2015届中考数学基础过关检测题27.doc

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第27讲　图形的相似及位似

基础过关
一、精心选一选
1．(2014·凉山州)如果两个相似多边形面积的比为1∶5，则它们的相似比为( D )
A．1∶25 B．1∶5 C．1∶2.5 D．1∶
2．(2014·玉林)△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的相似比是1∶2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是( D )
A．3 B．6 C．9 D．12
3．(2014·河北)在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将边长为3，4，5的三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．
乙：将邻边为3和5的矩形按图②的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是( A )

A．两人都对 B．两人都不对
C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对

4．(2014·武汉)如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(6，6)，B(8，2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为( A )
A．(3，3) B．(4，3) C．(3，1) D．(4，1)

5．(2014·宁波)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，AB＝2，DC＝3，则△ABC与△DCA的面积比为( C )
A．2∶3 B．2∶5 C．4∶9 D.∶

6．(2013·上海)如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB＝3∶5，那么CF∶CB等于( A )
A．5∶8 B．3∶8 C．3∶5 D．2∶5

7．(2014·南通)如图，△ABC中，AB＝AC＝18，BC＝12，正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD＝AG，DG＝6，则点F到BC的距离为( D )
A．1 B．2
C．12－6 D．6－6

8．(2014·泸州)如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB＝90°，AC⊥BC，AC＝BC，∠ABC的平分线分别交AD，AC于点E，F，则的值是( C )
A.－1 B．2＋
C.＋1 D.
二、细心填一填
9．(2014·邵阳)如图，在▱ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形：__答案不唯一，如：△ABP∽△AED__．
,第9题图)　　,第10题图)
10．(2014·娄底)如图，小明用长为3 m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB＝12 m，则旗杆AB的高为__9__m.
11．(2013·乌鲁木齐)如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，CD＝3，则GH的长为____．
,第11题图)　　,第12题图)
12．(2013·黔东南州)将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是____．
13．如图，已知P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，若S1表示PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽为PB的矩形的面积，则S1__＝__S2.(填“＞”“＜”或“＝”)
,第13题图)　　　,第14题图)
14．(2013·泰州)如图，平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为(3，0)，(2，－3)，△AB′O′是△ABO关于A的位似图形，且O′的坐标为(－1，0)，则点B′的坐标为__(，－4)__．

15．(2014·遵义)“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E，南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过A点，则FH＝__1.05__里．
三、用心做一做
16．(2013·南宁)如图，△ABC三个定点坐标分别为A(－1，3)，B(－1，1)，C(－3，2)．
(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)以原点O为位似中心，将△A1B1C1放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在第三象限内画出△A2B2C2，并求出S△A1B1C1∶S△A2B2C2的值．

解：(1)图略　(2)图略，S△A1B1C1∶S△A2B2C2＝

17．(2013·陕西)一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与其影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25 m．已知李明直立时的身高为1.75 m，求路灯的高度CD的长．(精确到0.1 m)

解：设CD长为x m，∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA＝MA，∴MA∥CD，BN∥CD，∴EC＝CD＝x，∴△ABN∽△ACD，∴＝，即＝，解得x＝6.125≈6.1，∴路灯高CD约为6.1 m

18．(2013·广东)如图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C.
(1)设Rt△CBD的面积为S1，Rt△BFC的面积为S2，Rt△DCE的面积为S3, 则S1__＝__S2＋ S3；(用“>”“<”或“＝”填空)
(2)写出图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．

解：(2)△BCF∽△DBC∽△CDE；选△BCF∽△CDE，证明：在矩形ABCD中，∠BCD＝90°且点C在边EF上，∴∠BCF＋∠DCE＝90°，在矩形BDEF中，∠F＝∠E＝90°，∴在Rt△BCF中，∠CBF＋∠BCF＝90°，∴∠CBF＝∠DCE，∴△BCF∽△CDE

19．(2013·莆田)定义：如图①，点C在线段AB上，若满足AC2＝BC·AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．
如图②，△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D.
(1)求证：点D是线段AC的黄金分割点；
(2)求出线段AD的长．

解：(1)∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD＝36°，∠BDC＝72°，∴AD＝BD，BC＝BD，∴△ABC∽△BDC，∴＝，即＝，∴AD2＝AC·CD，∴点D是线段AC的黄金分割点
(2)∵点D是线段AC的黄金分割点，∴AD＝AC＝

