概率论与数理统计实验实践训练方案剖析.doc

《概率论与数理记录》试验实践训练方案
【课程性质、目和规定】
课程性质: 概率论与数理记录试验是与《概率论与数理记录》课程相配套
数学试验，它是为了理解和巩固这门课而设计。
教学目：通过本试验教学，使学生掌握处理随机数据基本措施，以及获得建立某些实际问题模拟能力， 并深刻理解概率与数理思想措施。
教学规定：本试验是数学与应用数学专业教学计划中《概率论与数理记录》相配套数学试验，因此，试验与课程紧密结合，服务这门课，在该课程理论指导下开展数学试验。在试验供应结合生产科研实际问题， 进行处理实际问题能力实践性环节培养。
概率论与数理记录是研究大量随机现象记录规律一门数学科学，通过本试验(我们以excel为平台，教师也可选其他数学软件． Excel电子表格软件是微软办公软件组关键应用程序之一，它功能强大，操作简朴，合用范围广，普遍应用于报表处理、数学运算、工程计算、财务处理、记录分析、图表制作等各个方面。其数据分析模块简朴直观，操作以便，是进行概率与记录学教学首选软件)， 我们可以理解随机现象及其发生概率，模拟系统变化规律。鉴于该课程特点，为更好地实现教学目，我们开发如下16个试验。教师可以根据教学状况选其中6个试验进行教学。

【教课时间安排】

序号
试验名称
试验类型
课时
备注
1
Excel基本使用措施和技巧
演示性试验
2

2
随机事件模拟——模拟掷均匀硬币随机试验
设计性试验
2

3
随机模拟计算值——蒲丰投针问题
设计性试验
2

4
敏感性问题调查
综合性试验
2

5
正态分布综合试验
综合性试验
2

6
产生服从任意分布随机数
设计性试验
2

7
产生服从二维正态分布随机数
设计性试验
2

8
随机变量综合试验
综合性试验
2

9
定积分近似计算
设计性试验
2

10
参数点估计
设计性试验
2

11
区间估计
演示性试验
2

12
非参数假设检查
设计性试验
2

13
方差分析
演示性试验
2

14
一元回归分析
设计性试验
2

15
多元回归分析
综合性试验
2

16
零件参数设定
综合性试验
2

合 计

试验一 Excel基本使用措施和技巧
1、问题背景
概率论与数理记录是研究大量随机现象记录规律一门数学科学，怎样对实践中随机现象进行模拟和处理数据，成为概率论与数理记录试验课程重要内容．鉴于Excel通俗易懂和应用普适性，我们采用Excel来实现概率论与数理记录课程试验。因此，对Excel基本应用成为本门课程基础．
2、试验目规定
（1）学习和掌握Excel调用程序．
（2）学习和掌握Excel基本命令．
（3）学习和掌握Excel有关技巧．
（4）掌握基本记录命令使用措施
3、试验重要内容
在多种电子表格处理软件中，Excel以其功能强大、操作以便著称，赢得了广大顾客青睐．本试验学习某些常常使用技巧，掌握这些技巧将大大提高学生未来试验效率．
（一）基本命令
(1) 迅速定义工作簿格式
(2) 迅速复制公式
(3) 迅速显示单元格中公式
(4) 迅速删除空行
(5) 自动切换输入法
(6) 自动调整小数点
(7) 用“记忆式输入”
(8) 用“自动改正”方式实现迅速输入
(9) 用下拉列表迅速输入数据
（二）基本记录函数
（1）描述性记录
（2）直方图
4、试验仪器设备
计算机和数学软件
试验二 随机事件模拟-----模拟掷均匀硬币随机试验
1、问题背景
抛硬币实是一种古老而现实问题，我们可以从中得出许多结论．但要做这个简朴而反复试验，诸多人没有多出时间或耐心来完毕它，目前有了计算机协助，人人都可很短时间内完毕它．
2、试验目规定
（1）学习和掌握Excel有关命令
（2）理解均匀分布随机数产生
（3）掌握随机模拟措施．
（4）体会频率稳定性．
3． 试验重要内容
抛硬币试验：抛掷次数为 ． 对于20，50，100，1000，10000各作5次试验．观测有无什么规律，有话，是什么规律．
4、试验仪器设备
计算机和数学软件

