2015年内蒙古巴彦淖尔中考数学试题.doc

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2015年内蒙古巴彦淖尔市中考数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）（2015•巴彦淖尔）﹣3的绝对值是（　　）
　 A． ﹣3 B． 3 C． ﹣3﹣1 D． 3﹣1

2．（3分）（2015•巴彦淖尔）下列运算正确的是（　　）
　 A． x3•x2=x5 B． （x3）2=x5 C． （x+1）2=x2+1 D． （2x）2=2x2

3．（3分）（2015•巴彦淖尔）如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，且BE=CF，连接CE、DF，将△DCF绕着正方形的中心O按顺时针方向旋转到△CBE的位置，则旋转角为（　　）

　 A． 30° B． 45° C． 60° D． 90°

4．（3分）（2015•巴彦淖尔）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
　 A． B． C． D．

5．（3分）（2015•巴彦淖尔）如图所示的几何体的左视图是（　　）

　 A． B． C． D．

6．（3分）（2015•巴彦淖尔）某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，设十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到绿灯的概率为（　　）
　 A． B． C． D．

7．（3分）（2015•巴彦淖尔）如图，P为平行四边形ABCD的边AD上的一点，E，F分别为PB，PC的中点，△PEF，△PDC，△PAB的面积分别为S，S1，S2．若S=3，则S1+S2的值为（　　）

　 A． 24 B． 12 C． 6 D． 3

8．（3分）（2015•巴彦淖尔）如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进40海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海里C到航线AB的距离CD是（　　）

　 A． 20海里 B． 40海里 C． 20海里 D． 40海里

9．（3分）（2015•巴彦淖尔）如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积为（　　）

　 A． π﹣1 B． 2π﹣1 C． π﹣1 D． π﹣2

10．（3分）（2015•巴彦淖尔）如图1，E为矩形ABCD边AD上的一点，点P从点B沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是2cm/s．若P、Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2），已知y与t的函数关系图象如图2，则下列结论错误的是（　　）

　 A． AE=12cm
　 B． sin∠EBC=
　 C． 当0＜t≤8时，y=t2
　 D． 当t=9s时，△PBQ是等腰三角形

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）（2015•巴彦淖尔）分解因式：﹣2xy2+8x=　　　　　　．

12．（3分）（2015•巴彦淖尔）如图，小明从A点出发，沿直线前进12米后向左转36°，再沿直线前进12米，又向左转36°…照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了　　　　　　米．

13．（3分）（2015•巴彦淖尔）函数y=的自变量x的取值范围是　　　　　　．

14．（3分）（2015•巴彦淖尔）一组数据3，5，a，4，3的平均数是4，这组数据的方差为　　　　　　．

15．（3分）（2015•巴彦淖尔）某校要组织一次乒乓球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排2天，每天安排5场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的方程为　　　　　　．

16．（3分）（2015•巴彦淖尔）如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出以下五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧是劣弧的2倍；⑤AE=BC，其中正确的序号是　　　　　　．

三、解答题（共8小题，满分72分）
17．（10分）（2015•巴彦淖尔）（1）计算：﹣4sin30°+（2015﹣π）0﹣（﹣3）2
（2）先化简，再求值：1﹣÷，其中x、y满足|x﹣2|+（2x﹣y﹣3）2=0．

18．（6分）（2015•巴彦淖尔）我市某超市举行店庆活动，对甲、乙两种商品实行打折销售，打折前，购买2件甲商品和3件乙商品需要180元；购买1件甲商品和4件乙商品需要200元，而店庆期间，购买10件甲商品和10件乙商品仅需520元，这比打折前少花多少钱？

