2015届高考理科数学第二专题整合检测题21.doc

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1．已知函数f(x)＝2cos2x＋sin 2x，x∈R.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变得到函数h(x)的图象，再将h(x)的图象向右平移个单位得到g(x)的图象，求函数g(x)的解析式，并求g(x)在[0，π]上的值域．
解　(1)∵f(x)＝2cos 2x＋sin 2x＝1＋cos 2x＋sin 2x，
∴f(x)＝2sin (2x＋)＋1.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z.
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z
∴f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)∵f(x)＝2sin (2x＋)＋1h(x)＝2sin ＋1，

∵x∈[0，π]，∴x－∈[－，]．
∴sin (x－)∈[－，1]．
∴g(x)在[0，π]上的值域为[0,3]．
2．某超市计划在春节当天从有抽奖资格的顾客中设一项抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为1,2,3，…，10的十个小球．活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖，奖金30元；三球号码构成等差数列的为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1,6,8为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金．
(1)求顾客甲抽奖一次所得奖金ξ的分布列与期望；
(2)若顾客乙幸运地先后获得四次抽奖机会，求他得奖次数η的方差是多少？
解　(1)奖金ξ的所有可能取值为0,30,60,240.
顾客抽奖一次，基本事件总数为C＝120，
P(ξ＝30)＝＝＝，
P(ξ＝60)＝＝＝，
P(ξ＝240)＝，
P(ξ＝0)＝1－－－＝.
∴ξ的分布列为
ξ
0
30
60
240
P

∴E(ξ)＝0×＋30×＋60×＋240×＝26.
(2)顾客乙一次抽奖中奖的概率P＝1－＝.
四次抽奖相互独立，所以得奖次数η～B，
∴D(η)＝4××＝.
3．如图所示，平面ABCD⊥平面BCEF，且四边形ABCD为矩形，四边形BCEF为直角梯形，BF∥CE，BC⊥CE，DC＝CE＝4，BC＝BF＝2.

(1)求证：AF∥平面CDE；
(2)求平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的余弦值；
(3)求直线EF与平面ADE所成角的余弦值．
(1)证明　法一　取CE的中点为G，连接DG，FG.

∵BF∥CG且BF＝CG，
∴四边形BFGC为平行四边形，则BC∥FG，且BC＝FG.
∵四边形ABCD为矩形，
∴BC∥AD且BC＝AD，∴FG∥AD且FG＝AD，
∴四边形AFGD为平行四边形，则AF∥DG.
∵DG⊂平面CDE，AF⊄平面CDE，
∴AF∥平面CDE.
法二　在矩形ABCD中有AB∥CD，
∵CD⊂平面CDE，AB⊄平面CDE，
∴AB∥平面CDE.
在梯形BCEF中有BF∥CE.
∵CE⊂平面CDE，BF⊄平面CDE，
∴BF∥平面CDE.
又∵AB∩BF＝B，且AB⊂平面ABF，BF⊂平面ABF，
∴平面ABF∥平面CDE.
又∵AF⊂平面ABF，
∴AF∥平面CDE.
(2)解　∵四边形ABCD为矩形，∴BC⊥CD，
又∵平面ABCD⊥平面BCEF，且平面ABCD∩平面BCEF＝BC，
BC⊥CE，∴DC⊥平面BCEF.
以C为原点，CB所在直线为x轴，CE所在直线为y轴，CD所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