试验三 随机模拟计算值----蒲丰投针问题
1、问题背景：
在历史上人们对计算非常感爱好性，发明了许多求近似值措施，其中用蒲丰投针问题来处理求近似值思想措施在科学占有重要位置，人们用这一思想发现了随机模拟措施．
2、试验目规定
本试验意在使学生掌握蒲丰投针问题，并由此发展起来随机模拟法，从中体学会到新思想产生过程．
（1）学习和掌握Excel有关命令
（2）掌握蒲丰投针问题
（3）理解随机模拟法
（4）理解概率记录定义
3、试验重要内容
蒲丰投针问题： 下面上画有间隔为等距平行线，向平面任意投一枚长为针，求针与任一平行线相交概率． 进而求近似值．
对于=50，100，1000，10000，50000各作5次试验，分别求出近似值．写出书面汇报、总结出随机模拟思绪．
4、试验仪器设备
计算机和数学软件

试验四 综合试验---敏感性问题调查
1、问题背景
在问卷调查中，被调查者由于种种原因不乐意回答问题，此类问题就是敏感性问题． 对敏感性问题调查方案，关键要使被调查者原意作出真实回答问题又能保守秘密． 进而能根据调查问题特点，科学设计调查表，合理制定调查程序，分析调查成果是一种有趣问题．
2、试验目规定
（1）学习和掌握运用概率记录处理实际问题技能．
（2）学习和掌握对敏感性问题调查基本措施和措施．
（3）学习和掌握敏感性问题调查有关技巧．
3、试验重要内容
确定敏感性问题：如某学校学生阅读黄色书刊和观看黄色影像比率、或某小区居民参与赌博比率、或某小区居民吸毒比率、或某都市经营者偷税漏税户比率、或某学校学生考试作弊比率．
调查方案设计及操作程序：调查问题设计、调查操作程序，调查样本容量确实定。
调查成果分析。
4、试验仪器设备
计算机和数学软件

试验五 正态分布综合试验
1． 问题背景
正态分布是实际生活中最常用概率分布，在概率论与数理记录理论研究和实际应用中都具有重要价值，应纯熟掌握和运用。
2． 试验目规定
学会产生服从正态分布随机数并作密度函数和分布函数图形，学会NORMDIST命令和Excel绘图工具使用。
3． 试验重要内容
(1) 运用随机数发生器分别产生n=100;1000;10000个服从正态分布N(6，1)随机数，每种情形下各取组距为2，1，0．5作直方图及累积比例曲线图。
(2) 固定数学期望μ=0．05，分别取原则差为σ=0．01、0．02、0．03，绘制密度函数和分布函数图形。
(3) 固定原则差为σ=0．02， 分别取数学期望为μ=0．03、 0．05、0．07， 绘制密度函数和分布函数图形。
4、试验仪器设备
计算机和数学软件

试验六 产生服从任意分布随机数
1． 问题背景
实际中常常需要用到服从指定分布F(x)随机数据。学会产生服从任意分布随机数，对此后学习和实际应用而言，是非常有协助。
2． 试验目规定
学会产生分布函数为预先指定分布函数F(x)随机数；运用所产生随机数据作直方图、密度函数图和分布函数图。
3． 试验重要内容
(1)分别产生1000、10000个分布随机数，通过变换分别把它们转换为服从指数分布Exp(3)和Gamma(2，2)随机数，然后对所得到Exp(3)随机数作组距为0．1直方图，对Gamma(2，2) 随机数作组距为1直方图，观测它们轮廓线形状。
(2) 用命令EXPONDIST计算Exp(3)在x = 0、0．1、0．2、…、3处值；用GAMMADIST命令计算Gamma(2，2)在x = 0、1、2、…、15处值；并画出指数分布Exp(3)和Gamma(2，2)；密度函数图形，与(1)中直方图轮廓线进行比较。
4、试验仪器设备
计算机和数学软件

试验七 产生服从二维正态分布随机数
1． 问题背景
二维正态分布是最常用多维持续型分布。设二维随机向量（X，Y）服从二维正态分布，由二维正态分布性质知，有关系数ρ＝0或ρ≠0对应于X与Y独立或有关两种情形。
2． 试验目规定
(1) 学会用计算机产生分量互相独立二维正态分布随机数；
(2) 学会用计算机产生分量不独立二维正态分布随机数。
3． 试验重要内容
(1) 若随机变量X与Y互相独立且，，则。据此结论产生服从二维正态分布随机向量（X，Y）。
(2) 设n维随机向量，其中是X均值向量，是X协方差阵，。由于为正定阵，故存在下三角阵C，使得；若设，各个分量互相独立均服从分布，那么可以证明服从认为均值向量，认为协方差阵n维正态分布。由上述结论，产生服从二维正态分布随机向量（X，Y）。
4、试验仪器设备
计算机和数学软件

