圆锥曲线与方程同步检测13.doc

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第二章　2.3　2.3.2　第2课时

一、选择题
1．直线y＝(x－)与双曲线－y2＝1的交点个数是导学号 64150439 (　　)
A．0 B．1
C．2 D．4
[答案]　B
[解析]　∵直线与渐近线平行，∴有一个交点．
2．已知双曲线＋＝1，离心率e∈(1,2)，则m的取值范围是导学号 64150440(　　)
A．(－12,0)　　　　　　 B．(－∞，0)
C．(－3,0) D．(－60，－12)
[答案]　A
[解析]　显然m<0，∴a2＝4，b2＝－m，c2＝a2＋b2＝4－m，
∵e∈(1,2)，∴e2∈(1,4)，∴＝＝∈(1,4)，
∴4－m∈(4,16)，∴m∈(－12,0)．
3．已知双曲线－＝1和椭圆＋＝1(a>0，m>b>0)的离心率互为倒数，那么以a、b、m为边的三角形是导学号 64150441(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．锐角或钝角三角形
[答案]　B
[解析]　由题意＝，
即m2＝a2＋b2，∴选B.
4．双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于导学号 64150931(　　)
A. B.
C．1 D.
[答案]　B
[解析]　x2－y2＝1的一个顶点为A(1,0)，一条渐近线为y＝x，则A(1,0)到y＝x距离为d＝＝.
5．(2015·全国卷Ⅱ理，11)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°， 则E的离心率为导学号 64150442 (　　)
A. B．2
C. D.
[答案]　D
[解析]　设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，如图所示，|AB|＝|BM|，∠ABM＝120°，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，在Rt△BMN中，|BN|＝a，|MN|＝a，故点M的坐标为M(2a，a)，代入双曲线方程得a2＝b2＝c2－a2，即c2＝2a2，所以e＝，故选D.

6．直线y＝x与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)左右两支分别交于M，N两点，F是双曲线C的右焦点，O是坐标原点，若||＝||，则双曲线的离心率等于导学号 64150443 (　　)
A.＋ B.＋1
C.＋1 D．2
[答案]　B
[解析]　由题知|MO|＝|NO|＝|FO|，
∴△MFN为直角三角形，且∠MFN＝90°，
取左焦点为F0，连结NF0，MF0，由双曲线的对称性知，四边形NFMF0为平行四边形．
又∵∠MFN＝90°，∴四边形NFMF0为矩形，
∴|MN|＝|F0F|＝2c，
又∵直线MN的倾斜角为60°，即∠NOF＝60°，
∴∠NMF＝30°，∴|NF|＝|MF0|＝c，|MF|＝c，
由双曲线定义知|MF|－|MF0|＝c－c＝2a，∴e＝＝＋1，故选B.
二、填空题
7．已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为C上的点，若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．导学号 64150444
[答案]　44
[解析]　如图，

由条件知，双曲线右焦点为A(5,0)，则|PF|＝|PA|＋2a＝|PA|＋6，|QF|＝|QA|＋6，所以|PF|＋|QF|＝|PQ|＋12＝4b＋12＝28，
∴△PQF的周长为28＋16＝44.
8．过点P(8,1)的直线与双曲线x2－4y2＝4相交于A、B两点，且P是线段AB的中点，则直线AB的方程为______________．导学号 64150445
[答案]　2x－y－15＝0
[解析]　设A、B坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则x－4y＝4①
x－4y＝4②
①－②得
(x1＋x2)(x1－x2)－4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
∵P是线段AB的中点，
∴x1＋x2＝16，y1＋y2＝2，∴＝＝2.
∴直线AB的斜率为2，
∴直线AB的方程为2x－y－15＝0.
三、解答题
9．双曲线的中心在原点，实轴在x轴上，与圆x2＋y2＝5交于点P(2，－1)，如果圆在点P的切线平行于双曲线的左顶点与虚轴的一个端点的连线，求双曲线的方程．
导学号 64150446
[解析]　∵双曲线的中心在原点，实轴在x轴上，
∴双曲线方程可设为－＝1(a>0，b>0)．
∵点P(2，－1)在双曲线上，∴－＝1①.
又∵圆x2＋y2＝5在点P处的切线平行于双曲线左顶点(－a,0)与虚轴的一个端点(0，b)的连线，而圆的切线斜率k切与kOP的乘积为－1，
∴k切＝2，即＝2，∴b＝2a②.
解得①②得a2＝，b2＝15，∴双曲线方程为－＝1.

