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基于分数阶导数的天气和气候要素时间序列关系分析

朱一鑫

摘 要：本文根据四川色达县1961-2012年的，日、月以及年的平均气温为资料，通过对自相关性函数及归一化概率的密度函数进行了系统分析，阐述了其自相关性和概率分布的特点，在这个基础上，运用结构函数法组建了月、年的平均气温距平和日平均气温距平之间的分数阶导数相关联系。本文主要分析了分数阶导数的天气和气候要素时间序列之间的关系，以期为日后对天气和气候研究提供有效的解决措施。
关键词：分数阶导数;天气;时间序列;气候要素;气温距平
天气和气候之间的时间范围是不同的，对于某一种要素的天气时间序列和气候时间序列来说，因为两种时间序列的多尺度特征，这两种序列中一定有起伏程度不同的各种信号，而显示出浑浊性，这和王世元， 史春芬， 钱国兵，等的发现相同。近年来，恶劣的天气气候情况引起人们高度重视。
一、数据与方法分析
本文根据四川色达县1960-2012年的，日、月以及年的平均气温为资料，也就是天气和气候两种时间序列作为研究对象，利用自相关函数与归一化概率的密度函数进行分析，自相关性和概率分布的长拖尾特性，在这个基础上，利用量纲分析以及结构函数的方法建立四川色达县天气和气候要素中时间序列之间的联系。
1.数据的预处理及平稳性檢验。本文所用数据根据四川色达县1960-2012年的日平均气温数据，数据资料来源于中国气象局。首先对这些数据进行处理，得到日、月、年的平均气温距平序列，运用距平资料可以去除气象实际测量数据的趋势干扰，其具有一定的平稳性。而后采用时序图的方法来检验时间序列平稳性;通过制作1960-2012年日、月、年的时序图，可直接观测看出日和月平均温度距平序列的数据稳定的绕其平均数值上下进行波动，其中年的距平资料波动程度较大，再用WATAL中ADFTEST检验函数证明它的平稳性，得出其参数是1，证明了年距平资料平稳性，因此色达县1960-2012年的日、月、年平均气温距平时间序列都是平稳的时间序列。
2.研究方法
（1）自相关性分析法。自相关性是指在时间序列中，一个时刻的瞬时值与另一个时刻的瞬时值他们之间的依赖性，他们的相关程度采用自相关系数的数值进行表述。针对时间序列来讲，他体现出时间序列的记忆特性。从计算得出的自相关系数数值能够看出时间序列中随意2个时刻之间的相关性是如何随着时间隔而变化的。他表达的是时间序列临近2个变量的相关性。假如设置时间序列为x（t），那么他的自相关函数可以表述为：
（2）归一化概率密度函数。归一化代表的是将数据统一成一样的量纲或者是固定范围内的数值，例如统一到[0，2]之间，对数据进行归一化处理是一个非常重要的过程，它能够消除样本取值和量纲之间差异的影响。归一化处理之后的数据拥有同一的尺度，只有在相同的尺度下进行分析数据，才能够准确的分析出数据与数据之间的联系。本文运用最大值归一化的方法，用原有数据除以各个数列中的最大值得到数列。然后运用归一化的数据进行绘制归一化概率密度的函数图形。
（3）分数阶导数的阶数确定。本文最初已经讲述了天气时间序列与气候时间序列的不同，因为由于他们之间之间尺度的不同，通常运用在频率f空间中功率谱s（f）来表述天气和气候的时间序列，又因为时间序列之中的数据进行连接会得出不可微的函数，它满足分形的特点，因此时间序列的功率谱特点也可以运用分形曲线功率谱的方式进行表达。葛志新， 陈咸奖， 陈松林等因此推算出功率谱指数γ和分数阶导数q的关系是γ=2q。而后运用二阶结构计算和量纲分析得出功率谱指数γ和赫斯特指数H的关系为γ=2H+1，进而得出分数阶导数和与赫斯特指数之间的关系。