试验八 随机变量综合试验
1． 问题背景
正态分布、卡方分布、t分布和F分布常被称为数理记录四大分布，它们在假设检查、方差分析和回归分析中有着广泛应用。
2． 试验目规定
(1) 学会用Excel产生服从上述四大记录分布随机数并能画出对应随机数直方图；
(2) 会用Excel 计算上述四大记录分布分布函数值和分位点。
3． 试验重要内容
试验原理：若独立同分布随机变量，则；又若，且X与Y互相独立，则；再者，若，，且X与Y互相独立，则。（参见教材p270-p272定义），据上述原理，
(1) 产生χ2 (6)、χ2 (10)、F(6， 10)和t (6)四种随机数，并画出对应随机数频数直方图；
(2) 在同一张图中画出了N (0，1)和t (6)随机数频数直方图，比较它们异同；
(3) 写出计算上述四种分布分布函数值和对应上侧分位点命令。

4、试验仪器设备
计算机和数学软件

试验九 定积分近似计算
1、问题背景
不少记录问题，如计算概率，各阶矩等，最终都归结为定积分近似计算问题(尤其是高维积分)．这一措施是求解数学物理、工程技术及经济管理近似数值常用措施．
2、试验目规定
(1)掌握Excel有关命令．
(2)进一歩理解大数定律．
(3)掌握随机模拟措施．
3、试验重要内容
(1)用随机投点法和平均值法计算定积分:

(2)比较两种措施精度．(n=100，1000，10000．对每一种n反复做5次)
4、试验仪器设备
计算机和数学软件

试验十 参数点估计

一、背景知识：
（一）参数点估计计算措施
1、参数估计问题，一种是总体分布类型已知，但具有未知参数，对总体未知参数进行估计后可以近似确定总体分布；另一种是总体分布类型未知，通过参数估计来理解总体重要数字特性如总体均值、总体方差等．
2、点估计：设来自总体样本为，通过某种参数估计措施，构造记录量，用来作为总体未知参数估计，这个随机量就是点估计量．
3、矩估计法应用：分两种状况讨论，并只讨论到1阶到2阶矩．
(1)总体未知参数为总体矩时
· 总体均值近似于样本1阶原点矩即样本均值

· 总体方差矩估计就是样本2阶中心矩即样本方差
(2)总体分布类型已知，有1个或2个未知参数（我们重要考虑这两种）可以用样本1阶、2阶原点矩列出方程（组）求解未知参数。
· 当只有一种未知参数时，可列出一种方程解得．
· 当有二个未知参数是时，可根据样本一阶和二阶原点矩列出一种二元方程组．
3、极大似然估计法
似然函数等于样本分布列（离散总体）或样本概率密度（持续总体）连积：

极大似然估计法就是求极大似然估计(所规定要概率)，规定出，就是规定似然函数最大值点．
规定极大似然估计，一般用三步：
(1)根据已知样本分布，列出似然函数
(2)将函数两边取自然对数。
(3)由函数对求导，令其等于0，算出极大似然估计．
（二）有关无偏性、有效性和相合性
1、设是未知参数估计量，若满足，则称是无偏估计量．也就是估计量这个随机变量取值集中位置是．
样本均值，样本方差分别是总体均值，总体方无偏估计
2、有效性：在几种无偏估计量中，其方差越小，阐明此估计量越有效．(可以理解，方差越小则表明越集中在附近，对估计效果越好）．
3、相合性：设是未知参数估计，当时，估计量与绝对误差不不小于任意给定正数ε概率趋近于1，就称为相合估计。
（三）有关方程和方程组求解数值措施
见数值计算措施教材或试验指导书．
二、试验目规定：
试验目：通过本试验，使学生以Matlab为工具掌握参数点估计计算措施计算机实现；对常见分布，掌握生成点估计量值模拟措施，通过观测不一样样本量下估计量值在真实参数周围分布状况，获得估计量值在真实参数周围分布状况及其随样本量增长所发生变化数值经验．
试验规定：
1）学生在试验前应当掌握参数估计有关理论，阅读试验本次试验指导，理解Matlab中有关计算工具．
2）独立准备好一种点估计问题和有关样本数据，独立完毕从设计到求出成果所有试验过程．
3）独立撰写试验汇报，试验汇报要附上有关Matlab程序．
三、试验内容：
1、选择一种分布（提议选择正态分布或Weibull分布等）．
2、编制求参数点估计矩法和最大似然法Matlab程序．
3、用随机数生成措施在不一样样本量下产生多种样本．
4、用所生成样本计算参数估计量值．
5、观测参数估计量值在真值周围分布状况，总结出有关数值经验．
6、观测参数估计量值在真值周围分布状况怎样随样本量不一样而变化，总结出有关数值经验．
四、试验设备：
电子计算机，Matlab软件。

