《高等数学》(第三版)教案第二章全.doc

《高等数学》（第三版）教案第二章全
2.1.1导数的概念

教学目标：
（1）研究曲线的切线问题，寻找求曲线上一点处切线的斜率的方法；
（2）学习导数的概念；
（3）分析曲线上一点处切线的斜率与导数之间的关系，学会求曲线上一点处的切线的方程。
教学重点：
（1）导数的概念；
（2）曲线上一点处的切线的方程。
教学难点：
对导数的概念的理解。
授课时数： 2课时
教学过程

过程
备注
引言
介绍本章学习的主要内容。
教师讲授
知识回顾
设直线的倾斜角为，点和点为直线上的任意两点，则当时，直线的斜率为
．

引导学生回答
5′
问题
在平面解析几何中，我们将与圆只有一个交点的直线定义为圆的切线．如图2－1所示，直线L是过圆周上一点P的切线．
P

图2－1 图2－2
但是对其他曲线，这样的定义就不一定合适，例如，图2－2中的直线虽然与曲线只有一个交点，但是不能确定它们一定是曲线的切线．那么，对于一般曲线，如何定义和研究过曲线上一点P的切线呢？

教师讲授

10′
新知识
下面采用动态处理的方法定义一般曲线的切线．
如图2－3所示，选取曲线上的任意点Q，做割
线；然后让点Q沿着曲线趋近于点P，判断此时
割线斜率的极限是否存在，如果存在，就把以这个
极限值为斜率的直线定义为曲线在点P的切线． 图2－3

大家知道，二次函数的图像是抛物线。如图2－4所示，点为抛物线上的点．依据上面的切线定义，求抛物线在点处的切线．
T
设为抛物线上任意一点，在点
处， 为自变量的改变量（或自变
量的增量），为函数的相应改变量（或
函数的增量）．则割线的斜率为

当点Q沿着抛物线趋近点P时，，
此时，割线的极限位置为PT． 图2－4
因为 ．
故抛物线在点处切线的斜率为2．因此，切线PT的方程为
，即 ．
一般地，设是曲线上的一个定点，是曲线上异于的任意一点，则割线PQ的斜率为
，
其中为割线PQ的倾斜角.当时，如果极限

存在，那么，这个极限值就是曲线在点处的切线PT的斜率.
结合
动画演示
讲授

教师讲授
与学生回答相结合

30′

做一做
采用同样的思路来研究非匀速直线运动物体的瞬时速度．
设一个物体做非匀速直线运动，其路程与时间的关系为.求该物体在时刻的瞬时速度．
在附近的一段时间间隔内，即从到这段时间内，物体走过的路程为
．
当很小时，我们把变速运动近似地看成是匀速运动.因此，可以用这段时间间隔的平均速度

近似地描述瞬时速度．由于速度是变化的，所以对任意的固定的，它只是一个近似值.但是，在无限变小的过程中，平均速度无限接近时刻的瞬时速度．因此，当趋于零时，如果极限

存在，那么，这个极限值就是变速直线运动的瞬时速度．即
．

在教
师引
领下
共同
完成

40′
新知识
以上两个例子的具体意义虽然不同，但抽象出的数量关系却相同——研究函数改变量与自变量改变量之比的极限．
一般地，设函数在点处自变量的改变量为，对应函数的改变量为，若当时

存在，则称函数在点处可导，并将极限值叫做函数在点处的导数（瞬时变化率）．记作，．即
=． （2.1）
关于函数的导数有以下结论
（1）若不存在，则称函数在点处不可导．
（2）函数在点处的导数的几何意义是曲线在点处切线的斜率．
（3）若函数 在区间 (a，b) 内的每一点处都可导，即对任意x∈(a，b)，极限
＝
都存在，则称“函数y＝f (x)在区间 (a, b) 内可导”．这时，函数对于每一点x∈(a, b)，都有一个确定的导数值与之对应，这就构成了x的一个新函数，这个新函数叫做函数的导函数，记为，或f (x) .即
＝ （2.2）
（4）函数y＝f (x)在点x0处的导数就是导函数在点x＝x0处的函数值，即
＝.
今后，在不引起混淆的情况下，导函数和导数统称为导数.
利用定义求函数y＝f (x)的导数的步骤是：.
（1）写出函数的改变量 ；
（2）计算比值；
（3）计算极限 .

