2017届高考数学第一轮考点复习题组训练23.doc

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1．(2015·山东，1，易)已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|(x－1)(x－3)＜0}，则A∩B＝(　　)
A．(1，3) B．(1，4)
C．(2，3) D．(2，4)
【答案】　C　∵B＝{x|1＜x＜3}，A＝{x|2<x<4}，∴A∩B＝{x|2＜x＜3}．故选C.

2．(2015· 广东，1，易)若集合M＝{－1，1}，N＝{－2，1，0}，则M∩N＝(　　)
A．{0，－1} B．{1}
C．{0} D．{－1，1}
【答案】　B　∵M＝{－1，1}，N＝{－2，1，0}，
∴M∩N＝{1}，选B.
3．(2015·课标Ⅱ，1，易)已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<3}，则A∪B＝(　　)
A．(－1，3) B．(－1，0)
C．(0，2) D．(2，3)
【答案】　A　集合A，B用数轴表示为

∴A∪B＝{x|－1＜x＜3}，故选A.
4．(2015·课标Ⅰ，1，易)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为(　　)
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】　D　x＝3n＋2，意味着x被3除余2，B中被3除余2的有8，14，故A∩B中元素的个数为2.故选D.
5．(2015·安徽，2，易)设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，则A∩(∁UB)＝(　　)
A．{1，2，5，6} B．{1}
C．{2} D．{1，2，3，4}
【答案】　B　∵∁UB＝{1，5，6}，
∴A∩(∁UB)＝{1，2}∩{1，5，6}＝{1}．
6．(2015· 广东，10，难)若集合E＝{(p，q，r，s)|0≤p＜s≤4，0≤q＜s≤4，0≤r＜s≤4且p，q，r，s∈N}，F＝{(t，u，v，w)|0≤t＜u≤4，0≤v＜w≤4且t，u，v，w∈N}，用card(X)表示集合X中的元素个数，则card(E)＋card(F)＝(　　)
A．200 B．150 C．100 D．50
【答案】　A　当s＝4时，p，q，r都是取0，1，2，3中的一个，有4×4×4＝64(种)；当s＝3时，p，q，r都是取0，1，2中的一个，有3×3×3＝27(种)；当s＝2时，p，q，r都是取0，1中的一个，有2×2×2＝8(种)；当s＝1时，p，q，r都取0，有1种．所以card(E)＝64＋27＋8＋1＝100.当t＝0时，u取1，2，3，4中的一个，有4种；当t＝1时，u取2，3，4中的一个，有3种；当t＝2时，u取3，4中的一个，有2种；当t＝3时，u取4，有1种，所以t，u的取值有1＋2＋3＋4＝10(种)．同理，v，w的取值也有10种，所以card(F)＝10×10＝100.所以card(E)＋card(F)＝100＋100＝200，故选A.
7．(2015·湖北，10，难)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A⊕B中元素的个数为(　　)
A．77 B．49 C．45 D．30
【答案】　C　当x1＝0时，y1可取－1，0，1，x2和y2可取－2，－1，0，1，2.此时x1＋x2的值为－2，－1，0，1，2；y1＋y2的值为－3，－2，－1，0，1，2，3.
∴(x1＋x2，y1＋y2)共有5×7＝35(个)．
当x1＝1时，y1＝0，x2和y2可取－2，－1，0，1，2，此时x1＋x2的值为－1，0，1，2，3；y1＋y2的值为－2，－1，0，1，2.其中x1＋x2取－1，0，1，2时与上面重复，∴x1＋x2＝3，y1＋y2的值为－2，－1，0，1，2.则(x1＋x2，y1＋y2)共有5×1＝5(个)．
同理，当x1＝－1时，(x1＋x2，y1＋y2)共有5个．
∴总个数为35＋5＋5＝45.
8．(2015·江苏，1，易)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为________．
【解析】　A∪B＝{1，2，3}∪{2，4，5}＝{1，2，3，4，5}，即A∪B中元素的个数是5.
【答案】　5
9．(2015·湖南，11，易)已知集合U＝{1，2，3，4}，A＝{1，3}，B＝{1，3，4}，则A∪(∁UB)＝________.
【解析】　由题意，得∁UB＝{2}，所以A∪(∁UB)＝{1，3}∪{2}＝{1，2，3}．
【答案】　{1，2，3}