试验十一 区间估计
1、问题背景

对于一种总体，可以用某些参数进行表征，如平均值、方差等．假如某个参数未知，记录学提供了某些措施，它们可以用来估计未知参数介于那个区间内．估计是数理记录中重要内容，也是计算量很大问题．此前在这方面教学中都是使用计算器和查表，非常麻烦．下面我们用Excle来处理这个问题．
2、试验目规定
（1）掌握Excel有关命令．
（2）掌握总体数学期望和方差区间估计．
（3）理解大数定律思想。
（4）掌握随机模拟措施．
3、试验重要内容
(1) 单个正态总体数学期望和方差区间估计
从一大批袋装糖果中随机地取出内16袋，称得重量（g）如下
508 507．68 498．5 502 503 511 498 511
513 506 492 497 506．5 501 510 498
设袋装糖果重量近似地服从正态分布，试求总体均值和方差区间估计(置信度分别为0．95与0．9)．
(2) 两个正态总体数学期望差和方差商区间估计
随机地从A批导线中抽取4根导线，又从B批导线中抽取5根导线，测得电阻（）为
A批导线：0．142 0．140 0．144 0．136
B批导线：0．138 0．140 0．134 0．138 0．142
设测得导线电阻值服从正态分布，且两个样本互相独立，试求总体数学期望差和总体方差商置信区间（置信度分别为0．95与0．9）．
4、试验仪器设备
计算机和数学软件
试验十二 非参数假设检查(-检查)
1、问题背景
假设检查在数理记录中占有重要地位，它推理措施与数学中一般使用措施在表面上类似，但实际上大不一样样．一般数学推理都是演绎推理，即根据给定条件，进行逻辑推理，而记录措施则是归纳，从样本中体现去推断总体性质．
在处理实际问题中，我们往往假定总体分布形式是已知，但许多
时候我们对总体总是理解不多，总体分布是什么，不太清晰，这时我们只根据样本推断总体．
2、试验目规定
（1）掌握Excel有关命令．
（2）掌握非参数假设检查(-检查)
3、试验重要内容
一道工序用自动化车床持续加工某种零件，由于刀具损坏等会出现故障．故障是完全随机，并假定生产任一零件时出现故障机会均相似．工作人员是通过检查零件来确定工序与否出现故障．现积累有100次故障纪录，故障出现时该刀具完毕零件数如下：
459 362 624 542 509 584 433 748 815 505 612 452 434 982 640 742 565 706 593 680 926 653 164 487 734 608 428 1153 593 844 527 552 513 781 474 388 824 538 862 659 775 859 755 49 697 515 628 954 771 609 402 960 885 610 292 837 473 677 358 638 699 634 555 570 84 416 606 1062 484 120 447 654 564 339 280 246 687 539 790 581 621 724 531 512 577 496 468 499 544 645 764 558 378 765 666 763 217 715 310 851
试观测该刀具出现故障时完毕零件数属于哪种分布．（明显水平分别为0．1和0．05）．
4、试验仪器设备
计算机和数学软件

试验十三 方差分析
1、问题背景
方差分析是采用数理记录措施分析多种原因对研究对象某些特性值影响，进而鉴别多种原因对研究对象某些特性值影响大小一种有效措施．简朴一点说，方差分析可以用来判断取自总体两个或者多种样本均值与否相等．
2、试验目
（1）理解单原因方差分析基本思想．
（2）掌握用计算机分析单原因方差分析问题．
（3）掌握检查环节．
3、试验重要内容
为了研究咖啡因对人体功能影响，特选30名体质大体相似健康男大学生进行手指叩击训练，此外咖啡因选三个水平：

每个水平下冲泡10杯水，外观无差异，并加以编号，然后让30位大学生每人从中任选一杯服下，2 h后，请每人做手指叩击，记录员记录其每分钟叩击次数，试验成果如下表：
咖啡因剂量
叩击次数

