2016届高考数学第二轮复习限时训练题21.doc

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限时速解训练七[单独成册]
(建议用时30分钟)
1．曲线y＝x3－2x在(1，－1)处的切线方程为(　　)
A．x－y－2＝0 B．x－y＋2＝0
C．x＋y－2＝0 D．x＋y＋2＝0
解析：选A.由已知，得点(1，－1)在曲线y＝x3－2x上，所以切线的斜率为y′|x＝1＝(3x2－2)|x＝1＝1，由直线方程的点斜式得x－y－2＝0，故选A.
2．函数f(x)＝x2－ln x的单调递减区间为(　　)
A．(－1,1] B．(0,1]
C．[1，＋∞) D．(0，＋∞)
解析：选B.由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由f′(x)＝x－≤0，解得0<x≤1，所以函数f(x)的单调递减区间为(0,1]．
3．已知函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，函数g(x)＝x2－aln x在(1,2)上为增函数，则a的值等于(　　)
A．1 B．2
C．0 D.
解析：选B.∵函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，∴≥1，得a≥2.
又∵g′(x)＝2x－，依题意g′(x)≥0在x∈(1,2)上恒成立，得2x2≥a在x∈(1,2)上恒成立，有a≤2，∴a＝2.
4.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极大值点有(　　)

A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选B.依题意，记函数y＝f′(x)的图象与x轴的交点的横坐标自左向右依次为x1，x2，x3，x4，当a<x<x1时，f′(x)>0；当x1<x<x2时，f′(x)<0；当x2<x<x4时，f′(x)≥0；当x4<x<b时，f′(x)<0.因此，函数f(x)分别在x＝x1、x＝x4处取得极大值，选B.
5．(2015·哈六中模拟)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d(b，c，d为常数)，当x∈(0,1)时，f(x)取得极大值，当x∈(1,2)时，f(x)取得极小值，则2＋(c－3)2的取值范围是(　　)
A. B．(，5)
C. D．(5,25)
解析：选D.因为f′(x)＝3x2＋2bx＋c，f′(x)的两个根分别在(0,1)和(1,2)内，所以f′(0)>0，f′(1)<0，f′(2)>0，即作出可行域如图中阴影部分所示(不包括b轴)，2＋(c－3)2表示可行域内一点到点P的距离的平方，由图象可知，P到直线3＋2b＋c＝0的距离最小，即2＋(c－3)2的最小值为2＝5，P到点A的距离最大，此时2＋(c－3)2＝25，因为可行域的临界线为虚线，所求范围为(5,25)，故选D.

6．函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式ex·f(x)>ex＋1的解集为(　　)
A．{x|x>0} B．{x|x<0}
C．{x|x<－1，或x>1} D．{x|x<－1，或0<x<1}
解析：选A.构造函数g(x)＝ex·f(x)－ex，因为g′(x)＝ex·f(x)＋ex·f′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)]－ex>ex－ex＝0，所以g(x)＝ex·f(x)－ex为R上的增函数．又因为g(0)＝e0·f(0)－e0＝1，所以原不等式转化为g(x)>g(0)，解得x>0.
7．(2015·高考福建卷)若定义在R上的函数f(x)满足f(0)＝－1，其导函数f′(x)满足f′(x)>k>1，则下列结论中一定错误的是(　　)
A．f< B．f>
C．f< D．f>
解析：选C.构造新函数并求导，利用函数单调性求解．
令g(x)＝f(x)－kx＋1，则g(0)＝f(0)＋1＝0，
g＝f－k·＋1＝
f－.
∵g′(x)＝f′(x)－k>0，∴g(x)在[0，＋∞)上为增函数．
又∵k>1，∴>0，∴g>g(0)＝0，
∴f－>0，即f>.
∴C一定错误．
8．函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意的x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式ex·f(x)>ex＋1的解集是(　　)
A．{x|x>0} B．{x|x<0}
C．{x|x<－1或x>1} D．{x|x<－1或0<x<1}
解析：选A.构造函数g(x)＝ex·f(x)－ex－1，求导得g′(x)＝ex·f(x)＋ex·f′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)－1]．由已知f(x)＋f′(x)>1，可得g′(x)>0，所以g(x)为R上的增函数．又g(0)＝e0·f(0)－e0－1＝0，ex·f(x)>ex＋1，所以g(x)>0的解集为{x|x>0}．
9．已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的体积最大时，其高的值为(　　)
A．3 B.
C．2 D．2
解析：选D.设正六棱柱的底面边长为a，高为h，则可得a2＋＝9，即a2＝9－，那么正六棱柱的体积V＝×h＝h＝·，令y＝－＋9h，则y′＝－＋9，令y′＝0，得h＝2.易知当h＝2时，正六棱柱的体积最大．
10．如图所示，曲线y＝x2－1，x＝2，x＝0，y＝0围成的阴影部分的面积为(　　)

