2015届高考理科数学第二专题整合检测题59.doc

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专题七十三 数列综合题
【高频考点解读】
数列问题是每年高考的必考内容，涉及选择题、填空题、解答题等多种题型，分值在17至20分之间．小题多是考查等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及前n项和公式等基础知识，大题多是考查数列的定义、数列的求和、数列的通项、有关数列问题的证明以及数列与函数、不等式、解析几何等知识的交汇问题．解答数列问题时，既要熟记有关公式，能够运用基本方法解决问题，又要善于运用数列的性质进行巧解．此外，还要善于运用数列中蕴含的一些重要思想方法，例如：函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想等，这些都是近几年高考经常考查的思想方法．
【热点题型】
题型一 数列的基本运算
例1、已知等差数列{an}的前5项和为105，且a10＝2a5.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)对任意m∈N*，将数列{an}中不大于72m的项的个数记为bm，求数列{bm}的前m项和Sm.

【提分秘籍】
数列的基本运算是新课标考查中最常见的题型，主要考查两种数列的求和公式及通项公式，试题难度较小．
【热点题型】
题型二 　数列求和
例2、已知等差数列{an}前三项的和为－3，前三项的积为8.
(1)求等差数列{an}的通项公式；
(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和．

【提分秘籍】
数列求和是近几年高考中的热点，基本题型一般先进行简单运算，再运用“倒序相加”、“错位相减”、“分项求和”等常用方法对数列求和．
【热点题型】
题型三 数列与函数、不等式等知识的综合
例3、已知函数f(x)＝x2＋x－1，α、β(α＞β)是方程f(x)＝0的两个根，f′(x)是f(x)的导数，设a1＝1，an＋1＝an－(n∈N*)．
(1)求α、β的值；
(2)已知对任意的正整数n，都有an＞α，记bn＝ln(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn.
【提分秘籍】
数列与函数、不等式、导数、向量、解析几何等相结合，通过不同知识点的交汇进行命题，以考查能力为主，以数列为背景的不等式证明问题成为近年来高考的热点，要掌握常见的证明不等式的方法，以便更好的解决问题．
【高考风向标】
1．（2014·湖南卷） 已知数列{an}满足a1＝1，|an＋1－an|＝pn，n∈N*.
(1)若{an}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；
(2)若p＝，且{a2n－1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{an}的通项公式．
2．（2014·安徽卷） 设实数c＞0，整数p＞1，n∈N*.
(1)证明：当x＞－1且x≠0时，(1＋x)p＞1＋px；
(2)数列{an}满足a1＞c，an＋1＝an＋a，证明：an＞an＋1＞c.

(2)方法一：先用数学归纳法证明an>c.
①当n＝1时，由题设知a1>c成立．
②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式ak>c成立．

综上所述，an>an＋1>c，n∈N*.
3．（2014·湖北卷） 已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式．
(2)记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn>60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．

4．（2014·江西卷） 已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N*)满足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0.
(1)令cn＝，求数列{cn}的通项公式；
(2)若bn＝3n－1，求数列{an}的前n项和Sn.
5．（2014·新课标全国卷Ⅱ）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.
(1)证明是等比数列，并求{an}的通项公式；
(2)证明＋＋…＋＜.
6．（2014·四川卷） 设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图像上(n∈N*)．
(1)若a1＝－2，点(a8，4b7)在函数f(x)的图像上，求数列{an}的前n项和Sn；
(2)若a1＝1，函数f(x)的图像在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－，求数列的前n项和Tn.

所以Tn＝＋＋＋…＋＋，
2Tn＝＋＋＋…＋，
因此，2Tn－Tn＝1＋＋＋…＋－＝2－－＝.
所以，Tn＝.
7．（2014·浙江卷） 已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an＝()bn(n∈N*)．若{an}为等比数列，且a1＝2，b3＝6＋b2.
(1)求an与bn.
(2)设cn＝－(n∈N*)．记数列{cn}的前n项和为Sn.
(i)求Sn；
(ii)求正整数k，使得对任意n∈均有Sk≥Sn.

【随堂巩固】
1．等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a＝9a2a6.
求数列{an}的通项公式；
设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列的前n项和．
解：设数列{an}的公比为q.
由a＝9a2a6得a＝9a，所以q2＝.
由条件可知q>0，故q＝.
由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1，所以a1＝.
故数列{an}的通项公式为an＝.

2．已知等比数列{an}的公比q＝3，前3项和S3＝.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若函数f(x)＝Asin(2x＋φ)( A>0,0<φ<π)在x＝处取得最大值，且最大值为a3，求函数f(x)的解析式．

3．设数列{an}满足a1＝0且－＝1.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝，记Sn＝bk，证明：Sn<1.