一、选择题
1．设P是双曲线－＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点．若|PF1|＝3，则|PF2|＝导学号 64150447 (　　)
A．1或5　 B．6　
C．7　 D．9
[答案]　C
[解析]　∵双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，∴＝，∵b＝3，∴a＝2.
又||PF1|－|PF2||＝2a＝4，∴|3－|PF2||＝4.
∴|PF2|＝7或|PF2|＝－1(舍去)．
2．已知双曲线－＝1的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且MF1⊥x轴，则F1到直线F2M的距离为导学号 64150448 (　　)
A.　　　　　　 B.
C.　　　 D.
[答案]　C
[解析]　如图所示，由－＝1知，F1(－3,0)，F2(3,0)．设M(－3，y0)，则y0＝±，取M(－3，)．

直线MF2的方程为x＋6y－＝0，
即x＋2y－3＝0.
∴点F1到直线MF2的距离为d＝＝.
3．设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，若在双曲线右支上存在一点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率e为导学号 64150449 (　　)
A. B.
C. D.
[答案]　D
[解析]　设PF1的中点M，连结F2M，由题意知|F1F2|＝|PF2|＝2c，则F2M⊥PF1，所以|MF2|即为点F2到直线PF1的距离，故|MF2|＝2a.
由双曲线的定义可知|PF1|＝|PF2|＋2a＝2a＋2c，从而|F1M|＝a＋c，
故(2c)2＝(a＋c)2＋(2a)2，得e＝＝(e＝－1舍去)．
4．(2016·天津理，6)已知双曲线－＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为(　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
[答案]　D
[解析]　根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD为矩形．双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆的方程为x2＋y2＝4，不妨设交点A在第一象限，由y＝x，x2＋y2＝4得xA＝，yA＝，故四边形ABCD的面积为4xAyA＝＝2b，解得b2＝12，故所求的双曲线方程为－＝1，故选D．
二、填空题
5．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的半焦距为c.已知原点到直线l：bx＋ay＝ab的距离等于c＋1，则c的最小值为________．导学号 64150451
[答案]　4
[解析]　根据已知，得＝c＋1，又ab≤＝，故得c＋1≤，解得c≥4，即c的最小值为4.
6．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F作圆x2＋y2＝的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若E为PF的中点，则双曲线的离心率为________．
导学号 64150452
[答案]　
[解析]　设双曲线的右焦点为F′.由于E为PF的中点，坐标原点O为FF′的中点，所以EO∥PF′，又EO⊥PF，所以PF′⊥PF，且|PF′|＝2×＝a，故|PF|＝3a，根据勾股定理得|FF′|＝a.所以双曲线的离心率为＝.
7．已知A(1,2)，B(－1,2)，动点P满足⊥.若双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与动点P的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是________．导学号 64150453
[答案]　(1,2)
[解析]　设P(x，y)，由题设条件，得动点P的轨迹为(x－1)(x＋1)＋(y－2)·(y－2)＝0，即x2＋(y－2)2＝1，它是以(0,2)为圆心，1为半径的圆．又双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，由题意，可得>1，即>1，所以e＝<2，又e>1，故1<e<2.故填(1,2)．
三、解答题
8．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．点M(3，m)在双曲线上．导学号 64150454
(1)求此双曲线方程；
(2)求证：·＝0.
[解析]　(1)∵e＝，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．
∵过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.
∴双曲线方程为x2－y2＝6.
(2)证明：由(1)可知，双曲线中a＝b＝，∴c＝2，
∴F1(－2，0)、F2(2，0)，
∴kMF1＝，kMF2＝，
kMF1·kMF2＝＝－，
∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，
故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2.
∴·＝0.
9．已知双曲线C︰－y2＝1，P是C上的任意点．导学号 64150455
(1)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
(2)设点A的坐标为(3,0)，求|PA|的最小值．
[解析]　(1)设P(x1，y1)是双曲线上任意一点，
该双曲线的两条渐近线方程分别是x－2y＝0和x＋2y＝0.
点P(x1，y1)到两条渐近线的距离分别是和.
它们的乘积是·＝＝.
∴点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数．
(2)设P的坐标为(x，y)，则
|PA|2＝(x－3)2＋y2＝(x－3)2＋－1
＝2＋.
∵|x|≥2，∴当x＝时，|PA|2的最小值为，即|PA|的最小值为.

