2023年一次函数知识点总结.doc

第十九章　一次函数知识点总结
基本概念
1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。
例题：在匀速运动公式中,表达速度,表达时间,表达在时间内所走的路程,则变量是________,常量是_______。在圆的周长公式C=2πr中，变量是________，常量是_________.
2、函数：一般的，在一个变化过程中，假如有两个变量x和y，并且对于x的每一个拟定的值，y都有唯一拟定的值与其相应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。
*判断Y是否为X的函数，只要看X取值拟定的时候，Y是否有唯一拟定的值与之相应（或者观测图像画竖线，若只有一个交点则Y是X的函数）
例题：下列函数（1）y=πx (2)y=2x－1 (3)y= (4)y=－3x (5)y=x2－1中，是一次函数的有（ ）
（A）4个 （B）3个 （C）2个 （D）1个
3、 自变量取值范围：一个函数的自变量允许取值的范围
4、拟定函数自变量取值范围的方法：
（1）关系式为整式时，函数自变量取值范围为全体实数；（2）关系式具有分式时，分式的分母不等于零；
（3）关系式具有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中具有指数为零的式子时，底数不等于零；
（5）实际问题中，函数自变量取值范围还要和实际情况相符合，使之故意义。
例题：下列函数中，自变量x的取值范围是x≥2的是（ ）
A．y= B．y= C．y= D．y=·
5、函数的图像:一般来说，对于一个函数，假如把自变量与函数的每对相应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
6、函数解析式：用品有表达自变量的字母的代数式表达因变量的式子叫做解析式。
7、描点法画函数图形的一般环节
第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其相应的函数值）；
第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值相应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。
8、函数的表达方法
列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的相应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的相应规律。
解析式法：简朴明了，可以准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表达。
图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。
9、正比例函数及性质
一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
注：正比例函数一般形式 y=kx (k不为零) ① k不为零 ② x指数为1 ③ b取零
当k>0时，直线y=kx通过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，直线y=kx通过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．
(1) 解析式：y=kx（k是常数，k≠0）
(2) 必过点：（0，0）、（1，k）
(3) 走向：k>0时，图像通过一、三象限；k<0时，图像通过二、四象限
(4) 增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小
(5) 倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴
例题：正比例函数，当m 时，y随x的增大而增大.
.函数y=(k－1)x，y随x增大而减小，则k的范围是 ( )
A. B. C. D.
10、一次函数及性质
一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
注：一次函数一般形式 y=kx+b (k不为零) ① k不为零 ②x指数为1 ③ b取任意实数
一次函数y=kx+b的图象是通过（0，b）和（－，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）
（1）解析式：y=kx+b(k、b是常数，k0)（2）必过点：（0，b）和（－，0）
（3）走向： k>0，图象通过第一、三象限；k<0，图象通过第二、四象限
b>0，图象通过第一、二象限；b<0，图象通过第三、四象限
直线通过第一、二、三象限 直线通过第一、三、四象限
直线通过第一、二、四象限 直线通过第二、三、四象限
（4）增减性： k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小.
（5）倾斜度：|k| 越大，图象越接近于y轴；|k| 越小，图象越接近于x轴.
（6）图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；
（上加下减，左加右减） 当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位.
例题：函数y=ax+b与y=bx+a的图象在同一坐标系内的大体位置对的的是（ ）

将直线y＝3x向下平移5个单位，得到直线 ；向右平移3个单位，得到直线__________;
将直线y＝－x－5向上平移5个单位，得到直线 .向左平移2个单位，得到直线__________
若直线和直线的交点坐标为(),则____________.
已知函数y＝3x+1，当自变量增长m时，相应的函数值增长（ ）
Ａ．3m+1 Ｂ．3m Ｃ．m Ｄ．3m－1
11、一次函数y=kx＋b的图象的画法.
根据几何知识：通过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点拟定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：与y轴的交点（0，b），与x轴的交点（，0）.即横坐标或纵坐标为0的点.

