2015届高考数学第二轮知识点课时检测19.doc

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专题七　第二讲

一、选择题
1．(2013·郑州预测)在长为10cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC、CB的长，则该矩形面积小于24cm2的概率为(　　)
A.　　　 B.　　　
C.　　　 D.
[答案]　D
[解析]　设线段AC的长为xcm，其中0<x<10，则线段CB的长为(10－x)cm，那么矩形的面积为x(10－x)cm2，由x(10－x)<24，解得x<4或x>6.又0<x<10，所以0<x<4或6<x<10，故该矩形面积小于24cm2的概率为＝，故选D.
2．(2014·湖北文，5)随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则(　　)
A．p1<p2<p3 B．p2<p1<p3
C．p1<p3<p2 D．p3<p1<p2
[答案]　C
[解析]　在表格中表示出两枚骰子向上的点数和的所有可能情况如下：

则P1＝，P2＝，P3＝.故P1<P3<P2.
3．(文)(2013·安徽师大附中模拟)从－＝1(m、n∈{－1,2,3})所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线)方程中任取一个，则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为(　　)
A. B. C. D.
[答案]　B
[解析]　当m，n∈{－1,2,3}时，－＝1所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线)共有7个，(m，n)的取值分别为(－1，－1)，(2,2)，(3,3)，(2,3)，(3,2)，(2，－1)，(3，－1)，其中表示焦点在x轴上的双曲线方程有4个，(m，n)的取值分别为(3,2)，(3,3)，(2,2)，(2,3)，故所求的概率为，选B.
(理)(2014·长春市三调)P为圆C1：x2＋y2＝9上任意一点，Q为圆C2：x2＋y2＝25上任意一点，PQ中点组成的区域为M，在C2内部任取一点，则该点落在区域M上的概率为(　　)
A. B. C. D.
[答案]　B
[解析]　解析1：设Q(x0，y0)，中点M(x，y)，则P(2x－x0,2y－y0)代入x2＋y2＝9，得 (2x－x0)2＋(2y－y0)2＝9，化简得：(x－)2＋(y－)2＝，又x＋y＝25表示以原点为圆心半径为5的圆，故易知M轨迹是在以(，)为圆心以为半径的圆绕原点一周所形成的图形，即在以原点为圆心，宽度为3的圆环带上，即应有x2＋y2＝r2(1≤r≤4)，那么在C2内部任取一点落在M内的概率为＝，故选B.
解析2：设P(3cosθ，3sinθ)，Q(5cosφ，5sinφ)，M(x，y)，则
2x＝3cosθ＋5cosφ，①2y＝3sinθ＋5sinφ，②，①2＋②2得：
x2＋y2＝＋cos(θ－φ)＝r2，所以M的轨迹是以原点为圆心，以r(1≤r≤4)为半径的圆环，那么在C2内部任取一点落在M内的概率为＝，故选B.
4．(2013·南通质检)有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[10.5,14.5)　　2　　[14.5,18.5)　　4
[18.5,22.5)　　9　　[22.5,26.5)　　18
[26.5,30.5)　　11　 [30.5,34.5)　　12
[34.5,38.5)　　8　　[38.5,42.5)　　2
根据样本的频率分布估计，数据落在[30.5,42.5)内的概率约是(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　B
[解析]　由已知可得，[30.5,42.5)的数据共有22个，所以数据落在[30.5,42.5)内的概率约是＝，选B.
5．在一次体检中，测得4位同学的视力数据分别为4.6,4.7,4.8,4.9，若从中一次随机抽取2位同学，则他们的视力恰好相差0.2的概率为(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　D
[解析]　利用古典概型的概率计算公式．随机抽取两位同学的等可能结果有6个，视力恰好相差0.2的结果有2个，所以视力恰好相差0.2的概率为P＝＝.
6．甲、乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参加1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　D
[解析]　最后一个景点甲有6种选法，乙有6种选法，∴共有36种不同结果，他们选择相同景点的情形有6种，∴P＝＝.
二、填空题
7．(文)(2013·新课标Ⅱ文，13)从1、2、3、4、5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是________．
[答案]　0.2
[解析]　从5个数中任取2个，所有基本事件为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共有10个元素．
记A＝“其和为5”，则A中有(1,4)，(2,3)共2个元素，
∴P(A)＝＝0.2.
(理)(2013·新课标Ⅱ理，14)从n个正整数1,2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n＝________.
[答案]　8
[解析]　由已知从1,2,3，…，n中取出的两数之和等于5，有以下情况：(1,4)，(2,3)，从n个正整数中任取两数有C种取法，由条件知，＝，∴C＝28，∴n＝8.
8．(文)(2014·浙江文，14)在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是________．
[答案]　
[解析]　该题考查古典概型，用列举法求解．
给3张奖券编号一等奖为a，二等奖为b，无奖为c.
甲、乙两人各抽取一张，共有(a，b)，(b，a)，(a，c)(c，a)(b，c)(c，b)6种，两人都中奖为(a，b)，(b，a)2种，∴所求概率P＝＝.
(理)从正方体六个面的对角线中任取两条，这两条直线成60°角的概率为________．
[答案]　
[解析]　六个面的对角线共有12条，从中任取两条共有C＝66种不同的取法．
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与面对角线AC成60°角的面对角线有B1C，BC1，A1D，AD1，AB1，A1B，DC1，D1C，共8条，同理与DB成60°角的面对角线也有8条，因此一个面上的对角线与其他四个相邻面上的对角线成60°角的情形共有16对，故6个面共有16×6＝96对，因为每对被计算了2次，因此共有×96＝48对，∴所求概率P＝＝.
9．在三棱锥的六条棱中任选两条，则这两条棱所在直线为异面直线的概率是________．
[答案]　
[解析]　从六条棱中任选两条有15种可能，其中构成异面直线的有3种情况，故所求概率为P＝＝.
三、解答题
10．(文)(2014·郑州市质检)每年春季在郑州举行的“中国郑州国际马拉松赛”活动，已成为最有影响力的全民健身活动之一，每年的参与人数不断增多．然而也有部分人对该活动的实际效果提出了疑问，对此，某新闻媒体进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：

