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隐圆的教学设计

教材分析：何谓隐圆？有些时候，在条件中没有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆（圆的方程），从而最终可以利用圆的知识来求解.苏教版高中数学新教材对圆的方程这节教学内容中较老教材大量加入了隐圆的相关知识点，阿波罗尼斯圆出现在例题中，定义出现在思考中。而且课后习题中也见多种形式的隐圆，圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用.而圆的方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对接下来直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是方法上都有着积极的意义.直线与圆位置关系是直线、圆几何关系中最重要的内容，也是高考的热点内容之一.
学情分析：圆的方程是学生在初中学习了圆的概念和基本性质后，又掌握了求曲线方程的一般方法的基础上进行研究的.虽然学生在前一章“直线与方程”中初步体会了解析几何研究问题的一般思路和数形结合的思想方法。但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难.另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强.圆的方程这一章就是解决两大问题：（1）如何建立圆的方程？（2）如何利用圆的方程研究圆的性质？通过本节隐圆模式的探索与学习,能使学生从题干中提取出有效的隐形圆的信息,进行加工处理,从而解决问题.

1. 学习目标
1. 根据确定圆的几何要素，掌握圆的方程；
2. 能使用代数的方法导出阿波罗尼斯圆的方程，并能对其做出几何解释；依此用代数及几何的方法归纳与总结其它几种类型的隐性圆；
3. 识别隐性圆，并能利用几何法简化研究直线与圆及圆与圆的位置关系，让学生充分体会解析几何的特点“代数的方法研究几何性质，利用几何性质可简化运算”。
2. 教学重点与难点
教学重点：归纳总结隐圆的几种类型。
教学难点：利用隐圆解决有关直线与圆及圆与圆有关的网络交汇问题。
3. 教学过程
3.1 类型一：利用圆的定义(到定点O的距离等于定长r的动点P的轨迹即OP=r)确定隐形圆
书本57页第13题：如图，长为2 （ 是正常数）的线段 的两个端点A，B分别在互相垂直的两条直线上滑动，求线段 的中点M的轨迹.
分 析：以两个互相垂直的直线作为 轴，其交点为坐标原点 ,取的中点M，则可得 ，从而由圆的定义知线段 的中点M的轨迹就是以 为圆心， 为半径的一个圆.

书本57页第14题：已知点 ，若点P是圆 =4上的一个动点，点 是线段AP的中点，求点 的轨迹方程。
分 析;设圆于 轴交与B点，则B是 的中点，连接 ， ，则 平行且等于 的一半，即 ，从而由圆的定义点 的轨迹就是以B为圆心， 为半径的一个圆.

3.2 类型二： 平面内与两个定点A，B的距离的比为常数 = （ >0且 ）的点P的轨迹是圆（阿波罗尼斯圆）
苏教版55页：思考 已知平面上两个定点A，B，动点P满足 = ,则点P的轨迹是什么？建立适当的直角坐标系，写出点P的轨迹方程。
分析：由前面的学习经验，求点的轨迹一般步骤就是建系→设点→列方程→化简整理，循着这种方法，下面求出点P的轨迹方程.
证明：设 ，以AB所在直线为x轴，AB中点为原点，建立直角坐标系.
则 ， ，设 .由 = 得 ，化简整理得： ) + ) + + )
当 =1时，得直线 即动点P的轨迹就是线段AB的中垂线；
当 ≠1时，方程可化为： + =
当 >1时，动点P的轨迹是圆心在直线AB上且含B的圆；
当0< <1时，动点P的轨迹是圆心在直线AB上且含A的圆；
导入数学史链接：阿波罗尼斯（Apollonius，260－190BC），出生于古希腊的小亚细亚南岸的佩尔加，青年时代的阿波罗尼曾客居亚历山大城，追随欧几里德(Euclid,330-275BC)的学生学习数学。阿波罗尼对圆锥曲线有深刻的研究，其主要成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书。他与阿基米德（Archimedes,287-212BC），欧几里德(Euclid，330-275BC)被称为亚历山大时期的三巨匠。其著作中有这样一个命题：平面内与两个定点的距离的比为常数 （ >0且 ）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆。阿波罗尼圆的几何解释如图所示

PM是∠APB的内角平分线且交AB于点M,PN是∠APB的外角平分线且交AB于点N,则∠MPN= ，从而点P的轨迹是以MN为直径的圆
通过推导阿波罗尼斯圆方程，加深对用坐标法求轨迹方程的理解.接下来通过求阿波罗尼圆方程，理解阿波罗尼圆性质，加深对数形结合思想的理解.
及时巩固：新教材苏教版选择性必修第57页习题2.1第12题
已知点M(x,y)到两个定点O(0,0),A(3,0)的距离之比为 ，问：点M的坐标应满足什么关系？画出满足条件的点M所构成的曲线.
解 ：由题意得 = ，化简得 + =4.点M在以点（-1，0）为圆心，2为半径的圆上.点M所构成的曲线如图所示.

