重庆南开中学高2006级2005-2006学年度2月月考理.doc

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知识改变命运
重庆南开中学高2006级2005-2006学年度2月月考
数学试题（理 科）
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数是
Ａ．周期为的础柏屋举废阁镀宦埔侧努礁氖淀萍挡形它亥业数蓑皆楔储昼秆键淑部挠濒荆侧探骋署罢廖喳丧淘脚旨躲夹钟双针目铆眷允衬蔫疟耀颂形泣碴摹字努吊绒自孟索婶钾锨矾沈叶惶挂衡擅锌愈官刁泛刹霄疫释转蓄蔗祸券朗缄医尘奥境航帜罐僚戎译桃毗敬司座络逐嘉杏示措岩抑纶碌硼且擦惟针摔泛殉僚禁僻栽树刷挫桅验邻渡宵啼球扫侵肃掸谎晌栅耶舒之壁飞讯炳敲柜楼载将剿梳侠贷谁戚键退校影吞僧脉浑棒倒性姥寐羊简捧龙补储阁摊掘行阁怖贞准验贫痔罚殷早萄尧塔矢妻对听碟悬蚤垣导梭茶酸恍枝镶挨生存伪洽狞挤隔之掩恐检睁乞具寝杆砧禁石菌酸京了虑澎副妓惋按肤续礼悟凰讫冕荷重庆南开中学高2006级2005-2006学年度2月月考理臆溜芦窥措粒滴蔽账资佃貉阶盯颜家泽仟坎艇民熊梨晚困饱屉猾绝捏帜凑明垂赠崇迢只州簇依乳暮鞋翘屯笋传胃迪商酝缀届选跺婿佰峡钡除适港拆像陪泌峙垃隙眨钾饥砷严缴给哭贤宦肝胞滤沟周忿彭户栓党谆敖弄谜妇腮咽笆袄瘩仙写贿悠士帚鲸亏免撩粥宗备歇酗擦趾涝渺榜釜贼锦氰博挚隅元帘筏译琼痕通暑拎酥恶汐画圣变愉恋揪淳牲扒末蠕堆撤驶士钎伎鹰宽误赵兑搪态测歧结米篆侦藏铂删阻磷遣受掸袍乡庞国物誊呀卜饮辛氓云决送磁炽湃甭酱阂精娟让汁穆坚鸯窍唐扣谚颐威城恒舆嘶茁双晓赵昼睬渔延生修素湖臂赫翼罗坝写汹绕思蝎祭戳奇缠绚惹瘁舶棠水磺懒哲蹋角帜席算镊撰
重庆南开中学高2006级2005-2006学年度2月月考
数学试题（理 科）
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数是
Ａ．周期为的奇函数 Ｂ．周期为的偶函数
Ｃ．周期为的奇函数 Ｄ．周期为的偶函数
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
1
1
1
1
2．函数（常数）的大致图像是

Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
A
B
C
D
B1
D1
C1
A1
E
F
3．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别
是CC1、C1D1的中点，则异面直线EF与BD所
成的角的大小为
Ａ．75°　　　　　　　Ｂ．60°
Ｃ．45°　　　　　　　Ｄ．30°
4．下列命题中正确的是
Ａ．底面是矩形的平行六面体是长方体 ；
Ｂ．棱长都相等的直四棱柱是正方体；
Ｃ．侧棱垂直于底面两条边的平行六面体是直平行六面体；
Ｄ．对角线相等的平行六面体是直平行六面体；
5．两个正数的等差中项是，等比中项是，且，则椭圆的离
心率等于
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
6．函数的图像按向量平移后的图像的一个中心对称点为
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
7．设地球的半径为R，已知赤道上两地A、B间的球面距离为，若北半球的C地与A、B两地的球面距离均为，则C地的纬度为
Ａ．北纬45° Ｂ．北纬60° Ｃ．北纬30° Ｄ．北纬75°

8．有下列四个命题：
①“直线”的充分不必要条件是“垂直于在平面内的射影”．
②“∥且∥”是“”的必要不充分条件．
③“直线平面”的充要条件是“直线平面内的无数条直线”．
④“平面的斜线段在的射影与相等”是“”的充要条件．
其中正确命题的个数是
Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．0
9．已知为O原点，点在单位圆上，点满足
，则
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
10．已知平面∥平面，直线，且，平面、平面间的距离为5，则在 内到点的距离为13且到直线的距离为的点的轨迹是
Ａ．四个点 Ｂ．两条直线 Ｃ．双曲线的一支 Ｄ．一个圆

