高考数学专题复习测试卷20.doc

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第二十四讲　平面向量的基本定理及坐标表示
一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)
1．已知a＝(4,2)，b＝(x,3)，且a∥b，则x等于(　　)
A．9　　　　　　　　　　　 B．6
C．5 D．3
解析：∵a∥b，
∴4×3－2x＝0，解得x＝6.故选B.
答案：B
2．已知向量e1与e2不共线，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y等于(　　)
A．3 B．－3
C．0 D．2
解析：∵(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，
∴(3x－4y－6)e1＋(2x－3y－3)e2＝0，
∴
由①－②得x－y－3＝0，即x－y＝3，故选A.
答案：A
3．若a＝(2cosα，1)，b＝(sinα，1)，且a∥b，则tanα等于(　　)
A．2 B.
C．－2 D．－
解析：∵a∥b，∴a＝λb，∴
∴2cosα＝sinα，∴tanα＝2.
答案：A
4．已知向量a＝(1,2)，b＝(0,1)，设u＝a＋kb，v＝2a－b，若u∥v，则实数k的值为(　　)
A．－1 B．－
C. D．1
解析：∵u＝(1,2)＋k(0,1)＝(1,2＋k)，v＝(2,4)－(0,1)＝(2,3)，又u∥v，
∴1×3＝2(2＋k)，得k＝－，故选B.
答案：B
5．设点A(2,0)，B(4,2)，若点P在直线AB上，且||＝2||，则点P的坐标为(　　)
A．(3,1) B．(1，－1)
C．(3,1)或(1，－1) D．无数多个
解析：设P(x，y)，则由||＝2||，得＝2或＝－2.＝(2,2)，＝(x－2，y)，即(2,2)＝2(x－2，y)，x＝3，y＝1，P(3,1)，或(2,2)＝－2(x－2，y)，x＝1，y＝－1，P(1，－1)．
答案：C
6.已知点A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0),给出下面的结论:
①直线OC与直线BA平行;
②
③
④
其中正确结论的个数是(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：kOC＝＝－，kBA＝＝－，
∴OC∥BA，①正确；
∵∴②错误;
∵∴③正确;
∵v (-4,0),

∴④正确．故选C.
答案：C
二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)
7．设a＝(1,2)，b＝(2,3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________.
解析：∵λa＋b＝(λ＋2,2λ＋3)与c＝(－4，－7)共线，
∴(λ＋2)×(－7)－(2λ＋3)×(－4)＝0，解得λ＝2.
答案：2
8.设=(1,-2), =(a,-1), =(-b,0),a>0,b>0,O为坐标原点,若A、B、C三点共线,则的最小值是________.
解析:据已知∥,
又∵=(a-1,1),
(-b-1,2),
∴2(a－1)－(－b－1)＝0，
∴2a＋b＝1，
∴＋＝＋＝4＋＋≥4＋2＝8，
当且仅当＝，a＝，b＝时取等号，
∴＋的最小值是8.
答案：8
9．(2010·陕西)已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.
解析：由题知a＋b＝(1，m－1)，c＝(－1,2)，由(a＋b)∥c得1×2－(m－1)×(－1)＝m＋1＝0，所以m＝－1.
答案：－1
10．已知a是以点A(3，－1)为起点，且与向量b＝(－3,4)平行的单位向量，则向量a的终点坐标是________．
解析：设向量a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x－3，y＋1)，由题意可知
4(x－3)＋3(y＋1)＝0,(x－3)2＋(y＋1)2＝1，
解得x＝,y＝－或x＝,y＝－，
故填或.
答案：或
三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)
11．已知O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及.试问：
(1)t为何值时，P在x轴上？在y轴上？P在第二象限？
(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．
分析：利用向量相等建立向量的坐标间的关系，再由条件求出．
解：(1)∵O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，
∴=(1,2), =(3,3),
=(1+3t,2+3t).
若P在x轴上，则2＋3t＝0，解得t＝－；
若P在y轴上，则1＋3t＝0，解得t＝－；
若P在第二象限，则，解得－<t<－.
(2)∵＝(1,2)，＝＋＝(3－3t,3－3t)，
若四边形OABP为平行四边形，
则＝，而无解，
∴四边形OABP不能成为平行四边形．
12.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),O为坐标原点.设=b,且
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n.
解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)，
∴，解得.
13．已知向量u＝(x，y)，与向量v＝(y,2y－x)的对应关系用v＝f(u)表示．
(1)证明：对任意的向量a、b及常数m、n，恒有f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立；
(2)设a＝(1,1)，b＝(1,0)，求向量f(a)与f(b)的坐标；
(3)求使f(c)＝(p，q)(p、q为常数)的向量c的坐标．
解：(1)设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，
则ma＋nb＝(ma1＋nb1，ma2＋nb2)．
∴f(ma＋nb)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)．
∵mf(a)＝m(a2,2a2－a1)，nf(b)＝n(b2,2b2－b1)，
∴mf(a)＋nf(b)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)，
∴f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立．
(2)f(a)＝(1,2×1－1)＝(1,1)，
f(b)＝(0,2×0－1)＝(0，－1)．
(3)设c＝(x，y)，则
f(c)＝(y,2y－x)＝(p，q)
∴
即
∴c＝(2p－q，p)．
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