2016届高考理科数学知能闯关复习题18.doc

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1．(2015·秦皇岛模拟)直线x＋y＋1＝0的倾斜角是(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选D.由直线的方程得直线的斜率为k＝－，设倾斜角为α，则tan α＝－，又α∈[0，π)，所以α＝.
2．倾斜角为120°，在x轴上的截距为－1的直线方程是(　　)
A.x－y＋1＝0 B.x－y－＝0
C.x＋y－＝0 D.x＋y＋＝0
解析：选D.由于倾斜角为120°，故斜率k＝－.又直线过点(－1，0)，所以方程为y＝－(x＋1)，即x＋y＋＝0.
3．已知函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，当x＜0时，f(x)＞1，方程y＝ax＋表示的直线是(　　)

解析：选C.∵x＜0时，ax＞1，∴0＜a＜1.
则直线y＝ax＋的斜率0＜a＜1，
在y轴上的截距＞1.故选C.

4．(2015·湖南长沙模拟)过点(1，3)作直线l，若经过点(a，0)和(0，b)，且a∈N*，b∈N*，则可作出的直线l的条数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B.由题意得＋＝1⇒(a－1)(b－3)＝3.
又a∈N*，b∈N*，故有两个解或
5．直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是(　　)
A．[－2，2] B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C．[－2，0)∪(0，2] D．(－∞，＋∞)
解析：选C.令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－b，
所以所求三角形面积为|－b|＝b2，且b≠0，b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范围是[－2，0)∪(0，2]．
6．已知直线的倾斜角是60°，在y轴上的截距是5，则该直线的方程为________．
解析：因为直线的倾斜角是60°，所以直线的斜率为k＝tan 60°＝.又因为直线在y轴上的截距是5，由斜截式得直线的方程为y＝x＋5.
答案：y＝x＋5
7．(2015·贵州贵阳模拟)直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是________．
解析：设直线l的斜率为k，则方程为y－2＝k(x－1)，在x轴上的截距为1－.令－3<1－<3，解得k<－1或k>.　
答案：(－∞，－1)∪
8．已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，a＝________．
解析：由题意知直线l1，l2恒过定点P(2，2)，直线l1的纵截距为2－a，直线l2的横截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝(a－)2＋，当a＝时，面积最小．
答案：
9．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：
(1)过定点A(－3，4)；
(2)斜率为.
解：(1)设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－－3，3k＋4，
由已知，得(3k＋4)(＋3)＝±6，
解得k1＝－或k2＝－.
故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.
(2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是y＝x＋b，它在x轴上的截距是－6b，
由已知，得|－6b·b|＝6，∴b＝±1.
∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.
10．设直线l的方程为x＋my－2m＋6＝0，根据下列条件分别确定m的值：
(1)直线l的斜率为1；
(2)直线l在x轴上的截距为－3.
解：(1)因为直线l的斜率存在，所以m≠0，
于是直线l的方程可化为y＝－x＋.
由题意得－＝1，解得m＝－1.
(2)法一：令y＝0，得x＝2m－6.
由题意得2m－6＝－3，解得m＝.
法二：直线l的方程可化为x＝－my＋2m－6.由题意得2m－6＝－3，解得m＝.

1．(2015·福建泉州模拟)若点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，则m2＋n2的最小值是(　　)
A．2 B．2
C．4 D．2
解析：选C.法一：因为点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，所以4m＋3n－10＝0，
欲求m2＋n2的最小值可先求的最小值．
而表示4m＋3n－10＝0上的点(m，n)到原点的距离，如图．

当过原点的直线与直线4m＋3n－10＝0垂直时，原点到点(m，n)的距离的最小值为2.
∴m2＋n2的最小值为4.
法二：由题意知点(m，n)为直线上到原点最近的点，
直线与两坐标轴交于A(，0)，B(0，)，
在Rt△OAB中，OA＝，OB＝，斜边AB＝＝，
斜边上的高h即为所求m2＋n2的算术平方根，
∴S△OAB＝·OA·OB＝AB·h，
∴h＝＝＝2，
∴m2＋n2的最小值为h2＝4.
2．已知A(3，0)，B(0，4)，直线AB上有一动点P(x，y)，则xy的最大值是________．
解析：依题意得AB的方程为＋＝1.当x＞0，y＞0时，1＝＋≥2＝，即xy≤3(当且仅当x＝，y＝2时取等号)，故xy的最大值为3.
答案：3
3．(2015·江苏苏州调研)经过P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2，1)的线段总有公共点，则直线l的斜率k和倾斜角α的取值范围分别为________，________．

解析：如图所示，为使l与线段AB总有公共点，则kPA≤k≤kPB，而kPB＞0，kPA＜0，故k＜0时，倾斜角α为钝角，k＝0时，α＝0，k＞0时，α为锐角．
又kPA＝＝－1，
kPB＝＝1，
∴－1≤k≤1.又当0≤k≤1时，0≤α≤；

当－1≤k＜0时，≤α＜π.
故倾斜角α的取值范围为α∈∪.
答案：[－1，1]　∪
4．求曲线y＝x3－x＋5上各点处的切线的倾斜角的取值范围．
解：记曲线上点P处的切线的倾斜角是θ，
∵y′＝3x2－1≥－1，∴tan θ≥－1，
∴θ为钝角时，应有θ∈[，π)；
θ为锐角时， tan θ≥－1显然成立．
综上，θ的取值范围是[0，)∪[，π)．
5. 已知直线l过点P(0，1)，且与直线l1：x－3y＋10＝0和l2：2x＋y－8＝0分别交于点A，B(如图)．若线段AB被点P平分，求直线l的方程．

解：∵点B在直线l2：2x＋y－8＝0上，
故可设点B的坐标为(a，8－2a)．
∵点P(0，1)是线段AB的中点，
得点A的坐标为(－a，2a－6)．
又∵点A在直线l1：x－3y＋10＝0上，
故将A(－a，2a－6)代入直线l1的方程，
得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4.
∴点B的坐标是(4，0)．
因此，过P(0，1)，B(4，0)的直线l的方程为＋＝1，
即x＋4y－4＝0.

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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