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拓展思维空间 培养创新能力
江苏苏州木渎实验中学 黄熲 215101
创新是一个民族的希望之所在，没有创新精神的民族是没有希望的民族.而民族的创新精神的培养依赖于教育.教育在树立全民族的创新意识和培养创造性人才方面，肩负着特殊的历史使命.因此，创新教育势在必行.
数学教育改革的中心是发挥学生的主体作用.改过去教师当导演，学生做演员的教学模式,而发挥学生的主体作用最根本的就在于激发学生强烈的求知欲，这就要求教师精心编排教学内容，组织教学过程，在传授基本知识和基本技能的过程中，充分结合知识的形成过程，引导学生运用分析、综合、归纳、类比、抽象、概括等思维方法探索问题.这不仅使学生掌握了知识，而且让学生得到思维能力的锻炼.如何拓展学生思维空间，培养学生创造能力呢？下面谈几点体会.
一、一题多解，训练思维的多向性
苏霍姆林斯基说：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是一个发现者、探索者.”所以教师要善于挖掘问题的多样性和解决问题的多样性，激发学生对同一问题积极寻求多种不同思路，让学生从求异思维中进一步认识事物.这样不仅激发了学生的学习兴趣，还运用了数学思想和数学方法，提高了解题技巧和思维发散能力.
例1 求证：n边形内角和为.
提示：多边形问题关键是把它转化为三角形问题来研究，鼓励学生广开思路，寻求不同方法.
解法（1）：点O在多边形内，如图1，n边形的内角和为.
解法（2）：点O在多边形的一个顶点上，如图2，n边形的内角和为.
解法（3）：点O在多边形的一边上，如图3，n边形内角和为.
解法（4）：点O在多边形外，如图4，n边形的内角和为.

二、一题多变，训练思维的变通性
学生的创新意识、创新能力不是一朝一夕所能形成的，而是靠平时长期有意识培养而形成的.平时的教学中，教师要善于创设多种问题的情景，将一些典型的问题进行剖析、挖掘、联想、引申，通过变换问题的条件和结论，使一个问题引申出一系列新问题，让学生去分析、去解决，多方向地激发学生去积极思考，充分发挥学生主体作用，使学生得到足够的创造空间.
例2 如图5，梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，且AE⊥BE，垂足是E，求证：AB=AD+BC.
析证：过E作EF∥BC交AB于F，由于E为CD中点，易得EF=(AD+BC)，而EF=AB，所以AB=AD+BC.
变题1：如图6，梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，且AB=AD+BC，求证：AE⊥BE.
析证：过E作EF∥BC，由于E为CD中点，易得EF=(AD+BC)，而AB=AD+BC，进而得EF=AB，所以△ABE是直角三角形，即AE⊥BE.
变题2：如图7梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BE，AE平分∠BAD，求证：AB=AD+BC.
析证：延长BE交AD延长线于F，由条件易证△ABE≌△AFE，即得AB=AF，E为BF中点，进而得BC=DF，即AB=AD+BC.
变题3：如图8，梯形ABCD中，AD∥BC，AE、BE分别是∠BAD、∠ABC的平分线，求证：AB=AD+BC.
析证：延长BE交AD延长线于F，由条件得△ABE≌△AFE，从而得AE⊥BF，其余同变题2.

三、合理想象，训练思维的创造性
爱因斯坦曾经说过：“想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界上的一起，推动着进步，并且是知识进化的源泉.”发展想象力，是培养学生创新意识的重要保证，一切创新活动都是从创造性想象开始的，即人们在原有的知识的基础上对记忆事物的想象，经过重新组织而创造出新的形象、新的概念和新的方法.青少年时期是想象力最活跃的时期，因此，教师要千方百计创设情境，精心组织材料，为学生展开想象翅膀拓展空间，从中激励他们创新精神.
例3 已知△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是、、，且∠B=2∠C，求证：.
联想1：如图9，由，联想到，猜想到可把、、、变成以为公共边的两个相似三角形的对应边，从而通过“相似三角形的对应边成比例”这一性质得证.
联想2：如图10由，联想到，猜想到b、、、、是在圆内相交的两弦分成的四线段，可通过“相交弦定理”得证.
联想3：如图11，由，联想到是从点D引出的圆的切线长，为从同一点引出的圆的割线（圆外部分为），可通过“切割线定理”得证.

四、数形结合，训练思维的形象性
数学研究的对象是数和形，数和形既是对立又是统一的，并且在一定条件下，可以转化.在教学过程中，要注意化数为形，化形为数，数形结合，交错使用，不仅能使知识融会贯通，还有利于克服思维定势，提高应变能力和创新素质.
例4 如图12，圆中三弦两两相交，已知：PA=QE=RD，PC=QB=RF，求证：△PQR为正三角形.

析证：设PQ,PR, RQ，只须证明，如设PA=，PC=，由相交弦定理得方程组

即 代入原方程组得，.
故△PQR为正三角形.
五、变通角度，训练思维的逆向性
逆向思维就是有意识地从常规思维的反方向去思考问题的思维方式.这种思维方式具有很大的创造性，往往会发现解决问题的新方法、新思路.教学中，我们可以有意识设置障碍，引导学生会在思维遇到障碍时，迅速转向，从相反的方向、角度、侧面去思考问题，从而找出解决问题的方法.这样有利于防止思维僵化，拓宽思路.
例5 若三个方程

至少有一个方程有实数解，求m的取值范围.
分析：本题从正面入手应分类求解，有七种情况，若换一个角度，从反面“三个方程均无实数解”思维，由，得，故m的取值范围或，起到了出奇制胜的效果.
综上所述，学生在学习过程中，教师有意识加强各种形式的思维训练，拓展学生的思维空间，锻炼思维品质，鼓励学生勇于提出新的问题，运用数学思想和方法解决问题，只有这样才能培养出有创新能力的学生.