济南大学高等数学C一ch专题知识市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

经经 济济 数数 学学 微积分微积分济南大学数学科学学院济南大学数学科学学院第第1页页 总界面总界面 结束结束 济南大学理学院济南大学理学院 第二章第二章 极限与连续极限与连续 第一节第一节 数列极限数列极限小结小结数列定义数列定义数列极限性质数列极限性质数列极限数列极限思索题思索题第第2页页第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 一、数列定义一、数列定义比如比如第第5页页第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 1.1.有界性有界性比如比如:有界有界,无界无界.二、数列极限性质二、数列极限性质第第15页页第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 定理定理1 收敛数列必定有界收敛数列必定有界.注注：1、有界性是数列收敛必要条件有界性是数列收敛必要条件.2、推论：推论：无界数列必定发散无界数列必定发散.2.唯一性唯一性定理定理2 收敛数列极限必唯一收敛数列极限必唯一.第第16页页第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 定理定理3 保号性保号性.定理定理4 收敛数列与其子数列间关系收敛数列与其子数列间关系.第第17页页第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 注：注：1.由定理由定理4知知,若若xn有两个分别收敛于有两个分别收敛于ab 子数列，则子数列，则xn 发散发散.由此给出判定数列发散一个方法由此给出判定数列发散一个方法.如：如：(-1)n+12.有收敛子列数列，敛散性不一定有收敛子列数列，敛散性不一定.即收敛数列一定有收敛子列，发散数列也可能有。即收敛数列一定有收敛子列，发散数列也可能有。关键由子数列是否收敛于同一极限来判定原数列关键由子数列是否收敛于同一极限来判定原数列敛散性敛散性.第第18页页济南大学理学院济南大学理学院 第二章第二章 极限与连续极限与连续总界面总界面 结束结束 第二节第二节 函数极限函数极限函数极限性质函数极限性质函数极限定义函数极限定义概念引入概念引入思索题、思索题、小结小结第第44页页第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 一、函数极限定义一、函数极限定义（一）自变量趋向无穷大时函数极限（一）自变量趋向无穷大时函数极限播放播放播放播放第第47页页第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 问题问题问题问题:怎样用数学语言刻划函数怎样用数学语言刻划函数“无限靠近无限靠近”.第第48页页第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 2.另两种情形另两种情形第第50页页第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 （二）自变量趋向有限值时函数极限（二）自变量趋向有限值时函数极限注：注：)(0是否有定义无关是否有定义无关在点在点函数极限与函数极限与xxf第第53页页第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 3.单侧极限单侧极限比如比如:第第58页页第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 左极限左极限右极限右极限说明：说明：左、右极限惯用于考查分段函数在分段点处左、右极限惯用于考查分段函数在分段点处极限极限.第第60页页第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,例例证实证实第第61页页第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 2.局部有界性局部有界性1.唯一性唯一性3.局部保号性局部保号性定理定理3推论推论三、函数极限性质三、函数极限性质第第62页页第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,证实证实思索题思索题第第63页页济南大学理学院济南大学理学院 总界面总界面 结束结束 第二章第二章 极限与连续极限与连续 第三节第三节 无穷大与无穷小无穷大与无穷小无穷小与无穷大关系无穷小与无穷大关系无穷大无穷大无穷小无穷小思索题、思索题、小结小结第第76页页第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 1.1.定义定义极限为零变量称为极限为零变量称为无穷小无穷小.一、无穷小一、无穷小第第79页页第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 比如比如,注：注：1.无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小数混同不能与很小数混同;2.零是能够作为无穷小唯一数零是能够作为无穷小唯一数.第第80页页第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 2.无穷小与函数极限关系无穷小与函数极限关系:定理定理1证证 必要性必要性充分性充分性第第81页页第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 3.无穷小运算性质无穷小运算性质:定理定理2 在同一改变过程中在同一改变过程中,有限个有限个无穷小无穷小 代数和仍是无穷小代数和仍是无穷小.注注:无穷多个无穷小代数和未必是无穷小无穷多个无穷小代数和未必是无穷小.定理定理1第第82页页第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 定理定理3 无穷小与有界量乘积是无穷小无穷小与有界量乘积是无穷小.推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限变量与无穷小有极限变量与无穷小 乘积是无穷小乘积是无穷小.推论推论2 常数与无穷小乘积是无穷小常数与无穷小乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小乘积也是无穷小有限个无穷小乘积也是无穷小.都是无穷小都是无穷小.无穷小之间进行加、减、乘以及数乘运算无穷小之间进行加、减、乘以及数乘运算得到还是无穷小。得到还是无穷小。结论：结论：问题：问题：无穷小之间进行除运算会得到什么结果呢？无穷小之间进行除运算会得到什么结果呢？第第83页页第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 绝对值无限增大变量称为绝对值无限增大变量称为无穷大无穷大.二、无穷大二、无穷大特殊情形特殊情形：正无穷大，负无穷大：正无穷大，负无穷大第第84页页第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 1.无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大数混同不能与很大数混同;注：注：只是记号，且为了讨论需要只是记号，且为了讨论需要.运算：运算：在自变量同一改变过程中在自变量同一改变过程中,两个无穷大相加两个无穷大相加或相减结果是不确定或相减结果是不确定,所以无穷大没有没有穷小那所以无穷大没有没有穷小那样类似性质样类似性质.详细问题要详细分析详细问题要详细分析.3.无穷大是一个特殊无界变量无穷大是一个特殊无界变量,不过无界变量不过无界变量未必是无穷大未必是无穷大.第第85页页第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 定理定理4 4 在自变量同一改变过程中在自变量同一改变过程中,无穷大倒数为无无穷大倒数为无穷小；恒不为零无穷小倒数为无穷大穷小；恒不为零无穷小倒数为无穷大.三、无穷小与无穷大关系三、无穷小与无穷大关系意义意义 关于无穷大讨论关于无穷大讨论,都可归结为关于无穷小都可归结为关于无穷小 讨论讨论.第第86页页第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 解解:不一定不一定.思索题思索题无穷大是一个特殊无界变量无穷大是一个特殊无界变量,无界变无界变量一定是无穷大量吗量一定是无穷大量吗?无界无界.不是无穷大不是无穷大第第87页页