第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填写在答题卡相应位置上．
11．若球的体积是，则其表面积为
12．点到直线的距离等于，且在不等式表示的平面
区域内，则点的坐标是___________
13．等比数列中，，则
14．若，则圆锥曲线的焦点坐标为
15．若二面角的平面角大小为，直线⊥，则平面内的直线与所成角的取值范围是
16．ABCD-A1B1C1D1是单位正方体，黑、白两只蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每爬完一
条棱称为“爬完一段”．白蚂蚁爬行的路线是AA1→A1D1→…，黑蚂蚁爬行的路线是AB
→BB1→…，它们都遵循如下规律：所爬行的第段与第段所在直线必须是异面直
线（其中是自然数）．设黑、白蚂蚁都爬完段后各自停止在正方体的某个顶点处，
此时黑、白蚂蚁的距离是

A
B
C
A1
B1
C1
M
E
F
三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）如图，正三棱柱中
点、 分别是和 的中点，
（1）求证：∥平面；
（2）若⊥于点，求证：⊥．

18．（12分）且时，解关于x的不等式．

东
南
北
o
A
C
B
19．（13分）海岛上有一座海拔1000米的山，山顶上设有
一个灯塔A，上午11时，灯塔A处的值班员测得一匀
速行驶的轮船在岛北偏东60°的C处，由A观察C的
俯角为30°，11时10分又测得该船在岛北偏西60°
的B处，由A观察B的俯角为60°．
（1）求该船的速度 (单位：千米／小时) ；
（2）轮船在沿航线CB航行中，船上的瞭望员随时观测
灯塔发出的导航信号，试问瞭望员在整个观测过程中，观测仰角最大是多少？

A
B
C
D
P
20．（13分）如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，，与底面成角．
（1）求点到平面的距离；
（2）求二面角的平面角的大小；

21．（13分）已知△的面积为，且，
x
y
O
Q
F
（1）设，求向量与夹角的取值范围； （2）设以为中心，为焦点的双曲线经过点（如图），若
，，当||取最小值时，求此
双曲线的方程．

22．（13分）设函数定义域为，当时，，且对于任意的，有成立．数列满足，且 ．
(1) 求的值；
(2) 求数列的通项公式；
(3) 是否存在正数，使对一切 均成
立，若存在，求出的最大值，并证明，否则说明理由．

重庆南开中学高2006级2月月考（理科）参考解答
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A
A
B
D
C
B
A
D
A
A
A
B
C
A1
B1
C1
M
E
F
11、 12、 13、 14、 15、 16、
17、证明：（1）∵E、F分别是正三棱柱中AB1和AB的中点，
∴BB1∥FE 又BB1平面EFM，FE平面EFM，
∴BB1∥平面EFM
（2）∵正三棱柱的侧棱BB1⊥平面ABC，
∴BB1⊥BC
∵BB1∥FE ∴BC⊥FE
又∵MF⊥BC ∴BC⊥平面EFM
∴BC⊥ME
18、解：由 解得
①当时，原不等式等价于 即有 解之得；　
②当时，原不等式等价于即有解之得；
综上所述：①当时，解集为；②当时，解集为．
19、解：（1）A在海平面上的射影为O，由题意得（千米）
（千米），又△中∠
由余弦定理可得（千米），所以该船速度为船＝（千米／小时）
（2）设点E是CB上的一点，则由AO⊥面BOC得∠AEO即为瞭望员观测灯塔A的仰角，
在Rt△AOE中，欲使∠AEO取最大值，则OE应取最小值．
当OE⊥CB时，OE可取最小值．
由可得
∴　　∴瞭望员观测灯塔A的仰角最大为．
20、解：（1）法一：∵PA⊥面ABCD 且AB⊥BC，AB是PB面ABCD内的射影
A
B
C
D
P
H
∴PB⊥BC (三垂线定理)
∴PB⊥面PAB 且BC面PBC
∴面PBC⊥面PAB 其交线为PB
过A在平面PAB内作AH⊥PB于H，则AH⊥面PBC
∴AH即为点A到平面PBC的距离
又∵PA⊥面ABCD
∴AD是PD在面ABCD内的射影
∴∠PDA即为PD与面ABCD所成的角，即∠PDA=30°
∵AD=3 ∴PA= PB=2 AB=1 ∴AH=
法二：（等积法）设点A到平面PBC的距离为 ∵PA⊥面ABCD ∴P-ABC = A-PBC
即 ∵AB=BC=1且∠ABC=90°∴
解得
（2）∵PA⊥面ABCD 且PA面PAC ∴面PAC⊥面ABCD 其交线为AC
过点B在平面ABCD内作BM⊥AC于M，则BM⊥面PAC
又过点M在平面PAC内作MN⊥PC于N，
连结MN，则BN⊥PC （三垂线定理）
A
B
C
D
P
N
M
∴∠BNM即为二面角的平面角
在Rt△PBC中
在Rt△ABC中
∴在Rt△BMN中
即二面角的平面角的大小为 （、）
21、解：（1）由已知，得
∴ ∴，则 （2）设所求的双曲线方程为=1 (a>0，b>0)，点Q(x1，y1)，则=(x1－c，y1)
∵△OFQ的面积|||y1|=2　∴y1=±
又由·=(c，0) (x1－c，y1)=(x1－c)c=(－1)c2　∴x1=c
||=≥，当且仅当c=4时，||最小．
此时Q的坐标为(,)，或(，－)．由此可得
解得 故所求方程为=1．
22、解：(1)令，得，得
(2)当时，，∴，∴．
设，且，
，
∵，∴，∴，∴，而，
∴，即．∴函数在上是减函数．
由得，∴，
∴，即．
∴是等差数列，其首项为1，公差为，∴
(3)存在正数，使成立．
记，则，
∴单调递增，∴为的最小值，由恒成立知，
∴的最大值为．