教师讲授

60′
知识巩固
例1 求函数(是常数)的导数．
解 （1）求函数的改变量 ；
（2）算比值 ,
（3）取极限 .
即 ．
例2 求函数的导数．
解 （1）求函数的改变量
；
（2）算比值 ＝；
（3）取极限 .
故 .

教师讲授

在教
师引
领下
共同
完成

70′

1．用定义求函数在处的导数．
2．求抛物线在点处的切线方程．
学生课上完成
85′
小结
新知识：导数的概念；曲线上一点处的切线的方程。

90′
作业
1. 通过复习导数的概念， 加深对其内涵的理解,并尝试总结导数的思想及本质；
2. 完成高等数学习题集“作业2.1.1”。

2.1.2导数的运算法则

教学目标：
（1）记忆基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，学会用公式、运算法则求函数的导数；
（2）学会复合函数的求导法；
（3）学会隐函数的求导法。
教学重点：
求初等函数导数的方法。
教学难点：
复合函数的求导法。
授课时数： 4课时.
教学过程

过程
备注
新知识
根据导数的定义，可以得到初等函数的导数及导数的运算法则，作为公式介绍如下．
1.基本初等函数的导数公式：
(1) （是常数）； (2)；
(3)； (4)；
(5)； (6)；
(7)； (8)；
(9)； (10)；
(11)； (12)；
(13) ； (14) ；
(15) ； (16) .
2.导数的运算法则：
设和在处都可导，则
(1)； (2) (为常数)；
(3)； (4).
利用上述导数公式和法则，可以求出函数的导数．

教师讲 授

20′

知识巩固
例1 求函数的导数．
解

.
例2 求函数的导数．
解 .
例3 已知，求及.
解 ，
所以 .
例4 求函数的导数．
解
例5 已知，求.
解

，
故 =.

教师
讲授

在教
师引
领下
共同
完成

55′
练习2.1.2.1
（1），求；
（2），求
(3)，求
学生
课上
完成
70′

想一想
我们来计算函数的导数．考虑到，所以

．
如果直接应用公式计算可以得到的．
两个计算结果为什么不一样呢？
师生
共同
完成

80′
新知识
产生上面问题的原因是，函数不是正弦函数，是正弦函数与一次函数的复合函数，所以计算的导数的时候，不能直接应用正弦函数的导数公式．
计算复合函数的导数一般需要采用下面的方法（证明略）．
设在处可导， 在对应的处可导，则复合函数的导数为
， （2.3）
还可以记作 或 .

教师
讲授

95′
知识巩固
例6 求下列函数的导数
（1） ； （2） ．
解 （1）是由和复合而成，所以
；
（2）是由和复合而成，所以
．

教师
讲授

105′
链接软件
利用微软高级计算器可以方便的求出复合函数的导数．
计算例6（1）的操作为：利用操作面板在输入窗格输入，点击输入得到结果．
说明 点击功能区中的求解步骤，则显示出复合函数的计算过程．

演示

110′
练习2.1.2.2
求下列函数的导数并利用软件进行验证．
(1) ; (2) ; (3) .
学生
课上
完成
125′
问题
如果函数关系式以方程的形式给出如，写成一般函数形式需要进行开平方运算，不能写成唯一的一个解析式，如何求导数呢？