支持
保留意见
不支持
男
800
450
200
女
100
150
300
(1)在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n个人，已知从“支持”态度的人中抽取了45人，求n的值；
(2)接受调查的人同时对这项活动进行打分，其中6人打出的分数如下： 9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把这6个人打出的分数看作一个总体，从中任取2个数，求这两个数与总体平均数之差的绝对值都不超过0.5的概率．
[解析]　(1)所有参与调查的人数为800＋100＋450＋150＋200＋300＝2000，
由分层抽样知：n＝×2000＝100.
(2)总体平均数＝＝9.0，
从这6个分数中任取2个的所有可能取法为：(9.2,9.6)、(9.2,8.7)、(9.2,9.3)、(9.2,9.0)、(9.2，8.2)、(9.6,8.7)、(9.6,9.3)、(9.6,9.0)、(9.6，8.2)、(8.7,9.3)、(8.7,9.0)、(8.7,8.2)、(9.3，9.0)、(9.3,8.2)、(9.0,8.2)，共计15种．
由|x－9.0|≤0.5知，当所取的两个分数都在[8.8,9.5]内时符合题意，即(9.2,8.7)、(9.2,9.3)、(9.2,9.0)、(8.7,9.3)、(8.7,9.0)、(9.3,9.0)符合，共计6种，
所以，所求概率P＝＝.
(理)(2013·广东惠州调研)已知集合{(x，y)|x∈[0,2]，y∈[－1,1]}．
(1)若x、y∈Z，求x＋y≥0的概率；
(2)若x、y∈R，求x＋y≥0的概率．
[解析]　(1)设事件“x＋y≥0，x，y∈Z”为A，
∵x，y∈Z，∴x∈[0,2]，即x＝0,1,2，y∈[－1,1]，即y＝－1,0,1.
则基本事件如下表：
　　　x
x＋y
y
0
1
2
1
＋
＋
＋
0
0
＋
＋
－1
－
0
＋
基本事件总数n＝9，
其中满足“x＋y≥0”的基本事件n＝8，
P(A)＝＝.
故x，y∈Z，x＋y≥0的概率为.
(2)设事件“x＋y≥0，x，y∈R”为B，
∵x∈[0,2]，y∈[－1,1]．
∴基本事件用下图四边形ABCD区域表示，

SABCD＝2×2＝4.
事件B包括的区域为阴影部分，
S阴影＝SABCD－×1×1＝4－＝，
P(B)＝＝＝，
故x，y∈R，x＋y≥0的概率为.

