数值分析复习题要答案.doc

第一章
1、ln2＝0.69314718…，精确到 10－3 的近似值是多少？
解 精确到 10－3＝0.001，即绝对误差限是 e＝0.05％，故至少要保留小数点后三位才可以。
ln2≈0.693。
2、设均具有5位有效数字，试估计由这些数据计算，的绝对误差限
解：记 则有
所以

3、一个园柱体的工件,直径d为10.25±0.25mm,高h为40.00±1.00mm,则它的体积V的近似值、误差和相对误差为多少。
解：
第二章：
1、分别利用下面四个点的Lagrange插值多项式和Newton插值多项式N3(x)，计算L3(0.5)及N3(-0.5)
x
－2
－1
0
1
f(x)
－1
1
0
2
解：(1)先求Lagrange插值多项式
（1分）
， （2分）
（2分）
（2分）
（2分）
（1分）
所以 （1分）
(2)再求Newton插值多项式
列均差表如下：

所以 （2分）
（1分）

2、求过下面四个点的Lagrange插值多项式L3(x)和Newton插值多项式N3(x)。
x
－2
－1
0
1
f(x)
－2
1
1
－1
）解：（1）L3(x)=lo(x)yo+l1(x)y1+l2(x)y2+l3(x)y3 （1分）

得出 （2分） （2分）
（2分）（2分）
∴
（1分）
（2）（1分）
（2分） （2分）
（2分）， （2分）
∴（1分）
第三章
1、令，且设，求使得为在[-1，1]上的最佳平方逼近多项式。

2．已知数据对(7，3.1)，(8，4.9)，(9，5.3)，(10，5.8)，(11，6.1)， (12，6.4)，(13，5.9)。试用二次多项式拟合这组数据。
解：y＝－0.145x2＋3.324x－12.794

第四章：
1．数据如下表
x
1.00
1.01
1.02
1.03
1.04
f (x)
3.10
3.12
3.14
3.18
3.24
用中心差分公式，分别取h = 0.01、0.02计算．
解：中心差分公式为 （2分）
1）取h=0.01时， （4分）
2）取h=0.02时， （4分）

2．（10分）根据如下函数表
X
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
f(x)
1.543
1.668
1.811
1.971
2.151
2.332
2.577
用中心差分公式，分别取h=0.3，0.1计算
解：中心差分公式 （2分）
取h=0.3时， （4分）
取h=0.1时， （4分）

3．分别用复合梯形公式T6和复合辛普森公式S3计算定积分的值．
解：（2分）

（3分）

（3分）
f(0)=1，f(0.1)=0.9090，f(0.2)=.08333，f(0.3)=0.7692，f(0.4)=0.7142，
f(0.5)=0.6667，f(0.6)=0.625 （7分）
4、利用复合Simpson公式S4计算积分（取小数点后4位）。
解： （2分）
，，，，
，，，，
（9分）

（4分）

第五章：
1、利用列主元消去法求解线性方程组

（计算过程保留到小数点后四位）.
解：（1分）（2分）
（2分）（2分）
回代解得 ，， （1分）

2、用矩阵的LU分解法解方程组

解：设 （1分）
（4分）LUX=b
其中设UX=y，则Ly=b （2分）
∴y=(2,－1,1)T UX=y (2分)
∴x=(0,－2,1)T （1分）
5. 用追赶法解三对角方程组Ax=b，其中

解：用解对三角方程组的追赶法公式计算得

6. 用平方根法解方程组

解：用分解直接算得

由及求得

第六章：
1、用Gauss-Seidel迭代法求解方程组，取初值，写出Gauss-Seidel迭代格式，求出，，计算，并根据原方程组的系数矩阵说明该迭代格式是否收敛．

2、对方程组

（1）写出其Jacobi迭代格式，并据迭代矩阵的范数，说明该迭代格式收敛。
（2）写出题中方程组的Seidel迭代格式，取，迭代求出，，。
（1）解：其Jacobi迭代格式为：
（5分） （6分）
＜1 （2分）
∴收敛 （1分）
（2）解：其Seidle迭代格式为：
（5分）
T
T （2分）
T （2分）
T （1分）

3．对方程组

（1）写出其Jacobi迭代格式，并根据迭代矩阵的范数，说明该迭代格式收敛。
（2）写出Seidel迭代格式，取，迭代求出；计算。
解：(1)其Jacobi迭代格式为 （5分）
迭代矩阵为 （2分）
＜1 （2分） 所以Jacobi迭代格式收敛 （1分）
(2)其Seidel迭代格式为： （5分）
将代入得 （3分）
所以 （2分）

5. 用SOR方法解方程组(取ω=1.03)

精确解，要求当时迭代终止.
解：用SOR方法解此方程组的迭代公式为

取，当时，迭代5次达到要求

第七章
1．利用牛顿迭代法求方程的近似根，取初值进行计算，使误差不超过10－3．
解：牛顿迭代格式为： （1分）；
利用牛顿迭代法求解，将代入，得
（1分）， （1分）
（1分），（1分）
所以取 （2分）

2、求方程在[1.5，2]内的近似解：取x0=2，用Newton迭代法迭代三次，求出x≈x3。
解：牛顿迭代法公式 （1分）
， （1分）
Newton迭代公式：
∴ （3分）
x0=2代入x1=1.870967742（1分）x2=1.855780702（1分）x3=1.855584561（1分）
x≈x3=1.85558（2分）

第九章:
1、应用Euler方法计算积分在点x = 0.5, 1, 1.5, 2时的近似值.

2、用改进的Euler公式，求初值问题

在x1=0.1，x2=0.2，x3=0.3三点处的数值解（即当x0=0，y0=1，h=0.1时，求出y1，y2，y3）
解：改进的欧拉公式： （2分）
初值x0=0，y0=1 （2分）
x0=0， y0=1，yp=1.1 （3分）
x1=0.1，y1=1.1+0.05[1+1.2]=1+0.11=1.11 yp=1.231 （3分）
x2=0.2，y2=1.24205 yp=1.38625 （3分）
x3=0.3，y3=1.39846525 （2分）
3、用改进的Euler公式，求初值问题在x1=0.2，x2=0.4，x3=0.6三点处的数值解（即当x0=0，y0=0，h=0.2时，求出y1，y2，y3）。
解：改进的欧拉公式： （3分）
将代入得 （2分）
当x0=0，y0=0时， yp=0.2 （2分）
x1=0.2，y1=0.26，（2分） yp=0.604 （1分）
x2=0.4，y2=0.5928，（2分） yp=1.10991 （1分）
x3=0.6，y3=1.23344 （2分）

4、用欧拉方法求解常微分方程初值问题，取h=0.2，计算精确到4位小数．

xk
yk
0
0
0.2
0.2000
0.4
0.3763
0.6
0.4921
0.8
0.5423
1.0
0.5466

5、微分方程初值问题，用改进的欧拉方法求的近似值，（即h=0.2，计算二步）,并与准确解: 比较．计算精确到4位小数．

xk
yk
Y(xk)
0
１
1.0000
0.2
0.8360
0.8333
0.4
0.7176
0.7143

6、已知初值问题：，取步长h =0.1，
（1）用（显式的）Euler方法求解上述初值问题的数值解；
（2）用改进的Euler方法求上述初值问题的数值解。 （14分）
解：1 .建立具体的Euler公式:
3分
已知，则有：

5分

7分
2.建立具体的改进的Euler公式:
10分
已知则有：

12分

14分