19．（9分）（2015•巴彦淖尔）为了提高学生书写汉字的能力．增强保护汉字的意识，我区举办了“汉字听写大赛”，经选拔后有50名学生参加决赛，这50名学生同时听写50个汉字，若每正确听写出一个汉字得1分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表：
组别 成绩x分 频数（人数）
第1组 25≤x＜30 4
第2组 30≤x＜35 6
第3组 35≤x＜40 14
第4组 40≤x＜45 a
第5组 45≤x＜50 10
请结合图表完成下列各题：
（1）求表中a的值；
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）若测试成绩不低于40分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？

20．（9分）（2015•巴彦淖尔）在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字1，2，3，4的小球，他们的形状、大小、质地等完全相同．小兰先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为x，放回盒子，摇匀后，再由小田随机取出一个小球，记下数字为y
（1）用列表法或画树状图法表示出（x，y）的所有可能出现的结果；
（2）求小兰、小田各取一次小球所确定的点（x，y）落在反比例函数y=的图象上的频率；
（3）求小兰、小田各取一次小球所确定的数x，y满足y的概率．

21．（8分）（2015•巴彦淖尔）如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，F是CD的中点，过点C作AB的平行线交BF的延长线于点E，连接AE．
（1）求证：EC=DA；
（2）若AC⊥CB，试判断四边形AECD的形状，并证明你的结论．

22．（8分）（2015•巴彦淖尔）如图，四边形ABCD为正方形，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（0，﹣2），反比例函数y=的图象经过点C，一次函数y=ax+b的图象经过A、C两点
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）求反比例函数与一次函数的另一个交点M的坐标；
（3）若点P是反比例函数图象上的一点，△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求P点的坐标．

23．（10分）（2015•巴彦淖尔）如图，AB是⊙O的直径，点C是的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E是OB的中点，CE的延长线交切线BD于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．
（1）求证：AC=CD；
（2）若OC=，求BH的长．

24．（12分）（2015•巴彦淖尔）如图所示，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣2，0）、B（4，0），其原点为D，连接BD，点P是线段BD上的一个动点（不与B、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为E，连接BE．
（1）求抛物线的解析式，并写出原点D的坐标；
（2）设P点的坐标为（x，y），△PBE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；
（3）在（2）的条件下，当S取值最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，请直接写出P′点的坐标，并判断点P′是否在该抛物线上．

2015年内蒙古巴彦淖尔市中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）（2015•巴彦淖尔）﹣3的绝对值是（　　）
　 A． ﹣3 B． 3 C． ﹣3﹣1 D． 3﹣1

考点： 绝对值．
分析： 计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．
解答： 解：﹣3的绝对值是3，
故选B．
点评： 规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．

2．（3分）（2015•巴彦淖尔）下列运算正确的是（　　）
　 A． x3•x2=x5 B． （x3）2=x5 C． （x+1）2=x2+1 D． （2x）2=2x2

考点： 幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法；完全平方公式．
分析： 把原式各项计算得到结果，即可做出判断．
解答： 解：A、x3•x2=x5，此选项正确；
B、（x3）2=x6，此选项错误；
C、（x+1）2=x2+2x+1，此选项错误；
D、（2x）2=4x2，此选项错误；
故选A．
点评： 此题考查了幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法，完全平方公式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

3．（3分）（2015•巴彦淖尔）如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，且BE=CF，连接CE、DF，将△DCF绕着正方形的中心O按顺时针方向旋转到△CBE的位置，则旋转角为（　　）

　 A． 30° B． 45° C． 60° D． 90°

考点： 旋转的性质．
专题： 计算题．
分析： 由题意得到D对应点为C，连接OC，OD，∠DOC即为旋转角，利用正方形性质求出即可．
解答： 解：∵正方形ABCD，O为正方形的中心，
∴OD=OC，OD⊥OC，
∴∠DOC=90°，
由题意得到D对应点为C，连接OC，OD，∠DOC即为旋转角，
则将△DCF绕着正方形的中心O按顺时针方向旋转到△CBE的位置，旋转角为90°，
故选D．

点评： 此题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．

4．（3分）（2015•巴彦淖尔）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
　 A． B． C． D．