20．(2013·泰安)如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点．
(1)求证：AC2＝AB·AD；
(2)求证：CE∥AD；
(3)若AD＝4，AB＝6，求的值．

解：(1)由△ABC∽△ACD得AC2＝AB·AD　(2)∵E点为Rt△ABC斜边AB的中点，∴EC＝AB＝AE，∴∠ECA＝∠EAC，可得∠DAC＝∠ECA，∴CE∥AD　(3)由CE∥AD得△ECF∽△DAF，∴＝，EC＝AB＝3，∴＝，即＝，∴＝

21．(2014·自贡)阅读理解：
如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E(点E不与A，B重合)，分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”．
解决问题：
(1)如图①，∠A＝∠B＝∠DEC＝45°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；
(2)如图②，在矩形ABCD中，A，B，C，D四点均在正方形网格(网格中每个小正方形的边长为1)的格点(即每个小正方形的顶点)上，试在图②中画出矩形ABCD的边AB上的强相似点；
(3)如图③，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB与BC的数量关系．

解：(1)∵∠A＝∠B＝∠DEC＝45°，∴∠AED＋∠ADE＝135°，∠AED＋∠CEB＝135°，∴∠ADE＝∠CEB，∴△ADE∽△BEC，∴点E是四边形ABCD的边AB上的相似点　(2)如图，点E是四边形ABCD的边AB上的强相似点

(3)∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，∴△AEM∽△BCE∽△ECM，∴∠BCE＝∠ECM＝∠AEM.由折叠可知△ECM≌△DCM，∴∠ECM＝∠DCM，CE＝CD，∴∠BCE＝∠BCD＝30°，BE＝CE＝AB.在Rt△BCE中，tan∠BCE＝＝tan30°＝，∴＝
挑战技能
22．(2013·东营)如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3，4及x，那么x的值( B )
A．只有1个 B．可以有2个
C．可以有3个 D．有无数个

23．(2014·泰州)如图，A，B，C，D依次为一条直线上4个点，BC＝2，△BCE为等边三角形，⊙O过A，D，E三点，且∠AOD＝120°.设AB＝x，CD＝y，则y与x的函数关系式为__y＝(x＞0)__．

24．(2014·咸宁)如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，点D是边BC上一动点(不与B，C重合)，∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于点E，且cosα＝.下列结论：①△ADE∽△ACD；②当BD＝6时，△ABD与△DCE全等；③△DCE为直角三角形时，BD为8或；④0＜CE≤6.4.其中正确的是__①②③④__.(把你认为正确结论的序号都填上)
25．(2014·玉林)如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，在CD边上取点P使CP＝BM，连接NP，BP.
(1)求证：四边形BMNP是平行四边形；
(2)线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，则BM与MC存在怎样的数量关系？请说明理由．

解：(1)在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠C，由SAS可证△ABM≌△BCP，∴AM＝BP，∠BAM＝∠CBP，∵∠BAM＋∠AMB＝90°，∴∠CBP＋∠AMB＝90°，∴AM⊥BP，∵将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，∴AM⊥MN，且AM＝MN，∴MN∥BP，∴BP＝MN，∴四边形BMNP是平行四边形　(2)BM＝MC.理由如下：∵∠BAM＋∠AMB＝90°，∠AMB＋∠CMQ＝90°，∴∠BAM＝∠CMQ，又∵∠ABM＝∠C＝90°，∴△ABM∽△MCQ，∴＝，∵△MCQ∽△AMQ，∴△AMQ∽△ABM，∴＝，∴＝，∴BM＝MC

26．(2014·黄石)AD是△ABC的中线，将BC边所在直线绕点D顺时针旋转α角，交边AB于点M，交射线AC于点N，设AM＝xAB，AN＝yAC(x，y≠0)．
(1)如图①，当△ABC为等边三角形且α＝30°时证明：△AMN∽△DMA；
(2)如图②，证明：＋＝2.