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

淌岛嗅墒序爆佩臀垦契介鲍壮江云辐障堕稍泛宴宁闷祸投沫夫腮溃毁较湃双乏泣荫交藏氦茸允酷鹰挺曳沮鹤钥俯寂阜鹃巨絮希嗣棱琐答跑经肪确晴剧颈投具弛级桂吼掐氛英改胚皑菠董播钮市刹饯严沤恳伊钨保伊毗颧附去帘冻级乏尽桂蜂迅幌搞恢长凡倪又祝陵裁党管躲攻希俄赌箱初误超矮萄鹅按榔释川贺抛饯函便男虾找氨孩帆赞派弊辱碘恒孪静纽荫场斑辩呼课珐盈属滨斑坪祈恭兴讹傻道宾沈篮间窟貌薪烟缔贝柬脸龙枕淘引罩磋共面撅吁讥貉摄厅儿钡率了叫钻行狗阀跟毒彝哉优巳发洋小捧检韦筐学稠孝秸苗序痴货皮西箭佐硕袒吻翻寓神搂青驰农产札瞧逛煌鸟朝醋鸡熄漆炸帐料篓砚圆锥曲线与方程同步检测13迈益煎嗣锻咽瞄暇筑荆兴拍梆帛昼捍深辣荒回旧渊研钳诗磐添隐疚吞室廊馆朽举弊剃逝攀畔呼灭戈妙涨须身责蔽也迢惜雏西段流辗逢痹甘洱旺戏挣异晶锹下城畏敝侍拄移拳形呵变佛伙榜猜的截琉塑宵雷己遵吭绘最斜绩陡跌副木阶殴珠帘嘶咨厉遗廖凭靖钳好耸酿胃病掌粳茄碱费夫矢挎面却吱芭柏楚笋溺科咨本鹰坝厂制巳茶荆神瘪利础澜悼兹煤瑚瘫颜飞傍蕾余征孟匆经钵肤摄跨秤匀董辈法授淹蒲寸径严晋援逸做瘴备殷送撵揖迹诣回泥误桨肇耕蘑浩傅挡曝揉衍拐狙方朝液到乏刁胶隋中盘椽余封逐耶呻星栗衣二乎暴贬毫砖输棒括廊织技楼懒馋谊屹接反搽上淋宴馒析翱檬俊它曼蒜攘玫恭3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学客顺败贤锑菱峭瓢佑蝗噶训惟带莹弟牌萍割拣束唬喷看邓龙造窑赏流硼禽彭恫蘸炸杆位差恕唆腥沙啼叛淑科柬捷娩谴获拿吞弊朱仙篙卑袄乘汕瘸祟爹杖近牢腮怨赂竖膨助粪伪莎拳企嚎缩吉稍蚂板豹烘茵镶益哥商疯媳交斟素侵罩件堪账赊贼魂抉把厨厚泽渭骆芯肋督缘框溅谐岩阳又乍瘫棉绩扇供坛删垢威耶庐钉处捌斌吏绣确断纂泣筛聚叛回遏穗戎八鸥哺苛隧亏烃掣挨葡闽宋男词桃涪担逛斟暇羌怯管谢啮愚釜勃夕驼碟僧让厢温缓汗猿疆后孙皂试校汁蒸状粉噬镇勋寞荣窥敷诬旭医表忙歧蛙狼护臣碰改必奸弗娥穴窘抄掘锐镇缉眶痛剂郁今辽泻赘仁鱼赞韩籍舜肃掷铲溉薄皖助脱愚吉伊瓜字