考点： 在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．
分析： 首先解不等式组中的每个不等式，然后确定两个不等式的解集的公共部分，即可确定不等式组的解集．
解答： 解：解第一个不等式得：x＞﹣2，
解第二个不等式得：x≤﹣3
则不等式组的解集是：﹣2＜x≤3，
故选D．
点评： 本题考查了在数轴上表示不等式的解集及解一元一次不等式组的知识，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．

5．（3分）（2015•巴彦淖尔）如图所示的几何体的左视图是（　　）

　 A． B． C． D．

考点： 简单组合体的三视图．
分析： 结合已知几何体，利用左视图的定义得出答案．
解答： 解：如图所示的几何体的左视图是：．
故选：A．
点评： 此题主要考查了简单组合体的三视图，正确把握左视图的定义是解题关键．

6．（3分）（2015•巴彦淖尔）某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，设十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到绿灯的概率为（　　）
　 A． B． C． D．

考点： 概率公式．
分析： 利用十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，遇到每种信号灯的概率之和为1，进而求出即可．
解答： 解：∵十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为，遇到黄灯的概率为，
∴他遇到绿灯的概率为：1﹣﹣=．
故选：D．
点评： 此题主要考查了概率公式，得出遇到每种信号灯的概率之和为1是解题关键．

7．（3分）（2015•巴彦淖尔）如图，P为平行四边形ABCD的边AD上的一点，E，F分别为PB，PC的中点，△PEF，△PDC，△PAB的面积分别为S，S1，S2．若S=3，则S1+S2的值为（　　）

　 A． 24 B． 12 C． 6 D． 3

考点： 平行四边形的性质；三角形中位线定理．
分析： 过P作PQ平行于DC，由DC与AB平行，得到PQ平行于AB，可得出四边形PQCD与ABQP都为平行四边形，进而确定出△PDC与△PCQ面积相等，△PQB与△ABP面积相等，再由EF为△BPC的中位线，利用中位线定理得到EF为BC的一半，且EF平行于BC，得出△PEF与△PBC相似，相似比为1：2，面积之比为1：4，求出△PBC的面积，而△PBC面积=△CPQ面积+△PBQ面积，即为△PDC面积+△PAB面积，即为平行四边形面积的一半，即可求出所求的面积．
解答： 解：过P作PQ∥DC交BC于点Q，由DC∥AB，得到PQ∥AB，
∴四边形PQCD与四边形APQB都为平行四边形，
∴△PDC≌△CQP，△ABP≌△QPB，
∴S△PDC=S△CQP，S△ABP=S△QPB，
∵EF为△PCB的中位线，
∴EF∥BC，EF=BC，
∴△PEF∽△PBC，且相似比为1：2，
∴S△PEF：S△PBC=1：4，S△PEF=3，
∴S△PBC=S△CQP+S△QPB=S△PDC+S△ABP=S1+S2=12．
故选：B．

点评： 此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．

8．（3分）（2015•巴彦淖尔）如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进40海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海里C到航线AB的距离CD是（　　）

　 A． 20海里 B． 40海里 C． 20海里 D． 40海里

考点： 解直角三角形的应用-方向角问题．
分析： 根据方向角的定义及余角的性质求出∠CAD=30°，∠CBD=60°，再由三角形外角的性质得到∠CAD=30°=∠ACB，根据等角对等边得出AB=BC=20，然后解Rt△BCD，求出CD即可解答．
解答： 解：根据题意可知∠CAD=30°，∠CBD=60°，
∵∠CBD=∠CAD+∠ACB，
∴∠CAD=30°=∠ACB，
∴AB=BC=40海里，
在Rt△CBD中，∠BDC=90°，∠DBC=60°，sin∠DBC=，
∴sin60°=，
∴CD=40×sin60°=40×=20（海里）．
故选：C．