1．(2014·课标Ⅰ，1，易)已知集合M＝{x|－1<x<3}，N＝{x|－2<x<1}，则M∩N＝(　　)
A．(－2，1)　　B．(－1，1)　　C．(1，3)　　D．(－2，3)
【答案】　B　M＝{x|－1<x<3}，
N＝{x|－2<x<1}，
由交集定义知，M∩N＝{x|－1<x<1}，
故选B.
2．(2014·大纲全国，1，易)设集合M＝{1，2，4，6，8}，N＝{1，2，3，5，6，7}，则M∩N中元素的个数是(　　)
A．2 B．3 C．5 D．7
【答案】　B　易知M∩N＝{1，2，6}，所以M∩N中元素的个数为3，
故选B.
3．(2014·湖北，1，易)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，3，5，6}，则∁UA＝(　　)
A．{1，3，5，6} B．{2，3，7} C．{2，4，7} D．{2，5，7}
【答案】　C　∁UA＝{x|x∈U且x∉A}＝{2，4，7}，故选C.
4．(2014·四川，1，易)已知集合A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝(　　)
A．{－1，0} B．{0，1}
C．{－2，－1，0，1} D．{－1，0，1，2}
【答案】　D　由二次函数y＝(x＋1)(x－2)的图象可以得到不等式(x＋1)(x－2)≤0的解集A＝[－1，2]，属于A的整数只有－1，0，1，2，所以A∩B＝{－1，0，1，2}，故选D.
5．(2014·山东，2，易)设集合A＝{x|x2－2x<0}，B＝{x|1≤x≤4}，则A∩B＝(　　)
A．(0，2] B．(1，2)
C．[1，2) D．(1，4)
【答案】　C　∵A＝{x|x2－2x<0}＝(0，2)，B＝{x|1≤x≤4}＝[1，4]，∴A∩B＝[1，2)，故选C.
6．(2013·山东，2，中)已知集合A，B均为全集U＝{1，2，3，4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1，2}，则A∩∁UB＝(　　)
A．{3} B．{4} C．{3，4} D．∅
【答案】　A　由补集的定义知A∪B＝{1，2，3}，∵B＝{1，2}，∴∁UB＝{3，4}，∴A∩∁UB＝{3}，故选A.
7．(2012·湖北，1，中)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】　D　A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}，A⊆C⊆B，则集合C的个数为24－2＝22＝4，即C＝{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}．
故选D.
8．(2011·福建，12，难)在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，4.给出如下四个结论：
①2 011∈[1]；
②－3∈[3]；
③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；
④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．
其中正确结论的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】　C　2 011＝5×402＋1∈[1]，①正确；－3＝5×(－1)＋2∈[2]，②不正确；任意一个整数被5除所得余数只有0，1，2，3，4五种，所以整数集Z被分为5类，故③正确；对于④，若整数a，b属于同一类，则存在k∈{0，1，2，3，4}，使得a＝5n1＋k，b＝5n2＋k，n1，n2∈Z，则a－b＝5(n1－n2)，因为n1－n2∈Z，所以a－b∈[0]，反之，若a－b∈[0]，则a－b＝5n，n∈Z，a＝5n＋b，所以a，b属于同一类，故④正确．故选C.

考向1　集合的基本概念
集合的基本概念
(1)集合中元素的三大特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系：a∈A或a∉A.
(3)常见集合的符号表示
名称
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
复数集
符号
N
N*或N＋
Z
Q
R
C
　　(4)集合的表示法：列举法；描述法；图示法．