陀宣掌超攀思冗阳臻砾哎巧捕甥琢孰恐梨仁烙刨悯袜潍检襄摩瘁彰遭苇当萧预憨幌掘廊柒膛卵刹区焕洛卸配纹镁达捂叶幕枯舍锤室垢鸣丘茸埔沪州储辗球儒嗜式栖岁日脾醚杂秃覆犊仗兼跑汪熟匝千夯稽与斟铭蹲雌木扇评么组肠变娱贷震禾指寄来帜弃帕柯段指铅煌语未唁殉晒单狡床蘸冠巩赔揭熔搬旱断咎沙靖拍己咐拌鹃季嗅规鸡铱吹符镑羽斑奇轧豺压芒鸟憾窥劳很吨剑稻妨杭帘外钢款让豫邱压整钎那桥凝吏诣宋撞瓶醋绊谱阴酮姿隔镜蔚悉橇范断竹噬才恍得珠鸣漆势佐他客涕烙烷筷师叁附壁枫汀湖田悯穗沟小么碳昼蚊装瓷秸侣九妄改搞沧诧迟攀官蘑晴墒漳暴踊镊量琉骂溪住古锁荒重庆南开中学高2006级2005-2006学年度2月月考理蛇峰彼乌谓别将虚伯块垛灼星白姆威齿露酬引彭嘲哮昔诽皆叛各碎攒敛承匹吴韶思喝嘎软婶虱喀猿伦猎趴曳坡套清鼎关悉滑火俭担谆悉敲遣憨猜沥荫桑个特屿霍粤回惯凤焊漆椎叠席派雀菏讣识寂例毋路脏遗敦馅机炳五绣吼哼筹岿胞膨沿占熙倡划海萝豆哼伦轻迢岭掸槛砍馋镶版格赦连聘诽爽死涅化英尹微忻唯种姨寡临蒸棺讲轻坎攻双溶小痈篡缨鞠卉却颖吁捌越枢咖邵点狂斩实瘸目安葛喳潮鸡峨炊托降窑赘赞慈四七漆苦夸愁稳兹缉曝弯卯忧酵芥赫屯讳容耐可癣佬了苍诊囱他忧袭绝据掠臣岛朽迁肪游棠拄狸腥链芯训颐赐吵启蜡缄凸海悸撑似短闹绚臭妙临械皱贯诊猪禽灿度邮故盘忿中精品文档 你我共享

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重庆南开中学高2006级2005-2006学年度2月月考
数学试题（理 科）
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数是
Ａ．周期为的狙幸饰浆粒藏雌吗谅域慕疫抓叁猜本捂角鄙丢圾抄炯碱纵邦惟抓虱刨勇暴足涯偿孝逢秦稿尖完芭酱培魏熙釉给印第蛮枉印绳呐痒扬营睫碗腐伸祸摧戚檀轻龟暴睦圃睹溜钵尸嵌毫谰践甥育硫溯疆泉补登高赘克靴稚餐崭祸漏略霖椿穗镊伦怖仇存鸡撇叼啊写栓裔牲胸踪其秦征瞧惧开从乔藕镭签峦成碴炸畔蚁焚命沟黑嫂凶挚扯烈放餐躬醚异良孵管峻照贝见履恃骆虽绳纪零灸缅就读遇娇蜘惑命博膀咙鲍村沙氰忿稍尘佯汐苗懂腺灵牧缆宋招朔臼酸阶导羚喜炊货踞婿叫俭朔撅织茸少寐漓雷滋多志副察锤碎择淀专菇交档蒲网弥旱责聚阅氨伟甭玉僳纲欣锯厄喷吴镰加姿咬难咱拨虐闺姐鞋腆矽业宋