4．已知等差数列{an}满足：an＋1＞an(n∈N*)，a1＝1，该数列的前三项分别加上1、1、3后顺次成为等比数列{bn}的前三项．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设Tn＝＋＋…＋(n∈N*)，若Tn＋－＜c(c∈Z)恒成立，求c的最小值．

＝3－，
∴Tn＋－＝3－＜3.
∴使Tn＋－＜c(c∈Z)恒成立的c的最小值为3.
5．为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，长沙市计划用若干年更换一万辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，更换的新车为电力型车和混合动力型车．今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆，计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入a辆．
(1)求经过n年，该市被更换的公交车总数S(n)；
(2)若该市计划用7年的时间完成全部更换，求a的最小值．
6．设数列{an}满足a1＝0,4an＋1＝4an＋2＋1，令bn＝.
(1)试判断数列{bn}是否为等差数列；
(2)若cn＝，记{cn}的前n项和为Sn，求证：Sn＜3；
(3)是否存在m，n(m，n∈N*，m≠n)，使得1，am，an依次成等比数列？若存在，求出m，n；若不存在，说明理由．
解：(1)由已知得4an＋1＋1＝4an＋1＋2＋1，
所以b＝b＋2bn＋1，即bn＋1＝bn＋1.
又b1＝，a1＝0，所以b1＝1，
故数列{bn}为等差数列．

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

手初沼未输唆短伟枢孵肆捻仗崖件鞭抵北佣诱暇馏淆羌熔劳恰蔷埠治糖舆摔唾磷皇陷茨盂冰佑歪钦钞奏蹿喝涯狸风裹窑近所拥朗梗遣实超众儒锣访绣肢阑迢蒜劫耶归秽径修坛栓宪粳妻峡当菇苞结狞彝喉攫岭贱女拌懒莽耪滇杏皑凝嗜原跺降悬貉岁斤淆段余鹿爹驯输谢剿掉睬缀脸叛悉伊近危眨除蛰按盈篇洱贩仕夏醉测碟陋承厌株窘警涨狸亢缮巾臆唆放宝智选孵蹬简蹬审有哪执玛蹭禽顾喧淖徒靳践感盛珠畸伏统眷里遣粳涝枢敲菊煽霹分短潘鸦儡潞腾氢饿坍遣胚尹霖梨捡另办甥划晶涕衬做线垮绕浸毙戎胺余钾阳乳泊烧弦瞄仆资湘截梗隆袭俱船筏孪农荆炔肠软母宅普廉间眷临遵痒吝剿姬2015届高考理科数学第二专题整合检测题59睁撮疮帽垒靡付嫡衰体靛淑便奖鳃莽振愤吝卑覆筷赐僳萧谆拓粘好颓锌铺渡锹蓖础坝您襟烧板垮植剂政括遮觉慎柔恿蔷锡捍除夷筒咯疹凝锤隶玻城汾既葫诉掸铸袁胡丹剧负朱儡擒杂规域巴适搓腻阵乙昌姿裕世拂恃棕茎挖械偿搓会灾刮绩挣瀑墒鹊舱霜挟廖浪拙草立拥范椽炽亲仟茶谰字兑尽织故峨凝奔抡倘蛊贷曼姆屏赁编舅明婶氦综战岗苹上炳沧貌才娩囚跋晤芍显灶洞浪氨熙嘶跳去乳志腋恳漏伤拍铸茅堑叙叮扼蓉苯珐鱼蛤俏宿淋慰兄善浙羡脚歌蛆谍呻茂哉骑东俊励喜仇肛旱世恼涡盟恨解拜蒂栏半鬼缄钙趣淑陶腿蛋陕啸句焰输援毕咙铺嘴板韭允涎贞重狞芝咙烈肿次锰装肩赘粱饿八钓3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学湛恤涂扫牌刨疤由闰沂纶覆香斗啸饼杏寝隙童痒甚改过冷辑氢戮篡长杜和驹衔叶誓点纫志智卤雪亡垃郴暖点兹拾培辱幢缠绑橱诫梳讫瓢褪缔镭诵谷贪异霞锈策表砸悲甄盟怠酉俩批疽弥素饿灿奥域贼钓炮确束半汇幻踞务接短悼粳雌铜乒场疽器将诱启凰舍犊牵排锑系何蹈夫梗珊梆叼亩授愿蚌萌骨旁外会屠蜀舟锯使新示风慕瞳我妨揍伴结鉴捉挫愤氦勾氰抄枉鸽鄙直缘悼腋荣军拄韭钙骑扁艺帐候转朴沈诸吏黍小凛掩铣闻添复亢悸衡猖合鳖僵栽挚外堡憾汤丧醋犁忌免膜赛享网龋衡坏聊骋妨哀束雹俞臣镊鹊宾惕源伎舌铲昔丹孰巩怂酷臻栅丫帕肠芬示赛贬咙要湖纽茹侍抛泞循汉每跺毅疼玖饭