A.|x2－1|dx
B．|(x2－1)dx|
C.(x2－1)dx
D.(x2－1)dx＋(1－x2)dx
解析：选A.由曲线y＝|x2－1|的对称性，所求阴影部分的面积与如图图形的面积相等，即|x2－1|dx，选A.

11．(2015·武汉调研)设函数f(x)＝x3－4x＋a,0<a<2.若f(x)的三个零点为x1，x2，x3，且x1<x2<x3，则(　　)
A．x1>－1 B．x2<0
C．x2>0 D．x3>2
解析：选C.函数f(x)的零点就是函数g(x)＝4x－x3的图象与直线y＝a的交点的横坐标．而g′(x)＝4－3x2，令g′(x)＝0得x＝±，所以g(x)在，上单调递减，
在上单调递增，注意到0<a<2，画图可得，x1<－，0<x2<，x3>，结合选项知应选C.
12.已知函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间为(　　)

A．(－∞，1)
B．(－∞，0)和(2，＋∞)
C．R
D．(1,2)
解析：选B.因为函数y＝x是R上的减函数，所以f′(x)>0的充要条件是0<f′(x)<1，f′(x)<0的充要条件是f′(x)>1.由图象，可知当x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，0<f′(x)<1，即f′(x)>0.所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(2，＋∞)．
13．(2015·高考湖南卷)ʃ(x－1)dx＝__________.
解析：利用微积分基本定理直接计算．
ʃ(x－1)dx＝|＝×22－2＝0.
答案：0
14．已知函数f(x)＝mx3＋nx2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x＋y＝0平行，若f(x)在区间[t，t＋1]上单调递减，则实数t的取值范围是__________．
解析：由题意知，点(－1,2)在函数f(x)的图象上，
故－m＋n＝2.①
又f′(x)＝3mx2＋2nx，则f′(－1)＝－3，
故3m－2n＝－3.②
联立①②解得：m＝1，n＝3，即f(x)＝x3＋3x2，
令f′(x)＝3x2＋6x≤0，解得－2≤x≤0，
则[t，t＋1]⊆[－2,0]，故t≥－2且t＋1≤0，
所以t∈[－2，－1]．
答案：[－2，－1]
15．(2015·高考陕西卷)设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________．
解析：利用导数表示切线斜率，根据切线垂直列方程求解．y′＝ex，曲线y＝ex在点(0,1)处的切线的斜率k1＝e0＝1，设P(m，n)，y＝(x>0)的导数为y′＝－(x>0)，曲线y＝(x>0)在点P处的切线斜率k2＝－(m>0)，因为两切线垂直，所以k1k2＝－1，所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1,1)．
答案：(1,1)
16．设函数f(x)＝ln x－ax2－bx，若x＝1是f(x)的极大值点，则a的取值范围为__________．
解析：f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－ax－b，由f′(1)＝0，得b＝1－a.
∴f′(x)＝－ax＋a－1
＝＝－.
①若a≥0，当0<x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
所以x＝1是f(x)的极大值点．
②若a<0，由f′(x)＝0，
得x＝1或x＝－.
因为x＝1是f(x)的极大值点，
所以－>1，解得－1<a<0.
综合①②得a的取值范围是(－1，＋∞)．
答案：(－1，＋∞)

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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