2015届高考数学第一轮基础巩固训练题38.doc

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第六篇　不等式
第1讲　不等关系与不等式
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2014·南昌模拟)设x，y∈R，则“x≥1且y≥2”是“x＋y≥3”的(　　)．
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析　由不等式性质知当x≥1且y≥2时，x＋y≥3；而当x＝2，y＝时满足x＋y≥3，但不满足x≥1且y≥2，故“x≥1且y≥2”是“x＋y≥3”的充分而不必要条件．
答案　A
2．(2014·延安模拟)已知a>b，则下列不等式成立的是 (　　)．
A．a2－b2≥0　　 B．ac>bc
C．|a|>|b|　　 D．2a>2b
解析　A中，若a＝－1，b＝－2，则a2－b2≥0不成立；当c＝0时，B不成立；当0>a>b时，C不成立；由a>b知2a>2b成立，故选D．
答案　D
3．(2014·河南三市三模)已知0＜a＜1，x＝loga＋loga ，y＝loga5，z＝ loga －loga ，则 (　　)．
A．x＞y＞z　　 B．z＞y＞x
C．z＞x＞y　　 D．y＞x＞z
解析　由题意得x＝loga ，y＝loga ，z＝loga ，而0＜a＜1，∴函数y＝loga x在(0，＋∞)上单调递减，∴y＞x＞z.
答案　D
4．已知a＜0，－1＜b＜0，那么下列不等式成立的是 (　　)．
A．a＞ab＞ab2　　 B．ab2＞ab＞a
C．ab＞a＞ab2　　 D．ab＞ab2＞a
解析　由－1＜b＜0，可得b＜b2＜1，又a＜0，
∴ab＞ab2＞a.
答案　D
5．(2014·宝鸡模拟)已知下列四个条件：①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0，能推出<成立的有 (　　)．
A．1个　　 B．2个　　
C．3个　　 D．4个
解析　运用倒数性质，由a>b，ab>0可得<，②、④正确．又正数大于负数，①正确，③错误，故选
C.
答案　C
二、填空题
6． (2013·扬州期末)若a1＜a2，b1＜b2，则a1b1＋a2b2与a1b2＋a2b1的大小关系是________．
解析　作差可得(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝(a1－a2)·(b1－b2)，∵a1＜a2，b1＜b2，∴(a1－a2)(b1－b2)＞0，即a1b1＋a2b2＞a1b2＋a2b1.
答案　a1b1＋a2b2＞a1b2＋a2b1
7．若角α，β满足－＜α＜β＜，则2α－β的取值范围是________．
解析　∵－＜α＜β＜，
∴－π＜2α＜π，－＜－β＜，
∴－＜2α－β＜，又∵2α－β＝α＋(α－β)＜α＜，
∴－＜2α－β＜.
答案　
8．(2014·上饶模拟)现给出三个不等式：①a2＋1>2a；②a2＋b2>2；③＋>＋.其中恒成立的不等式共有________个．
解析　因为a2－2a＋1＝(a－1)2≥0，所以①不恒成立；对于②，a2＋b2－2a＋2b＋3＝(a－1)2＋(b＋1)2＋1>0，所以②恒成立；对于③，因为(＋)2－(＋)2＝2－2>0，且＋>0，＋>0，所以＋>＋，即③恒成立．
答案　2
三、解答题
9．比较下列各组中两个代数式的大小：
(1)3x2－x＋1与2x2＋x－1；
(2)当a>0，b>0且a≠b时，aabb与abba.
解　(1)∵3x2－x＋1－2x2－x＋1＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，∴3x2－x＋1>2x2＋x－1.
(2)＝aa－bbb－a＝aa－ba－b＝a－b．
当a>b，即a－b>0，>1时，a－b>1，∴aabb>abba.
当a<b，即a－b<0, 0<<1时，a－b>1，
∴aabb>abba.
∴当a>0，b>0且a≠b时，aabb>abba.
10．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，试判断谁先到教室？
解　设从寝室到教室的路程为s，甲、乙两人的步行速度为v1，跑步速度为v2，且v1＜v2.
甲所用的时间t甲＝＋＝，
乙所用的时间t乙＝，
∴＝×＝
＝＞＝1.
∵t甲＞0，t乙＞0，∴t甲＞t乙，即乙先到教室．
能力提升题组
(建议用时：25分钟)
一、选择题
1．下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是 (　　)．
A．a＞b＋1　　 B．a＞b－1　　
C．a2＞b2　　 D．a3＞b3
解析　由a＞b＋1，得a＞b＋1＞b，即a＞b，而由a＞b不能得出a＞b＋1，因此，使a＞b成立的充分不必要条件是a＞b＋1.
答案　A
2．已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是 (　　)．
A．c≥b＞a　　 B．a＞c≥b
C．c＞b＞a　　 D．a＞c＞b
解析　c－b＝4－4a＋a2＝(2－a)2≥0，∴c≥b，将已知两式作差得2b＝2＋2a2，即b＝1＋a2，
∵1＋a2－a＝2＋＞0，∴1＋a2＞a，
∴b＝1＋a2＞a，∴c≥b＞a.
答案　A
二、填空题
3．已知f(x)＝ax2－c且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，则f(3)的取值范围是________．
解析　由题意，得
解得
所以f(3)＝9a－c＝－f(1)＋f(2)．
因为－4≤f(1)≤－1，所以≤－f(1)≤，
因为－1≤f(2)≤5，所以－≤f(2)≤.
两式相加，得－1≤f(3)≤20，
故f(3)的取值范围是[－1,20]．
答案　[－1,20]
三、解答题
4．设0<x<1，a>0且a≠1，比较|loga(1－x)|与|loga(1＋x)|的大小．
解　法一　作差比较
当a>1时，由0<x<1知，
loga(1－x)<0，loga(1＋x)>0，∴ |loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝－loga(1－x)－loga(1＋x)＝－loga(1－x2)，
∵0<1－x2<1，∴loga(1－x2)<0，
从而－loga(1－x2)>0，故|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|.
当0<a<1时，同样可得|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|.
法二　平方作差
|loga(1－x)|2－|loga(1＋x)|2
＝[loga(1－x)]2－[loga(1＋x)]2
＝loga(1－x2)·loga
＝loga(1－x2)·loga>0.
∴|loga(1－x)|2>|loga(1＋x)|2，
故|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|.
法三　作商比较
∵＝＝|log(1＋x)(1－x)|，
∵0<x<1，∴log(1＋x)(1－x)<0，
故＝－log(1＋x)(1－x)＝log(1＋x)
＝1＋log(1＋x)＝1＋log(1＋x).
由0<x<1知，1＋x>1及>1，
∴log(1＋x)>0，故>1，
∴|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|.

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