传递过程原理作业题解(1-7章).doc

第二章
1. 对于在平面内的不可压缩流体的流动，r方向的速度分量为。试确定速度的分量。
解：柱坐标系的连续性方程为

对于不可压缩流体在平面的二维流动，常数，，故有

即
将上式积分，可得

式中，为积分常数，在已知条件下，任意一个都能满足连续性方程。令，可得到的最简单的表达式：

2．对于下述各种运动情况，试采用适当坐标系的一般化连续性方程描述，并结合下述具体条件将一般化连续性方程加以简化，指出简化过程的依据。
（1）在矩形截面管道内，可压缩流体作稳态一维流动；
（2）在平板壁面上不可压缩流体作稳态二维流动；
（3）在平板壁面上可压缩流体作稳态二维流动；
（4）不可压缩流体在圆管中作轴对称的轴向稳态流动；
（5）不可压缩流体作球心对称的径向稳态流动。
解：
（1） 在矩形截面管道内，可压缩流体作稳态一维流动

稳态： ，一维流动：，
∴ ， 即
（2）在平板壁面上不可压缩流体作稳态二维流动

稳态：，二维流动：
∴ ， 又，从而
（3）在平板壁面上可压缩流体作稳态二维流动
在此情况下，（2）中
∴
（4）不可压缩流体在圆管中作轴对称的轴向稳态流动

稳态：，轴向流动：，轴对称：
∴ ， （不可压缩）
（5）不可压缩流体作球心对称的径向稳态流动

稳态，沿球心对称，，不可压缩const
∴ ，即
3．某粘性流体的速度场为

已知流体的动力粘度，在点（2，4，－6）处的法向应力，试求该点处的压力和其它法向应力和剪应力。
解： 由题设 ，，

，，
因
故
在点（2，4，－6）处，有

所以

4. 某不可压缩流体在一无限长的正方形截面的水平管道中作稳态层流流动，此正方形截面的边界分别为和，有人推荐使用下式描述管道中的速度分布

试问上述速度分布是否正确，即能否满足相关的微分方程和边界条件。
解： 在壁面处，即和时，，故满足壁面不滑脱条件；在管道中心，时，可得
（1）
将所给速度分布式代入不可压缩流体连续性方程（2-20），因可得

将不可压缩流体的运动方程（2-45c）化简，可得
（2）
将所给速度分布式分别对x和y求偏导数，得

（3）
（4）
将式（3）和（4）代入式（2）可知，仅当时才满足运动方程。因此所给速度分布式不能完全满足运动方程。
5．某一流场的速度向量可以下式表述

试写出该流场随体加速度向量的表达式。
解：

第三章
1. 如本题附图所示，两平行的水平平板间有两层互不相溶的不可压缩流体，这两层流体的密度、动力粘度和厚度分别为、、和为、、，设两板静止，流体在常压力梯度作用下发生层流运动，试求流体的速度分布。
解：将直角坐标下的连续性方程和运动方程化简，可得

积分得
因此，两层流体的速度分布可分别表示为
（1）
（2）
由下列边界条件确定积分常数：
（1）
（2）
（3）
（4）
将以上4个边界条件代入式（1）与（2），得
；
；
；

解得

最后得速度分布方程为

2. 粘性流体沿垂直圆柱体的外表面以稳态的层流液膜向下流动，如本题附图所示。试求该流动的速度分布。该液体的密度和粘度分别为和。
解： 由题给条件，有，，
由柱坐标系连续性方程

简化得
由柱坐标系N-S方程

简化得
由于 ，（轴对称），故，即

积分得 （1）
边界条件为 （1）
（2）
将边界条件代入式（1），得

故速度分布为

3. 半径为r0的无限长圆柱体以恒定角速度在无限流体中绕自身轴作旋转运动。设流体不可压缩，试从一般柱坐标系的运动方程出发，导出本流动问题的运动方程，并求速度分布与压力分布的表达式。
解：柱坐标系的运动方程为
r方向:
（2-47a）
方向：
（2-47b）
z方向：
（2-47c）
由于该流动具有稳态、对称及一维特性，故有
，
利用上述特点，运动方程（2-47）简化为

由于流动为一维，上式可写成常微分方程
（1）
（2）
式（2）的通解为

利用边界条件

可得
因此
如果令
则
压力分布为

由 可得
因此
4. 试求与速度势相对应的流函数，并求流场中点（－2，5）的压力梯度（忽略质量力）。
解：（1）流函数

∴
（2）流场中点（－2，5）的压力梯度
忽略质量力，平面稳态流动的Euler 方程为

写成向量形式为

∴ 点（－2，5）的压力梯度为

5. 粘性流体在两块无限大平板之间作稳态层流流动，上板移动速度为U1，下板移动速度为U2，设两板距离为2h，试求流体速度分布式。提示：在建立坐标系时，将坐标原点取在两平行板的中心。
解：流体作稳态流动，速度与时间无关。建立坐标系时，将坐标原点取在两平行板的中心，并设两板距离为2h。运动方程可化简为
x方向 （1）
y方向 （2）
将式（2）对y积分得
（3）
将式（3）对x求偏导数，得