130′
新知识
以方程形式表示函数关系的函数叫做隐函数，以函数解析式表示函数关系的函数叫做显函数．有些隐函数可以非常方便的转化为显函数，如转化为；有些函数完成这种转化则是非常困难的，如．
因此，求隐函数的导数时，一般采用方程两端同时对自变量求导的方法．需要注意，当遇到含有函数的项时，必须将视为的函数，应用复合函数求导法则，这样就得到一个含有的等式，从而求得.
教师
讲授

135′
知识巩固
例7 求由方程所确定的隐函数的导数.
解 方程两边同时对求导，得
，
注意到是的函数，得 ，
整理得 .
例8 求由方程所确定的隐函数的导数.
解 方程两边同时对求导，得
，
即 ．
整理得 .
说明 可以看到，隐函数的导数中，可以含有因变量．

教师
讲授

在教
师引
领下
共同
完成
150′
链接软件
微软高级计算器不具备求隐函数导数的功能，可以采用软件matlab进行计算．计算例8的操作步骤为:
输入：
>> Dy_dx=maple('implicitdiff(exp(y)+x*y-exp(1)=0,y,x)')
按回车键，显示：
Dy_dx=-y/(exp(y)+x)
即 ．
演示

160′
练习2.1.2.3
求下列各隐函数的导数：
（1）； （2）； （3）．
学生
课上
完成
175′
小结
新知识：基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，复合函数的求导法，隐函数的求导法。

180′
作业
1.记忆基本初等函数的导数公式及导数的运算法则；梳理复合函数、隐函数的求导方法；
2.完成高等数学习题集“作业2.1.2.（1）”、“作业2.1.2.（2）”、“作业2.1.2.（3）”。

2.1.3高阶导数

教学目标：
学习高阶导数的概念及计算。
教学重点：
高阶导数的概念及计算。
教学难点：
高阶导数的计算。
授课时数： 1课时.
教学过程

过程
备注
做一做
连续计算函数的导数．
发现，第1次计算得，仍然是变量x的函数；再一次求导得，仍然是变量x的函数；…，显然，导数的计算可以一直进行下去．
在教
师引
领下
完成
6′
新知识
一般地，函数的导数仍是的函数.如果它在处仍可导，那么把函数的导数叫做函数在点处的二阶导数，记作或或，即
或或.
类似地，二阶导数的导数，叫做三阶导数，…，一般地，阶导数的导数，叫做n阶导数. 同时把叫做的一阶导数. 函数的各阶导数分别记作
，，,，…，；
或 ，，，，…，；
或 ，，，，…，.
二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数.

教师
讲授

16′
知识巩固
例9 求下列函数的二阶导数.
(1)； (2).
解 (1)，.
(2)，.
例10 设，求.
解 ，，，
故 .

教师
讲授

在教
师引
领下
完成
28′
链接软件
利用微软高级计算器可以方便的求出函数的二阶导数．
计算例9（2）利用操作面板在输入窗格输入，点击输入得到结果．

演示
34′
练习2.1.3
求下列函数的二阶导数
（1）； （2）．
学生
课上
完成
42′
小结
新知识：高阶导数

45′
作业
完成习高等数学习题集“”。

2.1.4微分

教学目标：
（1）学习函数微分的概念及计算；
（2）会利用微分计算由参数方程确定的函数的导数。
教学重点：
函数微分的概念及计算；
教学难点：
函数微分的概念
授课时数： 1课时.
教学过程

过程
备注
知识回顾
设点为函数图像上的点，则曲线在点P处切线的斜率为．

3′
新知识
如图图2－5所示，过Q点作x轴的垂线，交曲线过P点的切线于T、过P平行于x轴的直线于G．可以看到
，．
当Q点沿着曲线无限趋近于P点时， T点也无限趋近于P点，同时无限趋近于0．此时无限趋近于．
a
+Δx

图2－5
一般地，设函数在点处有可导，则叫做函数在点处的微分，记作，即
． (2.4)
此时称函数在点处可微. 可见，函数的微分与和有关.

