待测物的质量，固定在细杆的质心处，调节摆线长等于两线间距离，旋转一小角度，测出周期T，带入（9）式，求出细杆的转动惯量IX
实验数据

第一次
第二次
第三次
平均值
绳长L/mm
120.3
120.7
120.5
120.5
时间t1/s
12.44
12.41
12.41
12.42
细杆质量mo/g
266
266
266
266
待测物质量mx/g
100
100
100
100
周期T/s
0.86
0.86
0.86
0.86
由实验数据可以计算得
Ix=0.07g.m2
3.3用双线摆验证平行定理
实验原理及内容

用双线摆法还可以验证平行轴定理。若质量为1m的物体绕过其质心轴的转动惯量为IC，当转轴平行移动距离x时（如图所示），则此物体对新轴的转动惯量为Ix=Ic+m1。这一结论称为转动惯量的平行轴定理。实验时将质量均为m2，形状和质量分布完全相同的两个圆柱体对称地放置在均匀细杆上。按同样的方法，测出两小圆柱体和细杆的转动周期Tx，则可求出每个柱体对中心转轴的转动惯量:

如果测出小圆柱中心与细杆质心之间的距离x以及小圆柱体的半径Rx，则由平行轴定理可求得

其中，是圆柱（圆筒）外直径，是圆柱（圆筒）内直径，L是圆柱的长。比较Ix与Ix'的大小,可验证平行轴定理。
实验数据 

第一次
第二次
第三次
平均值
绳长L/mm
120.3
120.7
120.5
120.5
细杆质量m0/g
266
266
266
266
物体质量m1/g
100
100
100
100
小圆柱体半径Rx/mm
139.5
139.7
139.6
139.6
圆柱中心与细杆质心距离x/mm
99.5
99.6
99.4
99.5
不放重物时间t0/s
14.63
14.64
14.63
14.63
放重物时间tx/s
19.24
19.24
19.24
19.24
不放重物时周期T0/S
1.01
1.01
1.01
1.01
放重物时周期TX/S
1.33
1.33
1.33
1.33
由实验数据可以计算得
Ix=0.96g.m2
Ix'==0.99g.m2
实验误差为5%，故平行轴定理得证。
4 结论
转动惯量是刚体转动惯性大小的量度，它与刚体的质量、转轴位置及质量相对转轴的分布情况有关。对于形状简单规则的物体，测出其尺寸和质量，可以用数学方法计算出转动惯量，而对于形状复杂的刚体用数学方法求转动惯量非常困难，一般要通过实验方法来测量。三线摆，双线摆，扭摆法测转动惯量是一种非常简单易行的方法。本文介绍了三线摆，双线摆，扭摆法测转动惯量的方法，并进行了实际测试。测试结果表明用三线摆，双线摆，扭摆法进行测量转动惯量准确度高但存在一些误差，我们的测量仅是初步的，还要采取其他措施来提高测量转动惯量的准确性。
参考文献： 
王植恒.《大学物理实验》高等教育出版社，2009

（注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注）