点评： 本题考查了解直角三角形的应用，难度适中．解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．

9．（3分）（2015•巴彦淖尔）如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积为（　　）

　 A． π﹣1 B． 2π﹣1 C． π﹣1 D． π﹣2

考点： 扇形面积的计算．
分析： 已知BC为直径，则∠CDB=90°，在等腰直角三角形ABC中，CD垂直平分AB，CD=DB，D为半圆的中点，阴影部分的面积可以看做是扇形ACB的面积与△ADC的面积之差．
解答： 解：在Rt△ACB中，AB==2，
∵BC是半圆的直径，
∴∠CDB=90°，
在等腰Rt△ACB中，CD垂直平分AB，CD=BD=，
∴D为半圆的中点，
S阴影部分=S扇形ACB﹣S△ADC=π×22﹣×（）2=π﹣1．
故选A．
点评： 本题主要考查扇形面积的计算，不规则图形面积的求法，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．

10．（3分）（2015•巴彦淖尔）如图1，E为矩形ABCD边AD上的一点，点P从点B沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是2cm/s．若P、Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2），已知y与t的函数关系图象如图2，则下列结论错误的是（　　）

　 A． AE=12cm
　 B． sin∠EBC=
　 C． 当0＜t≤8时，y=t2
　 D． 当t=9s时，△PBQ是等腰三角形

考点： 动点问题的函数图象．
分析： 由图2可知，在点（8，20）至点（10，20）区间，△BPQ的面积不变，因此可推论BC=BE，由此分析动点P的运动过程如下：
（1）在BE段，BP=BQ；持续时间8s，则BE=BC=16；y是t的二次函数；
（2）在ED段，y=20是定值，持续时间2s，则ED=4；
（3）在DC段，y持续减小直至为0，y是t的一次函数．
解答： 解：A、分析函数图象可知，BC=16cm，ED=4cm，故AE=AD﹣ED=BC﹣ED=16﹣4=12cm，故①正确；
B、如答图1所示，连接EC，过点E作EF⊥BC于点F，
由函数图象可知，BC=BE=16cm，ED=4cm，则BF=12cm，
由勾股定理得，EF=4，
∴sin∠EBC==，故②正确；
C、如答图2所示，过点P作PG⊥BQ于点G，
∵BQ=BP=2t，
∴y=S△BPQ=BQ•PG=BQ•BP•sin∠EBC=×2t•2t•=t2．
故③正确；
D、当t=9s时，点Q与点C重合，点P运动到ED的中点，设为N，如答图3所示，连接NB，NC．
此时AN=14，ND=2，由勾股定理求得：NB=，NC=，
∵BC=16，
∴△BCN不是等腰三角形，即此时△PBQ不是等腰三角形．
故④错误；
故选：D．

点评： 本题考查动点问题的函数图象，需要结合几何图形与函数图象，认真分析动点的运动过程．突破点在于正确判断出BC=BE=10cm．

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）（2015•巴彦淖尔）分解因式：﹣2xy2+8x=　﹣2x（y+2）（y﹣2）　．

考点： 提公因式法与公式法的综合运用．
专题： 计算题．
分析： 原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
解答： 解：原式=﹣2x（y2﹣4）=﹣2x（y+2）（y﹣2），
故答案为：﹣2x（y+2）（y﹣2）
点评： 此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

12．（3分）（2015•巴彦淖尔）如图，小明从A点出发，沿直线前进12米后向左转36°，再沿直线前进12米，又向左转36°…照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了　120　米．

考点： 多边形内角与外角．
专题： 应用题．
分析： 根据题意多边形的外角和为360°，由题意得到小明运动的轨迹为正10边形的周长，求出即可．
解答： 解：由题意得：360°÷36°=10，
则他第一次回到出发地A点时，一共走了12×10=120（米）．
故答案为：120．
点评： 此题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和定理是解本题的关键．