242 245 244 248 247 248 242 244 246 242
248 246 245 247 248 250 247 246 243 244
246 248 250 252 248 250 246 248 245 250
请对上述数据进行方差分析，从中可得到什么结论？
4、试验仪器设备
计算机和数学软件
试验十四 一元回归分析
1、问题背景
回归分析是根据变量观测数据分析变量间关系最常用记录分析措施，其重要任务是根据变量观测数据定量地建立所关注变量和影响它变化变量之间数学关系式，检查影响变量明显程度和比较它们作用大小，进而用一组变量变化解释和预测另一种变量变化．本试验简介一元线性回归．
2、试验目规定
（1） 理解一元回归分析基本思想，掌握一元线性回归模型及回归方程
（2） 理解最小二乘法原理，掌握最小二乘法
（3） 掌握用计算机求回归方程并进行检查和预测措施
3、试验重要内容
考虑家庭月收入x (元)及支出y (元)关系，我们抽取10个家庭，由户主本人提供能反应他在一种时期内月收入及支出平均状况资料如下：
收入x (元) 200 150 200 250 150 200 250 300 150 120
支出y (元) 180 160 220 250 140 230 210 250 230 140
试对建立月收入和月支出关系．
4、试验仪器设备
计算机和数学软件

试验十五 多元回归分析
1、问题背景
回归分析是根据变量观测数据分析变量间关系最常用记录分析措施，其重要任务是根据变量观测数据定量地建立所关注变量和影响它变化变量之间数学关系式，检查影响变量明显程度和比较它们作用大小，进而用一组变量变化解释和预测另一种变量变化．本试验简介多元回归．
2、试验目规定
（1）理解多元回归分析基本思想，掌握多元线性回归模型及回归方程
（2）掌握用计算机求回归方程并进行检查和预测措施
3、试验重要内容
某工厂每年所获利润重要取决于A、B两种产品销售量。根据调查获得该企业1994年——A、B两种产品销售量及每年所获利润记录资料如下表：
年份
利润（）(百万元)
A产品销售量（）（万吨）
B产品销售量（）（万吨）
1994
1995
1996
1997
1998
1999

29
24
27
25
26
28
30
28
28
27
45
42
44
45
43
46
44
45
44
43
16
14
15
13
13
14
16
16
15
15

29
46
15

31
47
17
规定：（1）运用调查所得资料求利润与两种产品A、B销售量回归方程，并阐明参数估计量经济含义。
（2）据预测A产品销售量为50万吨、B产品销售量为18万吨，请预测该工厂可获得利润多少百万元？
4、试验仪器设备
计算机和数学软件

试验十六 零件参数设定
1、问题背景
在现实生活中，有大量问题由于模型中随机原因诸多，很难用解析式模型来进行描述求解，这时就需要借助模拟措施．如零件参数设定．
零件参数设计一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能某个参数取决于这些零件参数。零件参数包括标定值和容差两部分。进行成批生产时，标定值表达一批零件该参数平均值，容差则给出了参数偏离标定值容许范围。若将零件参数视为随机变量，则标定值代表期望值，在生产部门无特殊规定期，容差一般规定为均方差3倍．
进行零件参数设计，就是要确定其标定值和容差．这时要考虑两个方面原因：
1． 当各零件组装成产品时，假如产品参数偏离预先设定目值，就会导致质量损失，偏离越大，损失越大．
2．零件容差大小决定了其制导致本，容差设计得越小，成本越高．
2、试验目规定
（1）理解随机模拟法基本原理
（2）掌握随机模拟变量产生基本措施，初步培养随机模拟建模思想
（3）掌握有关软件命令
3．试验内容
试通过如下详细问题给出一般零件参数设计措施．
粒子分离器某参数（记作y）由7个零件参数（记作x1， x2， …， x7）决定，经验公式为

当各零件组装成成品时，假如产品参数偏离预先设定目值，就会导致质量损失，偏偏离越大，损失越大．y目值（记作）为1．50．当y偏离y0 ± 0．1时，产品为次品，质量损失为1000元；当当y偏离y0 ± 0．3时，产品为废品，质量损失为9000元。
给定某设计方案7个零件参数标定值及容差，如表所示：容差分为A、B、C三个等级，用容差等级与标定值相对乘积值来表达容差，A等为 ±1%，B等为 ±5%，C等为 ±10%．

标定值
0．1
0．3
0．1
0．1
1．5
16
0．75
容 差
B
B
B
C
C
B
B
求每件产品平均损失．
4、试验仪器设备
计算机和数学软件
【成绩考核方式】
成绩评估总则
对6个试验进行综合评估（以百分制）。

2、平时成绩评估
对每一种试验给出优、良、中、差评估。