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摘要：线性代数主要研究线性问题，本文从线性相关性证明过程分析了若矩阵 A 经过行初等变换化为矩阵 B，则 A 与 B 的列向量组具有完全相同的线性关系，并以此为基础分析了线性相关性在线性代数中的一些应用。关键词：初等变换；线性相关性；线性表示 线性相关（无关）概念是线性代数理论的基本概念，它与向量空间（包括基、维数）、子空间、生成空间等概念有密切关系。一般而言，凡是线性问题常可以用向量空间的观点和方法加以讨论，因此向量空间成了线性代数的基本概念和中心内容。向量空间理论的核心问题是向量间的线性关系。其基本概念有向量的线性表示、向量组线性相关与线性无关、向量组等价、向量组的极大无关组，以及向量空间的基与维数等。这些问题通常转化为解线性方程组或解齐次线性方程组。1 线性相关性证明 设有矩阵 A=(1,2,n)，iPm，若矩阵 A 经过行初等变换化为矩阵 B，则 A 与 B 的列向量组具有完全相同的线性关系。证明矩阵 A、B 具有相同线性关系，只需要证明矩阵 A、B 具有线性相关性即可。在证明过程中，确定有满秩矩阵 P 使得 PA=B，若矩阵 P 满足一定条件即可证明矩阵 A、B。证明如下。证明：设 Amn，A 经过行初等变换化为 B，将 A，B 分别按列分块为 A=(1,2,n)，B=(1,2,n)。由于对 A 只进行有限次行初等变换，故可知有满秩矩阵 P，使 PA=B，即P(1,2,n)=(1,2,n)，于是有 i1 j=Pj (j=1,2,3,n)（1）设 A 和 B 对应的列向量组为 i1,i2,ir和 i1,i2,ir(1i1i2 irn)，由(1)式得 ik=Pik (k=1,2,3,r)因此，如果 i1,i2,ir有线性关系式 k1i1+k2i2+krir=0(kr为实数)，则 k1,k2kr也必使得 k1i1+k2 i2+krir=k1(Pi1)+k2(Pi2)+kr(Pir)=P(k1i1+k2i2+krir)=P0=0 反之，如果 i1,i2,ir有线性关系式，得 1i1+2i2+rir=0 则由 P 的满秩性可知 j=P-1j(j=1,2,3,n)，于是有 1i1+2i2+rir=1P-1i1+2P-1i2+rP-1ir=P-1(1i1+2i2+rir)=P-10=0 这表明向量组 i1,i2,ir与向量组 i1,i2,ir有相同的线性相关性。证毕 2 线性代数在课题中的应用 课题组建立的模型很多就需要运用线代 1）以人口迁移模型为例 这个问题可以用矩阵乘法来描述。把人口变量用市区和郊区两个分量表示。一年以后，市区人口为 Xc1=(1-0.06)Xc0+0.02xs0，郊区人口 Xs1=0.06Xc0+(1-0.02)xs0 用矩阵乘法来描述，可写成：从初始到 k 年，此关系保持不变，因此上述算式可扩展为 输入：A 0.94,0.02;0.06,0.98,X0 0.3;0.7X1 A*x0,X10 A10*x0,X30 A30*X0,X50 A50*X0 得到：本题特征值和特征向量的意义：无限增加时间 k，市区和郊区人口之比将趋向一组常数 0.25/0.75。为了弄清为什么这个过程趋向于一个稳态值，我们改变一下坐标系统。在这个坐标系统中可以更清楚地看到乘以矩阵 A 的效果，先求 A 的特征值和特征向量，得到 令 11010.94 0.020.3 0.29600.06 0.980.7 0.7040 csxxAxx2120kkkkxAxA xA x1103050 0.2960 0.2717 0.2541 0.2508,0.7040 0.7283 0.7459 0.7492xxxx 0.9200 0 -0.7071 -0.3162,0 1.0000 0.7071 -0.9487lamdae1211,13 uu 它是特征向量的整数化，得到 2）以交通流量分析为例 通过一个简单的城市交通模型，练习方程组的建立与求解 问题：某城市交通图，每一条道路都是单行道，图中数字表示某一个时段的机动车流量。针对每一个十字路口，进入和离开的车辆数相等。请计算每两个相邻十字路口间路段上的交通流量 xi（i=1,2,3,4）根据已知条件，得到各节点的流通方程 A：B：C：D：整理得方程组为 在 Matlab窗口输入 0210.250.05(0.92)kkkxA xuu12360260 xx23220292 xx34320357xx41260251 xx1223341410072379 xxxxxxxx1,1,0,0;0,1,1,0;0,0,1,1;1,0,0,1;A 10;72;37;9;b(,)Urref A b 计算结果为 由于 U 的最后一行全为零，方程组中只有三个有效方程，所以有无穷组解。以 X4为自由变量，其解为 参考文献 1.同济大学数学系.工程数学线性代数.高等教育出版社.2007 2.王洪林,王春梅.相同的线性相关性在线性代数中的应用J.河北工程技术高等专科学校学报.2001 年01 期 3.陈雪梅.学生怎样理解向量的线性相关性J.数学教育学报.2007 年 02 期 100100101 10900113700000U142434910937xxxxxx