2015届高考数学第一轮基础巩固训练题24.doc

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第4讲　直线与圆、圆与圆的位置关系
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是 (　　)．
A．相切　 B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心　 D．相离
解析　法一　由消去y，整理得x2＋x＝0，因为Δ＝12－4×1×0＝1＞0，所以直线与圆相交．
又圆x2＋y2＝1的圆心坐标为(0,0)，且0≠0＋1，所以直线不过圆心．
法二　圆x2＋y2＝1的圆心坐标为(0,0)，半径长为1，则圆心到直线y＝x＋1距离d＝＝.
又0＜＜1所以直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1相交但直线不过圆心．
答案　B
2．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为 (　　)．
A．内切　 B．相交　
C．外切　 D．相离
解析　两圆圆心分别为(－2,0)和(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d＝＝.∵3－2<d<3＋2，∴两圆相交．
答案　B
3．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是 (　　)．
A．[－3，－1]　 B．[－1,3]
C．[－3,1]　 D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
解析　由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为，
∴≤，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.
答案　C
4．(2013·安徽卷)直线x＋2y－5＋＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为 (　　)．
A．1　 B．2　
C．4　 D．4
解析　圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，则圆心(1,2)到直线x＋2y－5＋＝0的距离d＝＝1，
∴直线x＋2y－5＋＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为2＝4.
答案　C
5．(2014·陕西五校联考)若直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，则k，b的值分别为 (　　)．
A．k＝，b＝－4　 B．k＝－，b＝4
C．k＝，b＝4　 D．k＝－，b＝－4
解析　因为直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，则y＝kx与直线2x＋y＋b＝0垂直，且2x＋y＋b＝0过圆心，所以解得k＝，b＝－4.
答案　A
二、填空题
6．过点A(2,4)向圆x2＋y2＝4所引切线的方程为________．
解析　显然x＝2为所求切线之一；另设直线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，那么＝2，解得k＝，即3x－4y＋10＝0.
答案　x＝2或3x－4y＋10＝0
7．过点M的直线l与圆C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为________．
解析　由题意得，当CM⊥AB时，∠ACB最小，从而直线方程y－1＝－，即2x－4y＋3＝0.
答案　2x－4y＋3＝0
8．(2014·宜川中学模拟)两圆相交于两点(1,3)和(m，－1)，两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，且m、c均为实数，则m＋c＝________.
解析　根据两圆相交的性质可知，两点(1,3)和(m，－1)的中点在直线x－y＋c＝0上，并且过两点的直线与x－y＋c＝0垂直，故有
∴m＝5，c＝－2，∴m＋c＝3.
答案　3
三、解答题
9．求过两圆x2＋y2＋4x＋y＝－1，x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的交点的圆中面积最小的圆的方程．
解　由
①－②得2x－y＝0代入①得x＝－或－1，
∴两圆两个交点为，(－1，－2)．
过两交点圆中，以，(－1，－2)为端点的线段为直径的圆时，面积最小．
∴该圆圆心为，半径为
＝，
圆方程为2＋2＝.
10．已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.
(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；
(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2时，求直线l的方程．
解　将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0化成标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.
(1)若直线l与圆C相切，则有＝2，
解得a＝－.
(2)过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，
得
解得a＝－7或－1.
故所求直线方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.
能力提升题组
(建议用时：25分钟)
一、选择题
1．(2014·安徽宣城六校联考)已知点P(x0，y0)，圆O：x2＋y2＝r2(r＞0)，直线l：x0x＋y0y＝r2，有以下几个结论：①若点P在圆O上，则直线l与圆O相切；②若点P在圆O外，则直线l与圆O相离；③若点P在圆O内，则直线l与圆O相交；④无论点P在何处，直线l与圆O恒相切，其中正确的个数是 (　　)．
A．1　 B．2　
C．3　 D．4
解析　根据点到直线的距离公式有d＝，若点P在圆O上，则x＋y＝r2，d＝r，相切；若点P在圆O外，则x＋y＞r2，d＜r，相交；若点P在圆O内，则x＋y＜r2，d＞r，相离，故只有①正确．
答案　A
2．(2014·长沙模拟)若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆所作的切线长的最小值是 (　　)．
A．2　 B．3　
C．4　 D．6
解析　圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝2，所以圆心为(－1,2)，半径为.因为圆关于直线2ax＋by＋6＝0对称，所以圆心在直线2ax＋by＋6＝0上，所以－2a＋2b＋6＝0，即b＝a－3，点(a，b)到圆心的距离为
d＝＝
＝＝.
所以当a＝2时，d有最小值＝3，此时切线长最小，为＝＝4.
答案　C
二、填空题
3．(2013·湖北卷)已知圆O：x2＋y2＝5，直线l：xcos θ＋ysin θ＝1(0<θ<)．设圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为k，则k＝________.
解析　圆O的圆心(0,0)到直线l：xcos θ＋ysin θ＝1的距离d＝1.而圆的半径r＝，且r－d＝－1＞1，∴圆O上在直线l的两侧各有两点到直线l的距离等于1.
答案　4
三、解答题
4．已知圆M：x2＋(y－2)2＝1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点．
(1)若Q(1,0)，求切线QA，QB的方程；
(2)求四边形QAMB面积的最小值；
(3)若|AB|＝，求直线MQ的方程．
解　(1)设过点Q的圆M的切线方程为x＝my＋1，则圆心M到切线的距离为1，∴＝1，∴m＝－或0，∴QA，QB的方程分别为3x＋4y－3＝0和x＝1.
(2)∵MA⊥AQ，∴S四边形MAQB＝|MA|·|QA|＝|QA|＝＝≥＝.
∴四边形QAMB面积的最小值为.
(3)设AB与MQ交于P，
则MP⊥AB，MB⊥BQ，∴|MP|＝ ＝.
在Rt△MBQ中，|MB|2＝|MP||MQ|，即1＝|MQ|，
∴|MQ|＝3，∴x2＋(y－2) 2＝9.设Q(x,0)，
则x2＋22＝9，∴x＝±，∴Q(±，0)，
∴MQ的方程为2x＋y－2＝0或2x－y＋2＝0.

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