13．（3分）（2015•巴彦淖尔）函数y=的自变量x的取值范围是　x≥0且x≠﹣2　．

考点： 函数自变量的取值范围．
分析： 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
解答： 解：根据题意得：x≥0且x+2≠0，
解得：x≥0且x≠﹣2．
故答案为x≥0且x≠﹣2．
点评： 本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

14．（3分）（2015•巴彦淖尔）一组数据3，5，a，4，3的平均数是4，这组数据的方差为　0.8　．

考点： 方差；算术平均数．
分析： 根据平均数的计算公式先求出a的值，再根据方差公式S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，代数计算即可．
解答： 解：∵3，5，a，4，3的平均数是4，
∴（3+5+a+4+3）÷5=4，
解得：a=5，
则这组数据的方差S2=[（3﹣4）2+（5﹣4）2+（5﹣4）2+（4﹣4）2+（3﹣4）2]=0.8，
故答案为0.8．
点评： 本题考查了方差，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，此题难度不大．

15．（3分）（2015•巴彦淖尔）某校要组织一次乒乓球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排2天，每天安排5场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的方程为　x（x﹣1）=2×5　．

考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．
专题： 增长率问题．
分析： 关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2=2×5，把相关数值代入即可．
解答： 解：每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛，
所以可列方程为：x（x﹣1）=2×5．
故答案是：x（x﹣1）=2×5．
点评： 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．

16．（3分）（2015•巴彦淖尔）如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出以下五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧是劣弧的2倍；⑤AE=BC，其中正确的序号是　①②④　．

考点： 圆周角定理；等腰三角形的判定与性质；弧长的计算．
分析： 根据圆周角定理，等边对等角，等腰三角形的性质，直径对的圆周角是直角等知识，运用排除法逐条分析判断．
解答： 解：连接AD，AB是直径，
则AD⊥BC，
又∵△ABC是等腰三角形，
故点D是BC的中点，即BD=CD，故②正确；
∵AD是∠BAC的平分线，
由圆周角定理知，∠EBC=∠DAC=∠BAC=22.5°，故①正确；
∵∠ABE=90°﹣∠EBC﹣∠BAD=45°=2∠CAD，故④正确；
∵∠EBC=22.5°，2EC≠BE，AE=BE，∴AE≠2CE，③不正确；
∵AE=BE，BE是直角边，BC是斜边，肯定不等，故⑤错误．
综上所述，正确的结论是：①②④．
故答案是：①②④．
点评： 本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定与性质以及弧长的计算等．利用了圆周角定理，等边对等角，等腰三角形的性质，直径对的圆周角是直角求解．

三、解答题（共8小题，满分72分）
17．（10分）（2015•巴彦淖尔）（1）计算：﹣4sin30°+（2015﹣π）0﹣（﹣3）2
（2）先化简，再求值：1﹣÷，其中x、y满足|x﹣2|+（2x﹣y﹣3）2=0．

考点： 分式的化简求值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．
专题： 计算题．
分析： （1）原式第一项利用算术平方根定义计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用乘方的意义化简，计算即可得到结果；
（2）原式第二项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，利用非负数的性质求出x与y的值，代入计算即可求出值．
解答： 解：（1）原式=3﹣4×+1﹣9=﹣7；
（2）原式=1﹣•=1﹣==﹣，
∵|x﹣2|+（2x﹣y﹣3）2=0，
∴，
解得：x=2，y=1，
当x=2，y=1时，原式=﹣．
点评： 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

18．（6分）（2015•巴彦淖尔）我市某超市举行店庆活动，对甲、乙两种商品实行打折销售，打折前，购买2件甲商品和3件乙商品需要180元；购买1件甲商品和4件乙商品需要200元，而店庆期间，购买10件甲商品和10件乙商品仅需520元，这比打折前少花多少钱？