结合
动画
演示
讲授

10′

知识巩固
例11 求函数在，时函数的增量及微分.
解 ，
.
在教
师引
领下
完成
15′
新知识
如果函数在区间I内任意点处可微，那么称函数在区间I内可微.记作
.
特别地，由函数可以得到，于是，通常将函数的微分记作
，
从而有 .
这就是说，导数是函数的微分与自变量的微分之商．故导数又称为微商.
因此，对于由参数方程所确定的函数.有
．

教师
讲授

22′
知识巩固
例12 求由参数方程所确定的函数的导数.
解 ．
例13 某一正方体金属的边长为2 m，当金属受热边长增加0.01 m时，体积的微分是多少？体积的改变量又是多少？
解 设正方体的边长为，则其体积为．体积的微分为

将代入上式，得在处的微分

在处体积的改变量为

由此可见， .

教师
讲授

30′
练习2.1.4
1.求函数在时函数的增量及微分.
2.求下列函数的微分
(1)； (2)； (3).

学生
课上
完成
42′
小结
新知识：函数微分的概念及计算，由参数方程确定的函数的导数。

45′

作业
1. 利用图2－5分析函数的增量与函数微分的区别;
2. 完成高等数学习题集“”。

2.2.1函数单调性的判断

教学目标：
（1）结合图像，分析导数的符号与函数的单调性的关系；
（2）理解驻点，不可导点的概念，掌握利用导数判断函数的单调性的方法，会求函数的单调区间。
教学重点：
函数单调性的判别与函数的单调区间的求法。
教学难点：
导数符号与函数的单调性的关系。
授课时数：2课时.
教学过程

过程
备注
观察
设函数在闭区间上连续，在开区间内可导．观察函数图像（图2－6）可以看出，曲线上至少有一点，使曲线在点处
的切线平行于弦．由于恰好是弦的斜率，而为曲线在点处的切线的斜率．故
．
图2－6
结合
动画
演示
讲授

8′
新知识
由此得到微分中值定理：
如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，那么在内至少存在一点，使成立．即
．
设函数在上连续,开区间内可导，、，且，由中值定理有
，其中．
如果对任意，都有（或），则必有（或），从而有（或），那么可以判断函数在区间内为增函数（或减函数）．
由此得到判断函数单调性的方法：
设函数在上连续，在内可导.
（1）如果在内恒有，那么函数在上单调增加；
（2）如果在内恒有，那么函数在上单调减少.
说明：
（1）如果将闭区间换成其他各种区间（包括无限区间）上述结论仍然成立．
（2）如果在区间I内的有限个点处为零，在其余各点处均为正（或负），那么，在区间I内的仍旧是增（或减）函数．

教师
讲授

20′

知识巩固
例1 判断函数在区间（1，3）内的单调性．
解 ．
因为在区间（1，3）内，．故函数在区间（1，3）内为增函数．
例2 判断函数在区间上的单调性.
解 ，
在区间内，当时，，对有．
故和都是函数的增区间．此时函数在上是增函数.
例3 求函数的单调区间
解 函数的定义域为（-∞，+∞）．
，
令，得．
以为分点，将定义域分成区间 （-∞，1）和（1，+∞）．
当时， ；
当时， ．
因此函数的减区间为（-∞，1），增区间为（1，+∞）．

教师
讲授

在教
师引
领下
完成

教师
讲授

40′
新知识
使的点叫做函数的驻点．如果驻点的两侧的导数异号，那么称为增减区间的分界点，如例3中的；如果驻点的两侧的导数同号，那么不是分界点，如例2中的．
说明：除了驻点有可能是分界点外，导数不存在的点也可能是分界点.
因此，确定函数单调区间的一般步骤是：
（1）确定定义域并求；
（2）找出可能的分界点，分界点将定义域分为若干个部分区间；
（3）依次判断函数在这些部分区间的单调性.

