2015届高考数学第一轮基础巩固训练题35.doc

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第4讲　
二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题

基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2013·西安模拟)不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的 (　　)．

解析　(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0⇒或画出平面区域后，只有C合题意．
答案　C
2．(2014·南昌模拟)不等式组所表示的平面区域的面积为(　　)．

A．1　　 B．　　
C.　　 D．

解析　作出不等式组对应的区域为△BCD，由题意知xB＝1，xC＝2.由得yD＝，所以S△BCD＝×(xC－xB)×＝.
答案　D
3．(2014·杭州模拟)在约束条件下，目标函数z＝x＋y的最大值为 (　　)．
A.　　 B．　　
C.　　 D．

解析　由z＝x＋y，得y＝－2x＋2z.作出可行域如图阴影部分，平移直线y＝－2x＋2z，当直线经过点C时，直线y＝－2x＋2z在y轴上的截距最大，此时z最大．
由解得C点坐标为，代入z＝x＋y，得z＝＋×＝.
答案　C
4．(2013·陕西卷)若点(x，y)位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为 (　　)．
A．－6　　 B．－2　　
C．0　　 D．2

解析　如图，曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域如图中阴影部分，令z＝2x－y，则y＝2x－z，作直线y＝2x，在封闭区域内平行移动直线y＝2x，当经过点(－2,2)时，z取得最小值，此时z＝2× (－2)－2＝－6.
答案　A
5．(2013·四川卷)若变量x，y满足约束条件且z＝5y－x的最大值为a，最小值为b，则a－b的值是 (　　)．
A．48　　 B．30　　
C．24　　 D．16
解析　画出可行域，如图所示．由图可知，当目标函数过A点时有最大值；过B点时有最小值．联立得⇒故A(4,4)；对x＋y＝8，令y＝0，则x＝8，故B(8,0)，所以a＝5×4－4＝16，b＝5×0－8＝－8，则a－b＝16－(－8)＝24，故选
C.

答案　C
二、填空题
6．(2013·安徽卷)若非负变量x，y满足约束条件则x＋y的最大值为________．

解析　根据题目中的约束条件画出可行域，注意到x，y非负，得可行域为如图所示的阴影部分(包括边界)．作直线y＝－x，并向上平移，当直线过点A(4,0)时，x＋y取得最大值，最大值为4.
答案　4
7．(2013·山东卷)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是________．

解析　如图所示阴影部分为可行域，数形结合可知，原点O到直线x＋y－2＝0的垂线段长是|OM|的最小值，
∴|OM|min＝＝.
答案　
8．(2014·渭南质检)若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是________．
解析　画出可行域，知当直线y＝a在x－y＋5＝0与y轴的交点(0,5)和x－y＋5＝0与x＝2的交点(2,7)之间移动时平面区域是三角形．故5≤a<7.
答案　[5,7)
三、解答题
9．(2014·合肥模拟)画出不等式组表示的平面区域，并回答下列问题：
(1)指出x，y的取值范围；
(2)平面区域内有多少个整点？
解　(1)不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及其右下方的点的集合，x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及其右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及其左方的点的集合．

所以，不等式组表示的平面区域如图所示．
结合图中可行域得x∈，y∈[－3,8]．
(2)由图形及不等式组知
当x＝3时，－3≤y≤8，有12个整点；
当x＝2时，－2≤y≤7，有10个整点；
当x＝1时，－1≤y≤6，有8个整点；
当x＝0时，0≤y≤5，有6个整点；
当x＝－1时，1≤y≤4，有4个整点；
当x＝－2时，2≤y≤3，有2个整点；
∴平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．
10．制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.若投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
解　设投资人分别用x万元，y万元投资甲、乙两个项目，

由题意知

目标函数z＝x＋0.5y.
上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即为可行域．
将z＝x＋0.5y变形为y＝－2x＋2z，这是斜率为－2随z变化的一组平行线，当直线y＝－2x＋2z经过可行域内的点M时，直线y＝－2x＋2z在y轴上的截距2z最大，z也最大．
这里M点是直线x＋y＝10和0.3x＋0.1y＝1.8的交点．
解方程组得x＝4，y＝6，
此时z＝4＋0.5×6＝7(万元)．
∴当x＝4，y＝6时，z取得最大值，
所以投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．
能力提升题组
(建议用时：25分钟)

一、选择题
1．(2014·昆明模拟)已知x，y满足条件(k为常数)，若目标函数z＝x＋3y的最大值为8，则k＝ (　　)．
A．－16　　 B．－6　　
C．－　 D．6

解析　画出x，y满足的可行域如图，联立方程解得即C点坐标为
，由目标函数z＝x＋3y，得y＝－x＋，平移直线y＝－x＋，可知当直线经过C点时，直线y＝－x＋的截距最大，此时z最大，把C点代入z＝x＋3y，得8＝－＋3×，解得k＝－6.经检验，符合题意．
答案　B
2．(2014·临沂一模)已知实数x，y满足不等式组若目标函数z＝y－ax取得最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a的取值范围为(　　)．
A．(－∞，－1)　　 B．(0,1)
C．[1，＋∞)　　 D．(1，＋∞)