考点： 二元一次方程组的应用；二元一次方程的应用．
分析： 设甲商品单价为x元，乙商品单价为y元，根据购买3件甲商品和1件乙商品需用180元；购买1件甲商品和4件乙商品需用200元，列出方程组，继而可计算购买10件甲商品和10件乙商品需要的花费，也可得出比不打折前少花多少钱．
解答： 解：设打折前甲商品的单价为x元，乙商品的单价为y元，
由题意得：，
解得：．
则购买10件甲商品和10件乙商品需要520元，
∵打折后实际花费：10×（24+44）=680（元），
∴这比不打折前少花160元．
答：这比不打折前少花160元．
点评： 本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．

19．（9分）（2015•巴彦淖尔）为了提高学生书写汉字的能力．增强保护汉字的意识，我区举办了“汉字听写大赛”，经选拔后有50名学生参加决赛，这50名学生同时听写50个汉字，若每正确听写出一个汉字得1分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表：
组别 成绩x分 频数（人数）
第1组 25≤x＜30 4
第2组 30≤x＜35 6
第3组 35≤x＜40 14
第4组 40≤x＜45 a
第5组 45≤x＜50 10
请结合图表完成下列各题：
（1）求表中a的值；
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）若测试成绩不低于40分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？

考点： 频数（率）分布直方图；频数（率）分布表．
分析： （1）利用总数50减去其他各组的频数即可求得a的值；
（2）根据（1）的结果即可把频数分布直方图补充完整；
（3）根据百分比的意义即可求解．
解答： 解：（1）a=50﹣4﹣6﹣14﹣10=16；

（2）如图所示：

（3）本次测试的优秀率是：×100%=52%．

点评： 本题考查了读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．

20．（9分）（2015•巴彦淖尔）在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字1，2，3，4的小球，他们的形状、大小、质地等完全相同．小兰先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为x，放回盒子，摇匀后，再由小田随机取出一个小球，记下数字为y
（1）用列表法或画树状图法表示出（x，y）的所有可能出现的结果；
（2）求小兰、小田各取一次小球所确定的点（x，y）落在反比例函数y=的图象上的频率；
（3）求小兰、小田各取一次小球所确定的数x，y满足y的概率．

考点： 列表法与树状图法；反比例函数图象上点的坐标特征．
专题： 计算题．
分析： （1）列表得出所有等可能的情况数即可；
（2）找出点（x，y）落在反比例函数y=的图象上的情况数，即可求出所求的概率；
（3）找出所确定的数x，y满足y的情况数，即可求出所求的概率．
解答： 解：（1）列表如下：
1 2 3 4
1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1）
2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2）
3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3）
4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4）
所有等可能的结果有16种，分别为（1，1）；（1，2）；（1，3）；（1，4）；（2，1）；（2，2）；（2，3）；（2，4）；（3，1）；（3，2）；（3，3）；（3，4）；（4，1）；（4，2）；（4，3）；（4，4）；
（2）其中点（x，y）落在反比例函数y=的图象上的情况有：（2，3）；（3，2）共2种，
则P（点（x，y）落在反比例函数y=的图象上）==；
（3）所确定的数x，y满足y的情况有：（1，1）；（1，2）；（1，3）；（1，4）；（2，1）；（2，2）；（3，1）；（4，1）共8种，
则P（所确定的数x，y满足y）==．
点评： 此题考查了列表法与树状图法，以及反比例函数图象上点的坐标特征，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

21．（8分）（2015•巴彦淖尔）如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，F是CD的中点，过点C作AB的平行线交BF的延长线于点E，连接AE．
（1）求证：EC=DA；
（2）若AC⊥CB，试判断四边形AECD的形状，并证明你的结论．

考点： 全等三角形的判定与性质；菱形的判定．
分析： （1）根据平行线的性质得出∠FEC=∠DBF，∠ECF=∠BDF，F是CD的中点，得出FD=CF，再利用AAS证明△FEC与△DBF全等，进一步证明即可；
（2）利用直角三角形的性质：斜边上的中线等于斜边的，得出CD=DA，进一步得出结论即可．
解答： （1）证明：∵EC∥AB，
∴∠FEC=∠DBF，∠ECF=∠BDF，
∵F是CD的中点，
∴FD=CF，
在△FEC与△DBF中，