教师
讲授

50′
知识巩固
例4 求函数的单调区间
解 函数的定义域为 ，且
．
令，得．它们把定义域划分成三个区间:．
当时，，故区间为增区间；
当时，，故区间为减区间；
当时，，故区间为增区间．

教师
讲授

65′
练习2.2.1
求下列函数的单调区间
（1）； （2）； （3）.
学生
课上
完成
85′
小结
新知识：利用导数判定函数单调性，驻点的概念，求函数的单调区间。

90′
作业
1. 梳理节知识内容;
2. 完成高等数学习题集“”。

2.2.2函数的极值与最值

教学目标：
（1）利用函数图象，通过观察分析去认识函数极值的定义，认识函数极值与函数最值的区别；
（2）学会利用导数求可导函数极值的方法；
（3）学会闭区间上连续函数的最大值与最小值的求法，会解决简单的最大值与最小值应用问题。
教学重点：
函数极值的概念和求法，闭区间上连续函数的最大值与最小值的求法，简单的最大值与最小值应用问题的求解；
教学难点：
函数极值与函数最值的区别，最大值与最小值应用问题的求解。
授课时数： 4课时.
教学过程

过程
备注
1.函数的极值
知识回顾
二次函数，当（或）时，在处取得最小（或最大）值．

5′
新知识
函数的最大值（或最小值）是针对整个定义范围而言．下面研究在某些局部点的情况．
y=f(x)
x1
x2

图2－7
观察函数的图像（图2－7）．在点邻近取值时有；在点邻近取值时有．
一般地，设函数在区间内有定义，如果在邻近取值时有（或）成立，那么，就把叫做函数的一个极大（或极小）值，点叫做的一个极大值（或极小值）点.函数的极大值和极小值统称为函数的极值，极大值点和极小值点统称为极值点.
由此可见，极大值和极小值是局部概念.它只意味着在的邻近各点的函数值的比较，而不意味它在整个区间内最大或最小.
观察图2－7可以看到，在极值点处，函数的导数为零，即极值点为驻点．但是驻点不一定是极值点．例如，函数的导数为，由于，因此是函数的驻点，但却不是该函数的极值点.
此外，导数不存在（但连续）的点也有可能取得极值.因此函数的极值点只能在驻点和导数不存在的点中产生，称它们为可能极值点.
一般地，设函数在点的邻近连续且可导（可以不存在），当由小增大经过点时，如果
（1）由正变负，那么是极大值点；
（2）由负变正，那么是极小值点；
（3）不改变符号，那么不是极值点.
因此求函数极值的一般步骤为：
（1）求出函数的定义域；
（2）求的导数；
（3）求出的全部可能极值点；
（4）判断可能极值点是否为极值点；
（5）求出各极值点的函数值.

教师
讲授

30′
知识巩固
例5 求函数的极值.
解 函数的定义域为.
.
令，解得，.
列表观察（表2-1）：
表2-1

0

0

↗
极大值2
↘
无极值
↘
因此，函数的极大值为.
例6 求函数的极值.
解 函数的定义域为.
； 当时，不存在.
列表（表2-2）：
表2-2

(-∞，2)
2
(2，+∞)
(x)
+
不存在
－
f (x)
↗
极大值1
↘
由表2-2知，为函数的极值点，函数的极大值（图2-8）.

图2－8

教师
讲授

在教
师引
领下
共同
完成

50′

新知识
设是函数的驻点，并且函数在点处有二阶导数.还可以利用二阶导数来判定点是否为函数的极值点.方法如下：
（1）若，则函数在点处取得极大值；
（2）若，则函数在点处取得极小值；
（3）若，则不能判断在点是否取得极值.