由上式可知，p对x的偏导数与y无关。
x方向的运动方程（1）可改为
（4）
容易看出，上式右边仅与x有关，左边仅与y有关。因此上式两边应等于同一个常数，即

积分上式得
（5）
边界条件为
（1）
（2）
将边界条件代入式（5）得
，
于是速度分布式为

第四章
1. 某粘性流体以速度稳态流过平板壁面形成层流边界层，在边界层内流体的剪应力不随方向变化。
（1）试从适当边界条件出发，确定边界层内速度分布的表达式；
（2）试从卡门边界层积分动量方程

出发，确定的表达式。
解：（1）由于边界层内不随y变化，为常数，速度分布为直线。设。边界条件为
（1）；
（2）
由此可得边界层内速度分布为

（2）将边界层积分动量方程写成

则

故有
即
边界条件为 ，积分上式得

2. 不可压缩流体稳态流过平板壁面形成层流边界层，在边界层内速度分布为

式中，为边界层厚度，。试求边界层内y方向速度分布的表达式。
解：

二维稳态层流的连续性方程为
（1）
（2）
将式（2）代入式（1）积分，得

3. 20℃的水以的流速流过一长为3m、宽为1m的平板壁面。试求（1）距平板前缘0.1m位置处沿法向距壁面2mm点的流速、；（2）局部曳力系数及平均曳力系数；（3）流体对平板壁面施加的总曳力。设。
已知水的动力粘度为，密度为。
解：距平板前缘处的雷诺数为：

流动在层流边界层范围之内。
（1）求方向上距壁面2mm处的
已知 ，,由式（4-15）得

查表4-1，当时
=0.6457, =0.625, =0.260
由式（4-25）得

由式（4-26）得

（2）局部曳力系数及平均曳力系数

（3）流体对平板壁面施加的总曳力

4. 某粘性流体以速度稳态流过平板壁面时形成层流边界层，已知在边界层内流体的速度分布可用下式描述

（1）采用适当边界条件，确定上式中的待定系数和，并求速度分布的表达式；
（2）试用边界层积分动量方程推导边界层厚度和平板阻力系数的计算式。

解： （1） 选择如下边界条件
（1）；
（2）；
（3）
代入得

求解得 ；；
故
（2）
先将速度分布代入，求积分号内的项

代入得

移项得
5. 已知不可压缩流体在一很长的平板壁面上形成的层流边界层中，壁面上的速度梯度为。设流动为稳态，试从普兰德边界层方程出发，证明壁面附近的速度分布可用下式表示

式中，为沿板长方向的压力梯度，y为由壁面算起的距离坐标。
证：对于二维平板边界层，普兰德边界层方程为
（1）
由于板很长，可以认为

由连续性方程

得
在平板壁面上，，因此由上式可知，在边界层内。由此可将式（1）简化为

上式左端是y的函数，右端是x的函数，二者要相等，必须使得
＝常数
上式积分求解，得

由题意，当时，，故

又当时，由壁面不滑脱条件，，故

因此，速度分布为

证毕。
6. 不可压缩流体以的速度流入宽为b、高为2 h的矩形通道（），从进口开始形成速度边界层。已知边界层的厚度可近似按 估算，式中x为沿流动方向的距离。试根据上述条件，导出计算流动进口段长度Le的表达式。
解：当（矩形高度的一半）时，边界层在通道的中心汇合，此时的流动距离即为流动进口段长度，故

解得

或
式中
第五章
1. 20℃的水在内径为2m的直管内作湍流流动。测得其速度分布为，在离管内壁1/3 m处的剪应力为103Pa，试求该处的涡流运动粘度及混合长。
已知20℃水的密度为998.2 kg/m3，动力粘度为1.005×10-3。
解：（1）涡流运动粘度
（1）
（2）
式（2）代入式（1）并整理得

已知。可见，离管内壁1/3处的粘性扩散系数与涡流扩散系数相比，可以忽略不计。
（2）混合长
忽略粘性应力，则

其值约为管半径的13.4％。
2. 温度为20℃的水流过内径为50mm的圆管。测得每米管长流体的压降为1500N/m2，试证明此情况下流体的流动为湍流，并求
（1）层流底层外缘处水的流速、该处的y向距离及涡流粘度；
（2）过渡区与湍流主体交界处流体的流速、该处的y向距离及涡流粘度。
解：由物性表查得 20℃水的物性：＝998.2kg/m3，