根据题意我们可得以下点的坐标：
A(2,0,4)，B(2,0,0)，C(0,0,0)，D(0,0,4)，E(0,4,0)，F(2,2,0)，则＝(－2,0,0)，＝(0,4，－4)．
设平面ADE的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则
∴
取z1＝1，得n1＝(0,1,1)．
∵DC⊥平面BCEF.
∴平面BCEF的一个法向量为＝(0,0,4)．
设平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的大小为α，
则cos α＝＝＝，
因此，平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的余弦值为.
(3)解　根据(2)知平面ADE的一个法向量为
n1＝(0,1,1)，∵＝(2，－2,0)，
∴cos 〈，n1〉＝＝＝－，
设直线EF与平面ADE所成的角为θ，
则cos θ＝|sin〈，n1〉|＝，
因此，直线EF与平面ADE所成角的余弦值为.
4．已知数列{an}的前n项和Sn＝an＋n2－1，数列{bn}满足3n·bn＋1＝(n＋1)an＋1－nan，且b1＝3.
(1)求an，bn；
(2)设Tn为数列{bn}的前n项和，求Tn.
解　(1)当n≥2时，Sn＝an＋n2－1，Sn－1＝an－1＋(n－1)2－1，
两式相减，得an＝an－an－1＋2n－1，∴an－1＝2n－1，
∴an＝2n＋1，
∴3n·bn＋1＝(n＋1)(2n＋3)－n(2n＋1)＝4n＋3，
∴bn＋1＝.
∴当n≥2时，bn＝，又b1＝3适合上式，
∴bn＝.
(2)由(1)知，bn＝，
∴Tn＝＋＋＋…＋＋， ①
Tn＝＋＋＋…＋＋， ②
①－②，得Tn＝3＋＋＋…＋－
＝3＋4×－
＝5－，
∴Tn＝－.
5．已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的短轴长为单位圆C2：x2＋y2＝1的直径，且椭圆的离心率为.

(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆短轴的上顶点B1作直线分别与单位圆C2和椭圆C1交于A，B两点(A，B两点均在y轴的右侧)，设B2为椭圆的短轴的下顶点，求∠AB2B的最大值．
解　(1)由题知b＝1，又e＝＝＝，得a2＝3，∴椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)由(1)得B1(0,1)，B2(0，－1)，设过椭圆的短轴的上顶点B1的直线的方程为y＝kx＋1，由于B1B2为圆的直径，所以直线B2A的斜率k1＝－.
把y＝kx＋1代入C1得B(－，)，
由题意易知k＜0，且直线B2B的斜率为k2＝＝－，所以k1，k2＞0，且k1＝3k2，又△B2AB是直角三角形，所以∠AB2B必为锐角，因为与的方向向量分别为(1，k1)，(1，k2)，所以·＝(1，k1)·(1，k2)＝1＋3k，又·＝·cos ∠AB2B，
从而cos ∠AB2B＝
＝＝≥，
当且仅当k2＝时，cos ∠AB2B取得最小值，由∠AB2B为锐角得∠AB2B的最大值为.
6．已知函数f(x)＝[ax2＋(a－1)2x－a2＋3a－1]ex(a∈R)．
(1)若函数f(x)在(2,3)上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)若a＝0，设g(x)＝＋ln x－x，斜率为k的直线与曲线y＝g(x)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中x1＜x2)两点，证明：(x1＋x2)k＞2.
(1)解　 f′(x)＝ex，
当a≥0时，∵x∈(2,3)，∴f(x)在(2,3)上单调递增；
当a＜0，∵f(x)在(2,3)上单调递增，f′(x)＝a(x＋a)(x＋)·ex≥0，
ⅰ)当－1＜a＜0时，得－a≤x≤－，依题意知(2,3)⊆，得－≤a＜0；
ⅱ)当a＝－1时，f′(x)＝－(x－1)2·ex≤0，不合题意，舍去；
ⅲ)当a＜－1时，得－≤x≤－a依题意知(2,3)⊆，得a≤－3.
综上得：a∈(－∞，－3]∪.
(2)证明　当a＝0时，g(x)＝＋ln x－x＝ln x－1，
k＝，
要证(x1＋x2)k＞2，即证(x1＋x2)·＞2，
∵x2－x1＞0，即证ln＞(＞1)．
令h(x)＝ln x－(x＞1)，则h′(x)＝－＝＞0，∴h(x)在(1，＋∞)单调递增，h(x)＞h(1)＝0.∴ln＞.即(x1＋x2)k＞2成立．
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