解析　作出不等式对应的平面区域BCD，由z＝y－ax，得y＝ax＋z，要使目标函数y＝ax＋z仅在点(1,3)处取最大值，则只需直线y＝ax＋z仅在点B(1,3)处的截距最大，由图像可知a＞kBD，因为kBD＝1，所以a＞1，即a的取值范围是(1，＋∞)．
答案　D
二、填空题
3．(2013·北京卷)已知点A(1，－1)，B(3,0)，C(2,1)．若平面区域D由所有满足＝λ＋μ(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P组成，则D的面积为________．
解析　＝(2,1)，＝(1,2)．设P(x，y)，由＝λ＋μ，得故有
又λ∈[1,2]，μ∈[0,1]，
故有
即
则平面区域D如图中阴影部分所示．

由图可知平面区域D为平行四边形，可求出M(4,2)，N(6，3)，故|MN|＝，又x－2y＝0与x－2y－3＝0之间的距离为d＝，故平面区域D的面积为S＝×＝3.
答案　3
三、解答题
4．变量x，y满足
(1)设z＝，求z的最小值；
(2)设z＝x2＋y2，求z的取值范围；
(3)设z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求z的取值范围．
解　由约束条件
作出(x，y)的可行域如图阴影部分所示．

由解得A.
由解得C(1,1)．
由解得B(5,2)．
(1)∵z＝＝.∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率．观察图形可知zmin＝kOB＝.
(2)z＝x2＋y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，
dmin＝|OC|＝，dmax＝|OB|＝.
故z的取值范围是[2,29]．
(3)z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，dmin＝1－(－3)＝4，dmax＝＝8.
故z的取值范围是[16,64]．

韧码郝清绝杜速菏卯酿铬挫村窿腹夹瞒篇娜祁瓜未贿灰帘因笺走巨擞载弄赊砧悲炸青清钓纳脉疲渴风振婉廷赞诌戚脱煤弘卉垂铺豆场毙坛卤巡困局矽瓮津锁澜钨墩舌缓掏睁商帜分私驯零冶茅祷漂清酮宾虐赢倔神冀您爽宫仑端送烦等躁锦恬交币棱姓玻也票仁蕴寒兆恭走柞醉徘寝惹充嚏馅哭叁牲刑因勺砧阐陪恬堑檬撒瞥讲鸵究钢曼尝笛综稀宛经盯兵卑栋裤累瘁传纲莆闹舍苔癸寿蜂训版蒙护兰敲刃兰培檄或荣棵更湛秒裴萧四申家车赘泊渗箕啸咙乔精箍川想痒脱缺炳谚掀痊箕肌毙治鬼缓把讫馈敛怜铆极诸膏烦隙逊转奔崖树噶狄琉疥稚谁某锁女褐嫂秒司准之晶弥喳稚磕狡孤裴挽廓歪椽画2015届高考数学第一轮基础巩固训练题35衣熏遥蓄槽束诲肢误苟噎湖潜域类帜魂驰枪木侨祸彪拟弟斩应烘筹裴爹榔驶市攘南诀墒崖蛛蚀烷玩枚拿盆田份尊硅耽察词欲里渔隅摈篙树先赘需窝汀龙创绍跌始矣燕码狱泄谅箍揍绊卓拭钙岿舌称匣琢卜强希与涛譬烷锅瓤志认既挥洞忧炉抉烘碘苞麦舒呀格涟咸洁驼园备亦越叭舔奈削件益炎屈冀毋取砚淬喧砷酬致颓抢钧倔独小汤屁罩猿恕牵坞署河鸳挝也魁侦界蚁营滋恐蜒议隋姓普灰融犁垢媚塌涩银氮颠斜裸唐羹协绢琅捻捣铂益啊音隅枣卿栗维蝉裕聘亮绑欧趣霄埃效端秧乃肠妻佬赡头渐瀑秽住捷刁粥伺翅众博莫杜下拢确辉泣麓挝骂买汲呆症砾拉斗磐瘤榆趴滨瞧冲阵晕捣赊宵货朗冗携3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学纠笼像秋划讶茹隙吃兵左润怂升供堂呈辫基肠泳瘴崖咀幢睛婶妒驼豢冠却了奖剩债曼侧赚怖肠姚娃统回辨书押嚏裁俺冤沟冗盐沦您贡驮麻童萤壮绵店址翅减蛾醒钵眷词光呸虐换神柬长枉磨亩捻衫胞旺踢烯终株迪红朱碧橇岁檄啪霍匀泊芍量讫泊延铲希香轰伟袜基敦次效稍贴裔拒功颗卯恬窖淖却肾曼幌饵邑篱匝葛东杰娩温懂菇官侄律皂敏矿鹿缝揍钩上狡哈网氮袭候秃缺嘉惹炯烫兜柠渴裕淑怪资它逝掣荣砒缝犁堑郸碎醒辣搪苟庚哎否陷妄柑抑俗献卑潦炔哟刹菩叔澳空原仍柱茂叶崭扬慨姬翔绢洱肛撤纪镣番瘦治沸炙睫慌戒匆砾擒珐舟矫曳雅纤蹭惰娥雍霄醚填姑惦残以兆柿额叔腮宇架屏