元素互异性的应用：①利用集合元素的互异性找到解题的切入点；②在解答完毕时，注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确．
(1)(2013·江西，2)若集合A＝中只有一个元素，则a＝(　　)
A．4 B．2 C．0 D．0或4
(2)(2014·福建，16)已知集合{a，b，c}＝{0，1，2}，且下列三个关系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一个正确，则100a＋10b＋c等于________．
【解析】　(1)当a＝0时，方程化为1＝0，无解，集合A为空集，不符合题意；当a≠0时，由Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4.
(2)因为三个关系中只有一个正确，分三种情况讨论：若①正确，则②③不正确，得到由于集合{a，b，c}＝{0，1，2}，所以解得a＝b＝1，c＝0，或a＝1，b＝c＝0，或b＝1，a＝c＝0，与互异性矛盾；若②正确，则①③不正确，得到与互异性矛盾；若③正确，则①②不正确，得到则符合题意，所以100a＋10b＋c＝201.
【答案】　(1)A　(2)201
【点拨】　解题(1)的关键是用分类讨论的思想求出ax2＋ax＋1＝0有一个根时a的值；解题(2)要注意验证元素的互异性.
解决集合基本概念问题的一般思路
(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．
(2)利用元素与集合间的关系求字母的值时，一要注意分类讨论思想的应用，二要注意元素互异性的检验．
(1)(2014·吉林长春三模，2)设集合A＝{1，2，4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合B中元素的个数是(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
(2)(2012·天津，9)集合A＝{x∈R||x－2|≤5}中的最小整数为________．
(1)【答案】　C　∵a∈A，b∈A，x＝a＋b，∴x＝2，3，4，5，6，8.∴B中有6个元素，故选C.
(2)【解析】　由|x－2|≤5得－5≤x－2≤5，即－3≤x≤7，∴集合A＝{x∈R|－3≤x≤7}，其中最小的整数是－3.
【答案】　－3
考向2　集合间的关系
1． 集合间的关系
名称
自然语言描述
符号表示
Venn图表示
子集
如果集合A中所有元素都是集合B中的元素，则称集合A为集合B的子集
A⊆B
(或B⊇A)

真子集
如果集合A⊆B，但存在元素a∈B，且a∉A，则称集合A是集合B的真子集
AB
(或BA)

相等
集合A中的任一元素都是集合B中的元素，集合B中的任一元素也都是集合A中的元素，那么就说集合A与集合B相等
A＝B

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，即∅⊆A，∅B(B≠∅)．
2．集合的子集个数
若集合A中有n个元素，则其子集的个数是2n，真子集的个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2.
(1)(2013·福建，3)若集合A＝{1，2，3}，B＝{1，3，4}，则A∩B的子集个数为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．16
(2)(2012·课标全国，1)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－1<x<1}，则(　　)
A．AB B．BA
C．A＝B D．A∩B＝∅
(3)(2012·大纲全国，2)已知集合A＝{1，3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝(　　)
A．0或 B．0或3
C．1或 D．1或3
【解析】　(1)A∩B＝{1，3}，故A∩B的子集的个数为22＝4，即∅，{1}，{3}，{1，3}．
(2)由题意知A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|－1<x<1}，则BA，故选B.
(3)因为A∪B＝A，所以B⊆A，所以m＝3或m＝.若m＝3，则A＝{1，3，}，B＝{1，3}，满足A∪B＝A.若m＝，解得m＝0或m＝1.若m＝0，则A＝{1，3，0}，B＝{1，0}，满足A∪B＝A.若m＝1，A＝{1，3，1}，B＝{1，1}，显然不成立．综上，m＝0或m＝3，故选B.
【答案】　(1)C　(2)B　(3)B
【点拨】　解题(1)时易忽略集合A是空集的情况而致误；解题(2)时，注意结合数轴，应用数形结合作出判断；解题(3)的关键是将A∪B＝A转化为B⊆A，用分类讨论的方法求解，注意集合中元素互异性的检验.
1.判断集合间的关系的方法
(1)判断两集合的关系一般有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．
(2)解决这类题目的关键是充分理解子集和真子集的概念．
2．根据两集合间的关系求参数的方法
已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析，而且经常要对参数进行分类讨论，解题时注意区间端点的取舍．
(2015·安徽蚌埠一模，13)已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若A∪B＝A，则实数m的取值范围为________．
【解析】　A＝[－2，5]，当m＋1>2m－1，即m<2时，B＝∅，满足B⊆A，即m<2；
当m＋1＝2m－1，即m＝2时，B＝{3}，满足B⊆A，即m＝2；
当m＋1<2m－1，即m>2时，由B⊆A，得
即2<m≤3.综上得m≤3.
【答案】　(－∞，3]
考向3　集合的基本运算
1．集合的运算及性质
名称
交集
并集
补集
符号
A∩B
A∪B
∁UA
数学语言
A∩B＝{x|x∈A且x∈B}
A∪B＝{x|x∈A
或x∈B}
∁UA＝{x|x∈U且
x∉A}
图形