教师
讲授
60′
练习2.2.2（1）
1.求下列函数的极值点和极值：
(1)； (2)；
学生
课上
完成
90′
2．最大值与最小值问题
在工农业生产、工程技术及科学技术分析中，往往会遇到在一定条件下，求“产量最大”，“用料最省”，“成本最低”，“效率最高”等实际问题，这类问题一般可归结为求函数的最大值或最小值问题，统称为最值问题.
下面就函数的不同情况，分别研究函数的最值的求法.
新知识
（1）闭区间上的连续函数
由连续函数的性质知，如果在闭区间上连续，那么一定存在最大值和最小值.因此，只要求出函数的所有极值点和端点的函数值，进行比较即可得到函数在该区间上的最值。

教师
讲授

97′
知识巩固
例7 求函数在上的最大值和最小值.
解 ，
令，解得 ，，.
于是 ，，，
所以，在上的最大值为，最小值为.
在教
师引
领下
共同
完成

110′
新知识
（2）一般区间上的连续函数
如果在一个区间（有限或无限，开或闭）内可导并且只有一个驻点，那么，当是极大值时，就是在该区间上的最大值；当是极小值时，就是在该区间上的最小值.

教师
讲授

115′
知识巩固
例8 求函数的最大值.
解 函数的定义域为.
.
令，得驻点．
当时，；当时，，
故是函数的极大值点，极大值为１. 图2－9
因为函数在内只有唯一的一个极值点，所以函数的极大值就是函数的最大值，即函数的最大值点是，最大值为1（图2-9）.
在教
师引
领下
共同
完成

125′
新知识
（3）实际问题中的最值
实际问题中，往往根据问题的实际意义就可以断定函数确有最大值或最小值，而且一定在定义区间内部取得，这时如果函数在定义区间内部只有一个驻点，那么，不用讨论就可断定是所求的最大值或最小值.

教师
讲授

130′
知识巩固
图2－10
例9 欲用长6m的铝合金料加工一个日字形窗框（图2－10），问它的长和宽分别为多少时，才能使窗户面积最大，最大面积是多少？
解 设窗框的宽为m，则长为m.窗户的面积为
，
.
令，求得驻点，当时，(m).
由于函数在定义区间内只有唯一的驻点，而由实际问题知道面积的最大值存在，因此驻点就是最大值点，即窗户的宽为1m，长为m时，窗户的面积最大.最大的面积为
（）.
例10 要铺设一条石油管道将石油从炼油厂输送到石油灌装点，图2-11所示，炼油厂附近有一条宽2.5km的河，灌装点在炼油厂的对岸沿河下游10km处，如果在水中铺设管道的费用为6万元／公里，在河边铺设管道的费用为4万元／公里，试在河边找一点P使管道铺设费最低．
图2－11
P
解 设P点距炼油厂的距离为,管道铺设费用为由题意有

令，得驻点，舍去大于10的驻点，由于管道最低铺设费用一定存在，且在（0,10）内取得，所以最小值点为，最低管道铺设费为万元．

教师
讲授

160′
练习2.2.2（2）
欲做一个底为正方形，容积为的开口容器怎样做法用料最省．
在教
师引
领下
共同
完成
175′
小结
新知识：函数的极值，最值，最值应用问题的求解。

180′
作业
1. 梳理本节知识内容;
2. 完成高等数学习题集“作业”。

课题
2.2.4 边际分析与弹性分析
教学
目标
知识目标
知道边际与弹性的概念及其经济意义；会对简单的经济问题进行边际分析与弹性分析。
能力目标
（1）通过学学习，体会用数学知识解决经济问题重要性，将数学作为分析工具，使经济学走向了定量化、精密化和准确化。（2）能运用所学的数学知识对其经济问题进行定量分析。
教学重点
边际与弹性的概念及其经济含义
教学
难点
弹性的概念及计算
教法
学法
探究式问题教学法、小组学习法 、讲练结合法，2课时。
教学反思
弹性的概念及其经济含义是什么？如何依据商品的需求价格弹性制定合适的价格策略，为企业带来更多效益？