一、选择题
11．在区间[1,6]上随机取一实数x，使得2x∈[2,4]的概率为(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　B
[解析]　由2x∈[2,4]知1≤x≤2，
∴P(2x∈[2,4])＝＝.
12．(文)甲、乙、丙、丁四人排成一行，则甲、乙都不在两端的概率为(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　B
[解析]　甲、乙、丙、丁四人站成一排有24种情形，
其中甲、乙都不在两边有4种情形：丙甲乙丁，丙乙甲丁，丁甲乙丙，丁乙甲丙．
因此所求概率为P＝＝.
(理)在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1、2、3、…、18的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　D
[解析]　设选出的三人编号为a－3，a，a＋3，则，∴4≤a≤15，共12种，从18人中选3人有C种选法，∴P＝＝.
13．扇形AOB的半径为1，圆心角为90°.点C、D、E将弧AB等分成四份．连接OC、OD、OE，从图中所有的扇形中随机取出一个，面积恰为的概率是(　　)

A. B.
C. D.
[答案]　A
[解析]　所有的扇形共10个，其中面积为的扇形共有3个，故所求概率为P＝.
14．(文)(2014·东北三省三校一模)一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为a、b、c，当且仅当a > b，b < c时称为“凹数”(如213,312等)，若a、b、c∈{1,2,3,4}且a、b、c互不相同，则这个三位数是“凹数”的概率是(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　C
[解析]　解法1：任取3个数，共能构成24个三位数，A＝“该数为凹数”，则A＝{213,214,312,314,412,412,324,423}共包括8个基本事件，
∴P(A)＝＝.
解法2：从4个不同数中任取3个，这3个数字共组成6个不同三位数，其中凹数有2个，∴P＝＝.
(理)一个正方体玩具，其各面标有数字－3、－2、－1、0、1、2，随机投掷一次，将其向上一面的数字记作m，则函数f(x)＝x3＋mx在(－∞，－)上单调的概率为(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　D
[解析]　f ′(x)＝3x2＋m，当m≥0时，f ′(x)≥0，f(x)单调递增；当m<0时，令f ′(x)＝0得，x＝±，
∴f(x)在(－∞，－)上单调增加，
∵<<，∴－<－<－，
∴当m＝－1时，f(x)在(－∞，－)上单调递增，
∴所求概率P＝＝.
15．(文)连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量a＝(m，n)，b＝(1，－2)，则a⊥b的概率是(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　A
[解析]　由a⊥b得，m－2n＝0，满足此条件的(m，n)共有3个，所求概率P＝＝.
(理)(2013·潍坊教学质量监测)箱子里装有标号为1、2、3、4、5、6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　B
[解析]　当摸的两个球中有标号为4的球时，此时两球的号码之积是4的倍数，有5种情况；当摸的两个球中有标号均不是4的球时，此时要使两球的号码之积是4的倍数，只有1种情况，故一次摸奖能够获奖的概率为＝，因此所求概率等于C·()3·(1－)＝，选B.
二、填空题
16．(文)在集合{1,2,3,4,5}中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量a＝(a，b)，从所得的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，则平行四边形的面积等于2的概率为________．
[答案]　
[解析]　满足题设要求的向量a共有6个，从中任取两个，共有15种不同取法．设以原点为起点时，它们的终点分别为A(a1，b1)，B(a2，b2)，则以OA、OB为邻边的平行四边形面积
S＝
＝
＝＝|a1b2－a2b1|，
满足S＝2的有＝(2,1)，＝(4,3)；＝(2,1)，＝(4,1)；＝(2,3)，＝(4,5)共3组，故所求概率P＝＝.
(理)(2014·广东理，11)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________．
[答案]　
[解析]　由题意从10个数中取7个数有C种方法，而中位数为6，则从0,1,2,3,4,5中取3个有C种，后面三个只能是7,8,9，
∴概率＝＝＝.
三、解答题
17．(文)(2014·山东文，16)海关对同时从A、B、C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示. 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．