运算性质
A∩B＝B∩A，A∩A＝A，
A∩B⊆A，
A∩B⊆B，
A∩∅＝∅
A∪B＝B∪A，
A∪A＝A，
B⊆A∪B，
A⊆A∪B，
A∪∅＝A
A∪(∁UA)＝U，
A∩(∁UA)＝∅，
∁U(∁UA)＝A

空集(∅)的特殊性：在解题中，若未指明集合非空，要考虑空集的可能性．例如，若A⊆B，则有A＝∅和A≠∅两种可能，此时应分类讨论．
2．集合间运算性质的重要结论
(1)A∪B＝A⇔B⊆A.
(2)A∩B＝A⇔A⊆B.
(3)A∩B＝A∪B⇔A＝B.
(4)狄摩根定律：∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；
∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)．
(1)(2014·课标Ⅱ，1)已知集合A＝{－2，0，2}，B＝{x|x2－x－2＝0}，则A∩B＝(　　)
A．∅ B．{2} C．{0} D．{－2}
(2)(2014·辽宁，1)已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝(　　)
A{x|x≥0} B．{x|x≤1}
C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}
【解析】　(1)由x2－x－2＝0，解得x＝－1或x＝2，∴B＝，∴A∩B＝.
(2)∵A∪B＝{x|x≤0}∪{x|x≥1}＝{x|x≤0或x≥1}，
∴∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}．
【答案】　(1)B　(2)D
集合基本运算的方法技巧
(1)进行集合的混合运算时，一般先算括号内的部分．
(2)当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算．
(3)当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验．
(4)集合的交、并、补运算口诀如下：交集元素仔细找，属于A且属于B；并集元素勿遗漏，切记重复仅取一；全集U是大范围，去掉U中A元素，剩余元素成补集．
(1)(2014·广东，1)已知集合M＝{2，3，4}，N＝{0，2，3，5}，则M∩N＝(　　)
A．{0，2} B．{2，3} C．{3，4} D．{3，5}
(2)(2014·陕西，1)已知集合M＝{x|x≥0，x∈R}，N＝{x|x2<1，x∈R}，则M∩N＝(　　)
A．[0，1] B．(0，1) C．(0，1] D．[0，1)
(1)【答案】　B　∵M＝{2，3，4}，N＝{0，2，3，5}，
∴M∩N＝{2，3}．故选B.
(2)D　由x2<1，知－1<x<1，
∴M∩N＝[0，1)．
考向4　集合的新定义问题
以集合为载体的新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，解决此类问题的关键是正确理解新的定义或运算，再结合集合的定义和运算解题．
(2013·广东，8)设整数n≥4，集合X＝{1，2，3，…，n}．令集合S＝{(x，y，z)|x，y，z∈X，且三条件x<y<z，y<z<x，z<x<y恰有一个成立}．若(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，则下列选项正确的是(　　)
A．(y，z，w)∈S，(x，y，w)∉S
B．(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S
C．(y，z，w)∉S，(x，y，w)∈S
D．(y，z，w)∉S，(x，y，w)∉S
【解析】　方法一(直接法)：因为(x，y，z)∈S，(z，w，x)∈S，所以①x<y<z，②y<z<x，③z<x<y，三个式子中恰有一个成立；④z<w<x，⑤w<x<z，⑥x<z<w，三个式子中恰有一个成立，配对后只有四种情况：
第一种：①⑤成立，此时w<x<y<z，于是(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S；第二种：①⑥成立，此时x<y<z<w，于是(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S；第三种：②④成立，此时y<z<w<x，于是(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S；第四种：③④成立，此时z<w<x<y，于是(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S.综合上述四种情况，可得(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S.
方法二(特殊值法)：不妨令x＝2，y＝3，z＝4，w＝1，则(y，z，w)＝(3，4，1)∈S，(x，y，w)＝(2，3，1)∈S，故选B.
【答案】　B
【点拨】　本题是集合的新定义问题，以集合为载体考查不等式的性质，合理地运用不等式的传递性是解题关键．
解决集合新定义问题的方法
(1)紧扣新定义：首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是解答新定义型集合问题的关键所在．
(2)用好集合的性质：集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是解答集合新定义问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．
(2013·福建，16)设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y＝f(x)满足：
(1)T＝{f(x)|x∈S}；
(2)对任意x1，x2∈S，当x1<x2时，恒有f(x1)<f(x2)，
那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下3对集合：
①A＝N，B＝N*；
②A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|－8≤x≤10}；
③A＝{x|0<x<1}，B＝R.
其中，“保序同构”的集合对的序号是________．(写出所有“保序同构”的集合对的序号)
【解析】　(1)是指S是函数定义域，T是值域，(2)指函数递增．①中存在函数f(x)＝x＋1使x∈A时满足条件；②中存在f(x)＝x－满足条件；③中存在f(x)＝tan满足条件．
【答案】　①②③