∴△FEC≌△DBF，
∴EC=BD，
又∵CD是AB边上的中线，
∴BD=AD，
∴EC=AD．
（2）四边形AECD是菱形．
证明：∵EC=AD，EC∥AD，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵AC⊥CB，CD是AB边上的中线，
∴CD=AD=BD，
∴四边形AECD是菱形．
点评： 此题考查三角形全等的判定与性质，平行四边形的判定以及菱形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．

22．（8分）（2015•巴彦淖尔）如图，四边形ABCD为正方形，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（0，﹣2），反比例函数y=的图象经过点C，一次函数y=ax+b的图象经过A、C两点
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）求反比例函数与一次函数的另一个交点M的坐标；
（3）若点P是反比例函数图象上的一点，△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求P点的坐标．

考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
专题： 计算题．
分析： （1）先根据A点和B点坐标得到正方形的边长，则BC=3，于是可得到C（3，﹣2），然后利用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）通过解关于反比例函数解析式与一次函数的解析式所组成的方程组可得到M点的坐标；
（3）设P（t，﹣），根据三角形面积公式和正方形面积公式得到×1×|t|=3×3，然后解绝对值方程求出t即可得到P点坐标．
解答： 解：（1）∵点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（0，﹣2），
∴AB=1+2=3，
∵四边形ABCD为正方形，
∴Bc=3，
∴C（3，﹣2），
把C（3，﹣2）代入y=得k=3×（﹣2）=﹣6，
∴反比例函数解析式为y=﹣，
把C（3，﹣2），A（0，1）代入y=ax+b得，解得，
∴一次函数解析式为y=﹣x+1；
（2）解方程组得或，
∴M点的坐标为（﹣2，3）；
（3）设P（t，﹣），
∵△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，
∴×1×|t|=3×3，解得t=18或t=﹣18，
∴P点坐标为（18，﹣）或（﹣18，）．

点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．

23．（10分）（2015•巴彦淖尔）如图，AB是⊙O的直径，点C是的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E是OB的中点，CE的延长线交切线BD于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．
（1）求证：AC=CD；
（2）若OC=，求BH的长．

考点： 切线的性质．
分析： （1）连接OC，由C是的中点，AB是⊙O的直径，则CO⊥AB，再由BD是⊙O的切线，得BD⊥AB，从而得出OC∥BD，即可证明AC=CD；
（2）根据点E是OB的中点，得OE=BE，可证明△COE≌△FBE（ASA），则BF=CO，即可得出BF=2，由勾股定理得出AF=，由AB是直径，得BH⊥AF，可证明△ABF∽△BHF，即可得出BH的长．
解答： （1）证明：连接OC，
∵C是的中点，AB是⊙O的直径，
∴CO⊥AB，
∵BD是⊙O的切线，
∴BD⊥AB，
∴OC∥BD，
∵OA=OB，
∴AC=CD；
（2）解：∵E是OB的中点，
∴OE=BE，
在△COE和△FBE中，
，
∴△COE≌△FBE（ASA），
∴BF=CO，
∵OB=，
∴BF=，
∴AF==5，
∵AB是直径，
∴BH⊥AF，
∴△ABF∽△BHF，
∴，
∴AB•BF=AF•BH，
∴BH===2．
点评： 本题考查了切线的性质以及全等三角形的判定和性质、勾股定理，是中档题，难度不大．

24．（12分）（2015•巴彦淖尔）如图所示，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣2，0）、B（4，0），其原点为D，连接BD，点P是线段BD上的一个动点（不与B、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为E，连接BE．
（1）求抛物线的解析式，并写出原点D的坐标；
（2）设P点的坐标为（x，y），△PBE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；
（3）在（2）