引申触类
（2008江苏高考第13题）若AB=2，AC= BC,则 的最大值.
解析：由于AB=2，以AB所在直线为x轴，AB中点为原点，建立直角坐标系，则A(-1,0) ，B(1,0),设C(x,y),AC= BC, = 得 + =8(y≠0),故有 = AB• = ≤2
学生练习;（2008四川高考第6题）已知两定点A(-2,0) ，B(1,0),如动点P满足条件 =2 ，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于（ ）
A. B.4 C.8 D.9
3.3 类型三 已知平面上两个定点A，B，动点P满足 + = ( 为常数）的点P的轨迹是圆
新教材苏教版选择性必修第57页习题2.1第8题
已知线段AB的长为2，动点M到A，B两点的距离的平方和为10，求点M的轨迹.
解：以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(-1,0)，B(1,0).设M(x,y),由 + =10，知 + + + =10，化简得 + =4.故点M的轨迹是以线段AB的中点为圆心，2为半径的圆.
引申触类
已知平面上两个定点A，B，动点P满足 + = ( 为常数）的点P的轨迹是圆.
分析：当 = 时，显然∠APB= ，从而动点P的轨迹就是以AB为直径的一个圆;当 是其它不为 的正常数时，设AB=2，取AB的中点为O，则由平行四边形的四条边的平方和等于对角线的平方和可得： + = （ +4 ）= 即 = ，其中 ， 均为常数，从而点P的轨迹是以AB的中点为圆心， 为半径的一个圆.该类型的隐圆应用：
练习 在平面直角坐标系 中，已知圆 : + =1,点 ,若圆 上存在点 ,满足 + =10，则实数a的取值范围是
分析：由于点 于点 均为定点，且满足 + =10可知点 的轨迹是个圆，又点 也要在圆 上，从而转化为两圆必有公共点的问题来解决.
3.4 类型四 已知平面上两个定点A，B，动点P满足 = ( 为常数）的点P的轨迹是圆
分析：当 =0且P，A，B不共线时，显然∠APB= ，从而动点P的轨迹就是以AB为直径的一个圆;当 ≠0时，设AB=2，取AB的中点为O，则可得： = + , = + .其中 ， 是一对相反向量， =( + ) ( + )= + ( + )+ = ,即 = ，从而点P的轨迹是以AB的中点为圆心， 为半径的一个圆.
练习 在 中，若 = ， =1,则 的面积的最大值为
分析：首先建系，以BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则B(- ,0) ，C( ,0),设 , = ， = ， = 即 从而点 的轨迹是以 的中点为圆心， 为半径的一个圆.

所以 的面积的最大值为
3.5 类型五 构造或直接求动点的轨迹.
已知实数a,b,c满足 + = , ,则 的取值范围为
分析：可以分析出条件中的几何含义， 可以看作点 与点 所确定直线的斜率，而点 又在圆 ,从而问题可转化为圆心到点 与圆 上点 连线的距离要小于等于半径来求解.
解：设 ,则过点 与点 的直线方程为 ,这条直线与圆 至少有一个公共点，从而圆心 到直线 即 的距离 ≤ ，解得- 即 .
学生巩固练习：函数 的最大值和最小值分别为
课后的巩固习题：
(1)平面内到原点距离为3的点的轨迹方程为 .
(2)从圆 外一点P向圆引两条切线,切点分别是A、B,使得∠APB＝60°,则点P的轨迹方程为 .
(3)已知两点 ,若存在点P,使得 ,则点P的轨迹方程为 .
(4)已知两点 若存在点P,使得 ,则点P的轨迹方程为 .
(5)已知两点 若存在点P,使得 ,则点P的轨迹方程为 .
(6)(2017苏北四市一模)在平面直角坐标系xOy中,A、B是圆 上的动点, AB= , P 是圆 上的动点,则 的取值范围是 ．
（7）(2017南通市一模)在平面直角坐标系xOy中,已知、为圆 上两点,点A(1,1) ,且 ,则线段 的长的取值范围为 ．

结束语：为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用“启发式”问题教学法，用环环相扣的问题将探究活动层层深入，教师要站在学生思维的最近发展区上.另外恰当的利用多媒体课件进行辅助教学，借助信息技术创设实际问题的情境既能激发学生的学习兴趣，又直观的引导学生通过建模来解决问题.学生通过本节的学习，能够熟练掌握隐圆的几种条件模式，迅速写出圆的方程，便于解决直线与圆有关的网络交汇问题，利用直线与圆及圆与圆的位置关系，借助圆的几何性质的代数表示（相切条件，勾股数等）简化运算，充分体会解析几何的特点“代数的方法研究几何性质，利用几何性质可简化运算”.

-全文完-