教学过程
设计意图
知识回顾
1. 复习几个常见经济函数
2.导数反映了一个变量相对于另一个变量变化的快慢程度—变化率问题。
问题
问题1：导数与经济学究竟有什么关系呢？如何利用导数研究经济变量变化率？
问题2：某企业生产某种产品，当产量为10个单位时，若再增加一个单位产品，总成本将增加几个单位呢?
新知识
在经济学中，习惯用“平均”和“边际”的概念描述一个经济变量对于另外一个经济变量x的变化.平均概念表示在自变量的某一个范围内的平均值，即函数在内的平均变化率.边际概念表示当的改变量趋于0时，函数在的某个值的“边缘上”的变化率，即——导数.因此，边际函数就是导数.于是有
若函数可导，则导函数也称为函数的边际函数.称为在点处的变化率，也称为在点处的边际函数值，它表示在点处的变化速度.　
在点处，从改变一个单位时，的改变量准确值为，当改变的“单位”很小时，则的近似值为　

这说明在点处，当产生一个单位的改变时，函数近似改变单位，在经济学中，解释边际函数值的具体意义时通常略去“近似”二字.　
问题3：经济学中有哪些常见的边际函数呢？
设总成本是产量的可导函数，则称总成本对产量的导数为边际成本；设总收益是的可导函数，则称总收益对产量的导数为边际收益；设总利润是的可导函数，则称总利润对产量的导数为边际利润；设需求是的可导函数，则称对价格的导数为边际需求.
知识巩固
【例1】 已知某商品的成本函数为
（Q表示产量）
求Q=10时的边际成本并解释其经济意义.
解 由得边际成本函数为：

则当产量Q=10时的边际成本为5，其经济意义为：当产量为10时，若再增加（减少）一个单位产品，总成本将增加（减少）5个单位.
【例2】 设某产品的需求函数为，其中P为价格，为需求量，求边际收益函数以及=20、50和70时的边际收益，并解释所得结果的经济意义.
解 由题设有，于是，总收益函数为：

于是边际收益函数为：

由所得结果可知，当销售量（即需求量）为20个单位时，再增加销售可使总收益增加，多销售一个单位产品，总收益约增加12个单位；当销售量为50个单位时，总收益的变化率为零，这时总收益达到最大值，增加一个单位的销售量，总收益基本不变；当销售量为70个单位时，再多销售一个单位产品，反而使总收益约减少8个单位.
新知识
问题4：经济活动中，一个重要的问题是商品价格变化对收益的影响.如果某商品为适应市场需要欲适当降低价格，会不会降低其收益呢？
一般情况下，需求量是随价格的上涨而减少的，即需求函数是价格的递减函数.如果厂商降低价格，则单份收益减少，但是销售量上升，从并不能明确地判断对的净影响.这里的关键因素不是和变化的绝对量而是变化的比例或百分数.直观地，我们期望增加的百分比大于下降的百分比，从而厂商的收益增加.如果需求对价格的变化相对敏感，我们说需求是富有弹性的，相似地，如果需求对价格的变化相对不敏感，我们说需求是缺乏弹性的，此时，销售量变化的百分比小于价格变化的百分比.厂商可以通过提高价格来增加收益，尽管结果是需求下降，但价格上升可以弥补销售量的减少从而增加收益.当然，也可能价格变化和销售量变化的百分比相等，从而使得收益不变，我们用单位弹性来描述这种情况.
当价格由下降到导致需求量由增加到，我们通过定义需求价格弹性来量化需求对价格变化的反映.

我们注意到，需求函数一般为价格的递减函数，价格正的变化导致需求量负的变化，反之亦然，故需求价格弹性取负值.因此，经济学中常规定

然而，这表示在到两点间的弹性，而不是表示计算在一个点的精确弹性值.我们考虑将趋于0，从而比值趋于，即，于是在一点处的需求价格弹性为
或
需求函数在价格为时的需求价格弹性反映随价格的变化，需求量变化幅度的大小，即需求量对价格变化反映的强烈程度或灵敏度.数值上，表示当价格为时，价格上涨（下降），需求量减少（增加）.
知识巩固
【例3】 设某商品需求函数为