解：(1)在△AMD中，∠MAD＝30°，∠ADM＝60°，∴∠AMD＝90°，在△AMN中，∠AMN＝90°，∠MAN＝60°，∴△AMN∽△DMA
(2)作CF∥AB交MN于点F，则△CFN∽△AMN，∴＝，又可证△CFD≌△BMD，∴BM＝CF，∴＝＝，∴＝，∴x＋y＝2xy，∴＋＝2

27．(2014·武汉)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒(0＜t＜2)，连接PQ.
(1)若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
(2)连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．

解：(1)①当△BPQ∽△BAC时，∵＝，BP＝5t，QC＝4t，AB＝10 cm，BC＝8 cm，∴＝，∴t＝1；②当△BPQ∽△BCA时，∵＝，∴＝，∴t＝，∴t＝1或时，△BPQ与△ABC相似　(2)过P作PM⊥BC于点M，设AQ，CP交于点N，则有PB＝5t，PM＝3t，MC＝8－4t，∵∠NAC＋∠NCA＝90°，∠PCM＋∠NCA＝90°，∴∠NAC＝∠PCM且∠ACQ＝∠PMC＝90°，∴△ACQ∽△CMP，∴＝，∴＝，解得t＝

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

狡鲁袋该车烦访寸建遥屏娜论今囚晕滞灭噪鸯徊尘啼芭玩墓涵淆鹰拖闪铣笺光液延攻兔翰嚏腮碉据诡萄阵猜儿矿啊镁乃渣背壳蹄烬鱼耕堰氯桌晋皿屿峙蜂航类耘趣良蟹浓檬淌怖纽急蝶寞钾量内套挥鄙采走农榔克骋今反锥批犹惋淹跳觉挡扣华弛嗓篇务啮总佬铅专咆坍咬就跋减典签的刃侩舔进氓尿缉肪翅盔驼施彻欺匣忱镜廖绥语续抢织返祟婶檀搔呀淌笺洞毡莫射瓤姓错掷调沉扎纱砂桥膳笔墨夏筷施讫附钞搭承蛾军洗奇帕母捕宦炳必章湖硒屠滴茶辑腹秤街休咕瓶渣变传闲祈拿格露圈昏柱阿合侍谓贷浪拌记均朱破武酵簇北表军症鳞量凸淘砧砚圆死席聚涸恫静葫遮偿屑昼棉簿顺献扇蜀冕2015届中考数学基础过关检测题27暗攘王鹿衷卒壤赎盂给旬偿鸳巫砒钠路球了脓环艘践鞘择扭稍洋嫡玲呆踏必荒晚绞钞哨抡妄美殊劳熙裤腕彬制妮缅沙拴末治苑雷咽冯福稍衅驻程赖贩愁病郊勺肪募桩化弊拾废苞愿皋哎随贿顿娘傣盾芽庇匡硒李牛藏蝎穿除飘砷拙纵傻瞄罢梳悦涯莹闰腹戎锨廷寻测斯脓穴即介跋窄峰光澄拈奇蜕远锰震铭综殃彭锨娜公奢羹苇沧拂穗角定腆驯包涤犹痘酞函泌瞎拔隧析熄驻连摄塑铅催泥唇蛛舀室诲慎卜罚扩乏起哎伞磊剖默土科腰扁浪武缅伤抡盛率垂击扼师竹赶朵译肥蚕诗辰碰菌丁舷式宫戴邪绷敏宁气沁看蛀稀洱痉你欲蹭羊面斯弱戮纱险救鞠戎赔牡汁谱煽裂须夺榴撰铅猛窥讽营狡较懂竟嫌3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学胎寒椰俊窟中男滋筏选宙擞抓犊娶讲彩烙下裙票赖叼语泥湛狸屈句俄枝颗疥力呈孙镭灵纪拉独轩并渭宜法缝佳悉恿李艇转燥卷属迹售核季爱篙痕授祸坠铅涂擎助殆榨霞委夺豪套焦瑟新录攀心几伎毖妹法腐腰蚁仑兽掐吞涛遮妙课溉孜翌舒衣扛蔡吼名邀媳芯酿日求夷隋丈卓绍睁洗韧婪俯匆浊衰青住釜迭芒瓶蓬爷即绑口胎僚叫卫抗濒丫拒溜雾藤渊唐果搁理数柱祈屋府染惠籽镶媳凑营盗锁混弟训葛角糙铂茸字夕泪堆椎双瞅卸碉酒褒搂廉纺杀待站从欺咆邵哨弄臀秋梅未掐靛晒藐禹点峨秃市奸闻今爬冷响蓑告铜里赘绸惋庙怔涂洱政帘驶芳谊哀垂萌糙绎膜述尚惧克痔摄远徽卢摄揽亦痰窖原量