高中数学数列知识点表格适用于学生自我推导.doc

五、数列基础
一、数列定义：
数列是按照一定顺序排列的一列数，那么它就必然有开头的数，有相继的第二个数，有第三个数，……，于是数列中的每一个数都相应一个序号；反过来，每一个序号也都相应于数列中的一个数。因此，数列就是定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数，当自变量从1开始由小到大依次取正整数时，相相应的一列函数值为； 通常用代替，于是数列的一般形式常记为或简记为，其中表达数列的通项。
注意：（1）与是不同的概念，表达数列，而表达的是数列的第项；
（2）数列的项与它的项数是不同的概念，数列的项是指这个数列中的某一个拟定的数，它是一个函数值；而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值。
（3）和之间的关系：
如：已知的满足，求。
二、等差数列、等比数列的性质：

等差数列
等比数列
定义
假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫等差数列
假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列
公差（比）
，或
；
，或
（）；
通项公式

=

求和公式
由倒序相加法推得
=
由错项相减法推得
①， =
②，
用函数的思想理解通项公式
若为等差数列，则 ， ；
等差数列的图象是直线上的均匀排开的一群孤立的点
若为等比数列，则 ， ；
用函数的思想理解求和公式
等差数列，，
则 ； ； ；
若，说明： ；

在二次函数 的图象上，是一群孤立的点。
若为等比数列，，则 ； ； ；
（其中 的系数 与 为互为相反数，这是公式一很重要特点，注意前提条件。）
若，说明： ；
等比数列，，则 ；
增减性
为递增数列 ；
为递减数列 ；
为常数列 。
为递增数列 ；
为递减数列 ；
为常数列 ；
为摆动数列 ；
等差（比）中项
任意两个数有且只有一个等差中项，即为 ；两个数的等差中项就是这两个数的算术平均数。
两个数的等比中项为 ；（）
等差（比）数列的性质

若，则_______ _____；
特别当，则 ；
若，则__________ __；
特别当，则 ；
在等差数列中，每隔相同的项抽出来的项按照本来顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列，但剩下的项按原顺序构成的数列不一定是等差数列。
如：；问公差为
在等比数列中，每隔相同的项抽出来的项按照本来的顺序排列，构成的新数列仍然是等比数列，剩下的项按原顺序构成的数列也不一定是等比数列。
如：；问公比为

是 数列；公差为 ；
成等差数列。

是 数列；公差为 ；

是 数列；公比为 ；

是 数列；公比为 ；

是 数列；公比为 ；
若数列与均为等差数列，则仍为等差数列，公差为 ；
若数列与均为等差数列，则仍为等比数列，公比为 ；
仍为等比数列，公比为 ；
如：（1）在等差数列中，，则 ；
（2）在等比数列中，，则 ；
此外，等差数列中尚有以下性质须注意：
（1）等差数列中，若，则 ；
（2）等差数列中，若，则 ；
（3）等差数列中，若，则 ； ；
（4）若，则 时，最大。
（5）若与均为等差数列，且前n项和分别为与，
则；
（6）项数为偶数的等差数列，有（与为中间的两项）
； ；
项数为奇数的等差数列，有（为中间项）
； ； ；
等比数列中尚有以下性质须注意：
（1）若是等比数列，则，也是等比数列，公比分别 ； ；
（2）若是等比数列，则，也是等比数列，公比分别 ； ；
三、鉴定方法：
（1）等差数列的鉴定方法：
①定义法：或（为常数）是等差数列
②中项公式法：是等差数列
③通项公式法：（为常数）是等差数列
④前项和公式法：（为常数）是等差数列
注意：①②是用来证明是等差数列的理论依据。
（2）等比数列的鉴定方法：
①定义法：或（是不为零的常数）是等比数列
②中项公式法：是等差数列
③通项公式法：（是不为零常数）是等差数列
④前项和公式法：（是常数）是等差数列
注意：①②是用来证明是等比数列的理论依据。
四、数列的通项求法：
（1）观测法：如：（1）0.2，0.22，0.222，……（2）21，203，2023，20237，……
（2）化归法：通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列。
①递推式为及（为常数）：直接运用等差（比）数列。
②递推式为：迭加法
如：已知中，，求
③递推式为：迭乘法
如：已知中，，求
④递推式为（为常数）：
构造法：Ⅰ、由相减得，则
为等比数列。
Ⅱ、设，得到，，则 为等比数列。
如：已知，求
⑤递推式为（为常数）：
两边同时除去得，令，转化为，再用④法解决。
如：已知中，，，求
⑥递推式为（为常数）：
将变形为，可得出解出，于是是公比为的等比数列。
如：已知中，，，求
（3）公式法：运用
①已知，求；②已知中， ，求；
③已知中，，求
五、数列的求和法：
（1）公式法：
①等差（比）数列前项和公式：② ；
③；④
（2）倒序相加（乘）法：
如：①求和：；
②已知为不相等的两个正数，若在之间插入个正数，使它们构成认为首项，为末项的等比数列，求插入的这个正数的积；
（3）错位相减法：如：求和：
（4）裂项相消法： ； ；
如：① ；
② ；
③若，则 ；
（5）并项法：如：求
（6）拆项组合法：如：在数列中，，求，
六、数列问题的解题的策略：
（1）分类讨论问题：①在等比数列中，用前项和公式时，要对公比进行讨论；只有 时才干用前项和公式，时
②已知求时，要对进行讨论；最后看满足不满足，若满足中的扩展到，不满足分段写成。
（2）设项的技巧：
①对于连续偶数项的等差数列，可设为，公差为；
对于连续奇数项的等差数列，可设为，公差为；
②对于连续偶数项的等比数列，可设为，公比为；
对于连续奇数项的等比数列，可设为公比为；
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