(1)求需求弹性函数；
(2)求，，时的需求弹性.
解 (1)
(2) ，表明当时，价格上涨，需求量减少0.4；
，表明当时，价格上涨，需求量减少1；
，表明当时，价格上涨 ，需求量减少2.
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问题5：当商品的价格为时，价格变化，总收益变化多少呢？
下面，我们用需求价格弹性分析总收益的变化.
由于总收益，于是

于是，我们得到了需求弹性和边际收益的关系，并且验证了前面关于收益与弹性的直观认识.由上式我们可以看到：
如果，则需求变动的幅度小于价格变动的幅度，此时，递增.即价格上涨，总收益增加；价格下降，总收益减少.
如果，则需求变动的幅度大于价格变动的幅度，此时，递减.即价格上涨，总收益减少；价格下降，总收益增加.
如果，则需求变动的幅度等于价格变动的幅度，即不论价格上涨还是下降，总收益保持不变.
类似地，我们可以定义总收益的价格弹性为.由于，故

总收益的价格弹性表明当价格为时，价格变化，总收益变化.
知识巩固
【例4】 设某商品需求函数为

(1)求需求弹性函数；
(2)求时的需求弹性；
(3) 当时，若价格上涨，总收益增加还是减少？将变化百分之几？
解 (1)
(2)
(3) ，故价格上涨，总收益增加.
总收益的价格弹性.
故当时，若价格上涨，总收益增加约0.67%.
练习
1.设某商品的需求函数为，求需求量时的总收益、平均收益、边际收益.
2. 设某商品的成本函数为

求(1)边际成本函数；(2)Q=30单位时的边际成本并解释其经济意义.
3. 设某商品的需求函数为

(1)求需求弹性函数；
(2)求时的需求弹性；
(3) 当时，若价格上涨，总收益增加还是减少？将变化百分之几？
小结
1.边际的概念及其经济意义；经济学中常见的边际量有：边际成本、边际收益、边际利润、边际需求等。
2. 需求价格弹性及其经济意义。
3. 总收益的价格弹性。
作业：
书面作业
高等数学习题集“作业2.2.4（1）”中的1、2，“作业2.2.4（2）”中的1、2
拓展作业
以小组为单位，对经济活动中的实际问题进行边际分析、需求弹性分析。

复习已学知识，为后面的学习做准备。

创设情境，提高学生的学习兴趣。

通过问题驱动,激发学生的求知欲,引导学生进行积极思考。

引导学生进行知识迁移,建立新旧知识间的联系，给出边际函数的概念。

通过分析，阐明边际函数的意义。

给出经济学中常见的边际函数。

通过讲解例题，加深对边际概念的理解。

通过边际分析法，帮助学生初步认识边际效用递减规律，培养学生利用数学知识对其经济问题进行定量分析的思维。

通过问题驱动,激发学生的求知欲,引导学生进行积极思考。

带着问题讲解分析，引出经济函数的相对变化率——弹性。

让学生理解弹性作为一个数学概念是指相对变化率, 即相互依存的一个变量对另一个变量变化的反应程度。弹性是一种不依赖于任何单位的计量法, 即是无量纲的。

通过仔细讲解例题，让学生掌握弹性的计算及其经济含义。

通过分析，阐述需求弹性和边际收益的关系，从而完成从感性认识到理性思维的质的飞跃。

引导学生进行知识迁移，给出总收益的价格弹性计算方法。

通过仔细讲解例题，进一步让学生掌握弹性的计算及其经济含义，并懂得计算总收益的价格弹性。

（1）通过课堂练习加强学生对边际分析与弹性分析的理解和应用
（2）通过课堂练习学生开展自评互评，既巩固了知识又增进了相互间的合作交流。

归纳总结，有利于帮助学生理清条理，抓住要点，巩固新知识，并训练学生的概括能力。

按不同层次学生的需求布置作业，挖掘和发展学生的数学能力。