1．(2015·广东惠州调研，2)已知集合A＝{x|1<x<5}，B＝{x|3<x<7}，则A∩B＝(　　)
A．{x|1<x<3} B．{x|3<x<5}
C．{x|1<x<7} D．{x|5<x<7}
【答案】　B　A∩B＝{x|1<x<5}∩{x|3<x<7}＝{x|3<x<5}，
故选B.
2．(2015·山东枣庄一模，3)已知全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，则(∁UA)∩B＝(　　)
A．{4} B．∅ C．{0，2，4} D．{1，3}
【答案】　A　∵U＝{0，1，2，3，4}，A＝{1，2，3}，
∴∁UA＝{0，4}，
∴(∁UA)∩B＝{4}，故选A.

3．(2015·湖南岳阳一模，2)设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合P＝{1，2，3，4}，Q＝{3，4，5}，则P∪(∁UQ)＝(　　)
A．{1，2，3，4，6} B．{1，2，3，4，5}
C．{1，2，5} D．{1，2}
【答案】　A　∵∁UQ＝{1，2，6}，∴P∪(∁UQ)＝{1，2，3，4，6}，故选A.
4．(2015·河南开封三模，1)已知集合A＝{x|x2－1≥0}，集合B＝{x|x－1≤0}，则(∁RA)∩B＝(　　)
A．{x|x≥1} B．{x|－1<x<1}
C．{x|－1<x≤1} D．{x|x<－1}
【答案】　B　∵A＝{x|x2－1≥0}＝{x|x≥1或x≤－1}，
∴∁RA＝{x|－1<x<1}．
又∵B＝{x|x－1≤0}＝{x|x≤1}，
∴(∁RA)∩B＝{x|－1<x<1}．
5．(2015·江西南昌调研，2)已知集合M＝{x|y＝ln(1－x)}，集合N＝{y|y＝ex，x∈R}(e为自然对数的底数)，则M∩N＝(　　)
A．{x|x<1} B．{x|x>1}
C．{x|0<x<1} D．∅
【答案】　C　∵M＝{x|y＝ln(1－x)}＝{x|x<1}，N＝{y|y＝ex，x∈R}＝{y|y>0}，∴M∩N＝{x|0<x<1}．
易错点拔：注意M是函数y＝ln(1－x)的定义域，而N是y＝ex的值域，易发生将N错认为y＝ex的定义域而致误．
6．(2015·山东潍坊二模，1)集合A＝{x||x＋1|≤3}，B＝{y|y＝，0≤x≤4}，则下列关系正确的是(　　)
A．A∪B＝R B．A⊆∁RB
C．B⊆∁RA D．∁RA⊆∁RB
【答案】　D　∵A＝{x||x＋1|≤3}＝{x|－4≤x≤2}，B＝{y|y＝，0≤x≤4}＝{y|0≤y≤2}，∴∁RA＝{x|x<－4或x>2}，∁RB＝{x|x>2或x<0}，所以∁RA⊆∁RB，故选D.
7．(2014·山西太原一模，2)定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1，2}，B＝{0，2}，则集合A*B的所有元素之和是(　　)
A．0 B．2 C．3 D．6
【答案】　D　∵z＝xy，x∈A，y∈B，且A＝{1，2}，B＝{0，2}，∴z的取值有：1×0＝0；1×2＝2；2×0＝0；2×2＝4，故A*B＝{0，2，4}．∴集合A*B的所有元素之和为0＋2＋4＝6.
思路点拨：本题是新定义下的集合运算，在求解过程中要紧扣新定义运算．
8．(2015·河南信阳第二次联考，1)已知全集U＝R，集合A＝{x|0<x<9，x∈R}和B＝{x|－4<x<4， x∈Z}关系的Venn图如图所示，则阴影部分所示集合中元素的个数是(　　)