地区
A
B
C
数量
50
150
100
(1)求这6件样品中来自A、B、C各地区商品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
[分析]　按分层抽样在各层中所占比例确定出来自A、B、C各地区商品的数量，列举6个选2个的不同取法，找出对应事件的基本事件数．用古典概型的概率公式去求．
[解析]　(1)A、B、C各地区商品的数量之比为50150100＝132.
故从A地区抽取样本6×＝1件，从B地区抽取样本6×＝3件，从C地区抽取样本6×＝2件．
(2)将这6件样品分别编号a1，b1，b2，b3，c1，c2，随机选取2件，不同的取法共有{(a1，b1)(a1，b2)(a1，b3)(a1，c1)(a1，c2)(b1，b2)(b1，b3)(b1，c1)(b1，c2)(b2，b3)(b2，c1)(b2，c2)(b3，c1)(b3，c2)(c1，c2)}共15种．
设“2件商品来自相同地区”为事件A，则A含有{(b1，b2)(b1，b3)(b2，b3)(c1，c2)}共4种，故所求概率P(A)＝.
(理)(2013·天津文，15)某产品的三个质量指标分别为x、y、z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品，现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：
产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
质量指标(x，y，z)
(1,1,2)
(2,1,1)
(2,2,2)
(1,1,1)
(1,2,1)
产品编号
A6
A7
A8
A9
A10
质量指标(x，y，z)
(1,2,2)
(2,1,1)
(2,2,1)
(1,1,1)
(2,1,2)
(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品．
(ⅰ)用产品编号列出所有可能的结果；
(ⅱ)设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率．
[解析]　(1)计算10件产品的综合指标S，如下表：
产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
S
4
4
6
3
4
5
4
5
3
5

其中S≤4的有A1、A2、A4、A5、A7、A9，共6件，故该样本的一等品率为＝0.6，
从而可估计该批产品的一等品率为0.6.
(2)(ⅰ)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15种．
(ⅱ)在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A1、A2、A5、A7，则事件B发生的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6种．
所以P(B)＝＝.
18．(文)(2013·太原模拟)某高中社团进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n人进行了一次是否开通“微博”的调查，若开通“微博”的称为“时尚族”，否则称为“非时尚族”．通过调查分别得到如图1所示统计表和如图2所示的各年龄段人数频率分布直方图.
组数
分组
时尚族的人数
占本组的频率
第一组
[25,30)
120
0.6
第二组
[30,35)
195
p
第三组
[35,40)
100
0.5
第四组
[40,45)
a
0.4
第五组
[45,50)
30
0.3
第六组
[50,55]
15
0.3

请完成以下问题：
(1)补全频率直方图，并求n，a，p的值；
(2)从[40,45)岁和[45,50)岁年龄段的“时尚族”中采用分层抽样法抽取6人参加网络时尚达人大赛，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队年龄在[40,45)岁的概率．
[解析]　(1)第二组的频率为1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝0.3，
所以高为＝0.06.频率直方图如下：

第一组的人数为＝200，频率为0.04×5＝0.2，
所以n＝＝1000，
所以第二组的人数为1000×0.3＝300，p＝＝0.65，
第四组的频率为0.03×5＝0.15，第四组的人数为1000×0.15＝150，
所以a＝150×0.4＝60.
(2)因为[40,45)岁与[45,50)岁年龄段的“时尚族”的比值为6030＝21，
所以采用分层抽样法抽取6人，[40,45)岁中有4人，[45,50)岁中有2人．
记a1、a2、a3、a4为[40,45)岁中抽得的4人，b1、b2为[45,50)岁中抽得的2人，全部可能的结果有：
(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b1)，(a1，b2)，
(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，
(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，(b1，b2)，共15个，
选取的两名领队都在[40,45)岁的有6种，
所以所求概率为＝.
(理)(2014·湖北七市联考)小明家订了一份报纸，寒假期间他收集了每天报纸送时间的数据，并绘制成频率分布直方图如图所示．

(1)根据图中的数据信息，写出众数x0；
(2)小明的父亲上班离家的时间y在上午700至730之间，而送报人每天在x0时刻前后半小时内把报纸送达(每个时间点送达的可能性相等)．
①求小明的父亲在上班离家前能收到报纸(称为事件A)的概率；
②求小明的父亲周一至周五在上班离家前能收到报纸的天数X的数学期望．
[解析]　(1)x0＝700.
(2)①设报纸送达时间为x，则小明父亲上班前能收到报纸等价于由图可知，所求概率为P＝1－＝.

②X服从二项分布B(5，)，故EX＝5×＝(天)．

希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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