二、结果与分析
1.自相关性分析。通过四川色达县的日平均气温距平序列的自相关函数R（t）始终接近于0，可以认为这个序列不具有自相关性，也就是不具有记忆性，可以认为是白噪声的序列。而月和年的平均气温距平序列有一定的自相关性，其中月平均气温距平序列在延后150个月之后才不具有自相关性，但年平均气温距平序列在延迟30年的时间仍然具有自相关性。这说明随着时间的改变，气候信号虽然出现指数形式衰退的趋势，但是他的一部分特性并没有在经历天气过程的信号平滑后消亡，而仍然保留在天气信号之内。这会把月。季度、年或者是更长时间的天气信号集中起来，使气候信号呈现出记忆性。气候信号呈现出记忆性，可能因为海洋这种记忆信号好的信号存在于气候的信号之中。并且这种记忆性特征也延长了他的预报时间。
2.归一化概率分布的特点。四川色达县的日平均气温距平归一化概率函数表现出正态分布，他在平均值附近的概率要大于月和日的平均温度距平序列，这就说明平均温度围绕着多年平均值的变化概率要大于月和年的，月平均温度距平归一化概率密度曲线与日平均气温对比，总体形态接近，但峰值较后者低，这说明两端的尾部概率较后者大。而年平均气温距平序列的归一化概率，密度曲线相比前面二者更加扁平，说明其两端尾部的概率较前两者大。从这里可以看出，月、年平均气温距平序列的概率函数表现出不同程度的长拖尾特征，意味着发生气候恶劣时间的可能性要不天气恶劣时间大。
3.分数阶导数阶数q的计算。对于二阶结构算子的数值和延长时间参数求对数后进行一次性拟合，求得斜率从而计算出参数H，得到色达县日、月及年平均气温距平时间序列的赫斯特指数分别是H=0.012，0.025，0.34.日平均气温距平时间序列的赫斯特指数靠近于0，说明这段时间序列可以看成是白噪声。月和年平均气温距平时间序列的赫斯特指数都大于日平均气温距平时间序列，但是都比布朗运动的相应值小，后者等于0.4。赫斯特指数是时间序列自相关强度的尺度，如果他的数值为0，那么序列设定时刻的状态与过去任何时刻的状态都没有关系，随着数值的增加，设定时刻的状态与过去时刻的状态相关程度加大。因此可以推算出，月平均气温距平序列在某一个月的值与过去某些月的值之间存在相关性。进而说明气候时间序列具有一定的记忆性，这就说明，气候虽然是天气的平均值，但是天气不一定是气候的一阶导数，而是q阶导数。
三、结语
通过对比四川色达县1960-2012年，日、月、年平均温度距平的时间序列特性和相关研究，总结得出如下结论：
1.天气的时间序列没有记忆性，但是气候是时间序列具有一定程度的记忆性。其中色达县年平均气温具体序列对比月平均气温距平序列拥有更长的记忆性。
2.气候的时间序列和天气的时间序列进行归一化概率密度分布对比，发现有明显的长拖尾特性，这意味着出现气候恶劣时间的可能性比天气恶劣可能性大。
参考文献：
[1]王世元， 史春芬， 钱国兵，等. 基于分数阶最大相关熵算法的混沌时间序列预测[J]. 物理学报， 2018， 67（1）：248-255.
[2]王俊芳， 罗党. 振荡序列的分数阶离散GM（1，1）幂模型及其应用[J]. 控制与决策， 2017， 32（1）：176-180，共5页.
[3]赵文秀， 蔺建强， 王雪建. 基于分数阶导数的自适应的图像分解模型[J]. 电子技术， 2017， 46（1）.
[4]葛志新， 陈咸奖， 陈松林. 一类含有分数阶导数的二自由度耦合系统[J]. 应用数学和力学， 2017， 38（11）：1300-1308.

-全文完-