，故为湍流。
（1）层流内层外缘处
∵
∴

（层流内层只有粘性力）
（2）过渡区与湍流主体交界处

＝13.956

＝18.58N/m2
∵
∴
将写成

或

3. 试应用习题7中的己知数据，求处流体的流速、涡流粘度和混合长的值。
解：
为湍流主体区

同上题方法推导 ，故

4. 利用流体阻力实验可估测某种流体的粘度，其方法是根据实验测得稳态湍流下的平均速度及管长为L时的压降而求得。试导出以管内径d、流体密度、平均流速ub和单位管长压降表示的流体粘度的计算式。
解： 设流体在管内湍流且流动充分发展，则

而

移项并整理得

5. 假定平板湍流边界层内的速度分布可用两层模型描述，即在层流底层中，速度为线性分布；在湍流核心，速度按1/7规律分布，试求层流底层厚度的表达式。
解： 层流底层很薄，故有
（1）
平板湍流壁面剪应力又可由式（5-56）表示，即
（2）
以上两式联立得到
（3）
令层流底层厚度为，其外缘与湍流核心接壤处的速度为，则上式可写成
（4）
或写为
（5）
另一方面，湍流核心的速度可用1/7次方定律描述，即

在两层交界处，有

或写成
（6）
式（5）与式（6）联立得

将 代入上式，可得
（7）
将式（7）代入式（6）中，得

再将 代入上式，可得

6. 20℃的水在内径为2m的直管内作湍流流动。测得其速度分布为，在离管内壁1/3 m处的剪应力为103Pa，试求该处的涡流运动粘度及混合长。
已知20℃水的密度为998.2 kg/m3，动力粘度为1.005×10-3。
解：（1）涡流运动粘度
（1）
（2）
式（2）代入式（1）并整理得

已知。可见，离管内壁1/3处的粘性扩散系数与涡流扩散系数相比，可以忽略不计。
（2）混合长
忽略粘性应力，则

其值约为管半径的13.4％。
7. 试从光滑圆管中湍流核心的对数速度分布式(5-43)和剪应力与的关系式出发，推导涡流粘度的表达式，并讨论涡流粘度或参数与雷诺数和位置的关系。
解：在湍流核心，可忽略粘性力的影响，则

移项得
（1）
湍流核心的速度分布为
，
（2）
将式（2）代入式（1），并将代入，得
（3）
或写成

第七章
1. 在一无内热源的固体热圆筒壁中进行径向稳态导热。当时，℃，时，℃，其导热系数为温度的线性函数，即

式中为基准温度下的导热系数，其值为，为温度系数，其值为，试推导出导热速率的表达式并求单位长度的导热速率。
解：导热速率的表达式为
（1）
对于本问题，，，其中为圆筒壁的长度。稳态热传导情况下，，将上述情况代入式（1），并分离变量，可得
（2）
边界条件为
①，
②，
积分得

将边界条件①代入式(2)，可得
K
于是导热速率方程为
（3）
将边界条件②代入式(3)，可得单位长度的导热速率为

2. 有一具有均匀发热速率的球形固体，其半径为R 。球体沿径向向外对称导热。球表面的散热速率等于球内部的发热速率，球表面上维持恒定温度不变。试从一般化球坐标系热传导方程出发，导出球心处的温度表达式。
解：球坐标系的热传导方程为式(7-3)，即

① 球表面的散热速率等于球内部的发热速率，球表面上维持恒定温度不变，故为稳态导热，
② 一维径向对称导热， ，，，
于是式（7-3）变为
（1）
边界条件为
①，
②，
式（1）积分两次，得
（2）
将边界条件①、②分别代入式（2）可得
，
于是球体内的温度分布方程为
（3）
令式（3）中的，即得球心处的温度表达式，即

3. 将厚度为0.3 m的平砖墙作为炉子一侧的衬里，衬里的初始温度为30 ℃。墙外侧面绝热。由于炉内有燃料燃烧，炉内侧面的温度突然升至600℃并维持此温度不变。试计算炉外侧绝热面升至100℃时所需的时间。已知砖的平均导热系数k =1.125，导温系数。
解：将平砖墙视为一维导热，则其温度分布式为
式中

对于此题，。
为了计算方便计，只取级数的第一项，即

解之，
此时，级数的第二项
所以只取级数的第一项是合理的。
由，得
s
4. 有一半径为25 mm的钢球，其导热系数为433 ，密度为7849 kg/m3，比热容为0.4609 kJ/kg，钢球的初始温度均匀，为700 K。现将此钢球置于温度为400 K的环境中，钢球表面与环境之间的对流传热系数为11.36。试求1小时后钢球所达到的温度。
解：由于值较小，值较大，估计可以采用集总热容法，为此首先计算数。

故可应用集总热容法求解。

K

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