A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】　C　∵B＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}，∁RA＝{x|x≤0或x≥9}，而阴影部分所示集合为B∩∁RA，所以阴影部分所示集合中含有－3，－2，－1，0，共4个元素．
9．(2015·河北邯郸质检，13)已知函数y＝lg x的定义域为A，B＝{x|0≤x≤1}，则A∩B＝________.
【解析】　∵集合A＝(0，＋∞)，B＝{x|0≤x≤1}，∴A∩B＝(0，1]．
【答案】　(0，1]
10．(2014·江苏徐州汉城国际学校调研，5)已知集合A＝{－1，a}，B＝{2a，b}，若A∩B＝{1}，则A∪B＝________.
【解析】　由题意可知，a＝1，b＝1，
∴A＝{－1，1}，B＝{2，1}，
∴A∪B＝{－1，1，2}．
【答案】　{－1，1，2}
11．(2015·安徽宿州二模，14)设不等式>0的解集为集合A，关于x的不等式x2＋(2a－3)x＋a2－3a＋2<0的解集为集合B.若A⊇B，则实数a的取值范围是________．
【解析】　由题意知A＝{x|(4－x)(x－2)>0}＝{x|2<x<4}，B＝{x|(x＋a－2)(x＋a－1)<0}＝{x|1－a<x<2－a}．
若A⊇B，则可得－2≤a≤－1.
【答案】　[－2，－1]

1．(2015·山东，5，易)若m∈N，命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是(　　)
A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0
B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0
C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0
D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
【答案】　D　∵“m＞0”的否定是“m≤0”，“方程x2＋x－m＝0有实根”的否定是“方程x2＋x－m＝0没有实根”，∴命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．
2．(2015·安徽，3，易)设p：x<3，q：－1<x<3，则p是q成立的(　　)
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】　C　∵－1＜x＜3，∴x＜3，即q⇒p.
而x＜3时不一定满足－1＜x＜3，即p q.
故p是q的必要不充分条件．
3．(2015·湖南，3，易)设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】　C　由x3>1，解得x>1；由x>1，得x3>1，所以是充要条件．
4．(2015· 北京，6，易)设a，b是非零向量，“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】　A　∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b|，
∴a与b的夹角θ＝0，∴a∥b.
若a∥b，则a·b＝±|a||b|.
∴“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要条件．
5．(2015·湖北，5，易)l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线；q：l1，l2不相交，则(　　)
A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
【答案】　A　l1，l2是异面直线，一定不相交，所以p是q的充分条件．l1，l2不相交，可能是平行或异面，所以p不是q的必要条件．

1．(2012·重庆，1，易)命题“若p则q”的逆命题是(　　)
A．若q，则p B．若綈p，则綈q
C．若綈q，则綈p D．若p，则綈q
【答案】　A　原命题的逆命题是交换原命题的条件和结论，故选A.
2．(2014·北京，5，易)设a，b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】　D　令a＝1，b＝－2，显然a>b，但a2<b2；
∴“a>b”不是“a2>b2”的充分条件．
令a＝－2，b＝1，显然a2>b2，但a<b，
∴“a>b”不是“a2>b2”的必要条件．
∴“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件．
3．(2014·广东，7，易)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sin A≤sin B”的(　　)
A．充分必要条件 B．充分非必要条件
C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件
【答案】　A　结合正弦定理可知，a≤b⇔2Rsin A≤2Rsin B⇔sin A≤sin B(R为△ABC外接圆的半径)．故选A.
4．(2013·福建，2，易)设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】　A　若x＝2且y＝－1，则x＋y－1＝0；反之，若x＋y－1＝0，x，y有无数组解，如x＝3，y＝－2，不一定有x＝2且y＝－1，故选A.
5．(2013·北京，7，易)双曲线x2－＝1的离心率大于的充分必要条件是(　　)
A．m> B．m≥1
C．m>1 D．m>2
【答案】　C　∵双曲线的离心率e＝>，
∴m>1，故选C.
6．(2014·江西，6，中)下列叙述中正确的是(　　)
A．若a，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件是“b2－4ac≤0”
B．若a，b，c∈R，则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c”
C．命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”
D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β
【答案】　D　A选项中ax2＋bx＋c≥0不仅仅与b2－4ac有关，还要取决于x2的系数a，因此这个是既不充分也不必要条件；B选项中当b2＝0时，a>cab2>cb2；C项的否定应是x2<0；D选项正确，垂直于同一条直线的两平面平行．
易错点拨：本题较容易出错的选项是A，B，易忽略对a＝0和b2＝0等特殊情况的考虑．
7．(2013·辽宁，4，中)下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题：
p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；
p3：数列是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列．
其中的真命题为(　　)
A．p1，p2 B．p3，p4
C．p2，p3 D．p1，p4
【答案】　D　对于p1，数列{an}的公差d>0，∴数列是递增数列；对于p4，∵[an＋1＋3(n＋1)d]－(an＋3nd)＝4d>0，是递增数列；对于p2，∵(n＋1)an＋1－nan＝(n＋1)an＋(n＋1)d－nan＝a1＋2nd，不能确定a1的正负，上式不一定大于零，该数列不一定是递增数列；同理，对于p3，也不一定是递增数列．

考向1　四种命题及其相互关系
1．四种命题的结构
命题
表述形式
原命题
若p，则q
逆命题
若q，则p
否命题
若綈p，则綈q
逆否命题
若綈q，则綈p
2.四种命题间的关系

3．四种命题间的真假关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们的真假性相同．
(2)两个命题互为逆命题或者互为否命题，它们的真假性没有关系．
(1)(2012·湖南，2)命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是(　　)
A．若α≠，则tan α≠1
B．若α＝，则tan α≠1
C．若tan α≠1，则α≠
D．若tan α≠1，则α＝
(2)(2014·陕西，8)原命题为“若<an，n∈N＋，则{an}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(　　)
A．真，真，真 B．假，假，真
C．真，真，假 D．假，假，假
【解析】　(1)命题的条件是p：α＝，结论是q：tan α＝1.由命题的四种形式，可知命题“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”，显然綈q：tan α≠1，綈p：α≠，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠”．
(2)原命题即“若an＋1<an，n∈N＋，则{an}为递减数列”为真命题，则其逆否命题为真，逆命题是：“若{an}为递减数列，n∈N＋，则an＋1<an”为真命题，所以否命题也为真命题．
【答案】　(1)C　(2)A
【点拨】　解题(1)的关键是熟练掌握命题的四种形式；解题(2)的方法是先判断原命题和逆命题的真假，利用互为逆否命题的真假性相同，得逆否命题和否命题的真假.
四种命题的关系及真假判断
(1)在判断四种命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再分析每个命题的条件与结论之间的关系，要注意四种命题关系的相对性．
(2)判断命题真假的方法：一是联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断；二是利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断．
(2015·湖北黄冈调研，4)给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是(　　)
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】　C　易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题，故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题只有一个．
考向2　充分、必要条件的判断
1．充分、必要条件与充要条件的含义
(1)“若p，则q”为真命题