b>0
b<0
b=0
k>0
通过第一、二、三象限
通过第一、三、四象限
通过第一、三象限

图象从左到右上升，y随x的增大而增大
k<0
通过第一、二、四象限
通过第二、三、四象限
通过第二、四象限

图象从左到右下降，y随x的增大而减小
☆k、b的符号对直线位置的影响☆

图像过一、二、三象限　　　图像过一、三、四象限 图像过一、二、四象限　图像过二、三、四象限
（大大但是四） （大小但是二） （小大但是三） （小小但是一）
12、正比例函数与一次函数图象之间的关系
一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）.
13、直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系
（1）两直线平行：k1=k2且b1 b2 （2）两直线相交：k1k2
（3）两直线重合：k1=k2且b1=b2 （4）两直线垂直：k1·k2= –1
14、用待定系数法拟定函数解析式的一般环节：
（1）根据已知条件写出具有待定系数的函数关系式；
（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；
（3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.
15、一元一次方程与一次函数的关系
任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相称于已知直线y=ax+b与x轴的交点的横坐标的值.
16、一次函数与一元一次不等式的关系
任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大于0（小于0）时，求自变量的取值范围. 从图象上看, 相称于已知直线y=ax+b在x轴的上方（下方）图像所相应的横坐标的取值范围。.
17、一次函数与二元一次方程组：任意一个二元一次方程都可以转化成y=kx+b的形式，所以每个二元一次方程组都相应一个一次函数，也相应一条直线，每个二元一次方程组都相应两个一次函数，也相应两条直线。从数的角度看，解方程组相称于求出自变量x的取值，使两个函数值y相等；从形的角度看，解方程组相称于拟定两条直线交点的坐标。
（1）以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=的图象相同.
（2）二元一次方程组的解可以看作是两个一次函数y=和y=的图象交点.
18、一次函数的图像与两坐标轴所围成三角形的面积
一次函数y=kx＋b的图象与两条坐标轴的交点：与y轴的交点（0，b），与x轴的交点（，0）.
直线（b≠0）与两坐标轴围成的三角形面积为s=

常见题型
一、 ☆考察一次函数定义
1、若函数是y关于x的一次函数，则的值为 ；解析式为 .
2、要使y=(m－2)xn－1+n是关于x的一次函数,n,m应满足 , .
二、 ☆考察图像性质
1、已知一次函数y=（m－2）x+m－3的图像通过第一，第三，第四象限，则m的取值范围是________．
2、若一次函数y=（2－m）x+m的图像通过第一、二、四象限，则m的取值范围是______
3、已知是整数，且一次函数的图象但是第二象限，则为 .
4、直线通过一、二、四象限，则直线的图象只能是图4中的（ ）

5、直线如图5，则下列条件对的的是（ ）

6、假如，，则直线不通过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7、如图6，两直线和在同一坐标系内图象的位置也许是（ ）

8、假如，，则直线不通过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9、 为 时，直线与直线的交点在轴上.
10、 要得到y=－x－4的图像，可把直线y=－x（ ）．
（A）向左平移4个单位（B）向右平移4个单位 （C）向上平移4个单位 （D）向下平移4个单位
11、已知一次函数y=－kx+5，假如点P1（x1，y1），P2（x2，y2）都在函数的图像上，且当x1<x2时，有y1<y2成立，那么系数k的取值范围是________．
12、已知点（－4，y1），（2，y2）都在直线y=－ x+2上，则y1 、y2大小关系是( )
（A）y1 >y2 （B）y1 =y2 （C）y1 <y2 （D）不能比较
三、☆交点问题
1、若直线y=3x－1与y=x－k的交点在第四象限，则k的取值范围是（ ）．
（A）k< （B）<k<1 （C）k>1 （D）k>1或k<
2、若直线和直线的交点坐标为，则 .
3、一次函数的图象过点和两点，且，则 ，的取值范围是 .
4、直线通过点，，则必有（ ）
A.
5、如图所示，已知正比例函数和一次函数，它们的图像都通过点P（a，1），且一次函数图像与y轴交于Q点。
（1）求a、b的值；（2）求△PQO的面积。

四、 ☆面积问题
1、若直线y=3x+6与坐标轴围成的三角形的面积为S，则S等于（ ）．
A．6 B．12 C．3 D．24
2、若一次函数y=2x+b的图像与坐标轴围成的三角形的面积是9，则b=_______．
3、已知一次函数与的图像都通过，且与轴分别交于点B，，则的面积为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4、已知一次函数y＝kx＋b的图像通过点（－1，－5），且与正比例函数的图像相交于点（2，a），求（1）a的值；（2）k、b的值；（3）这两个函数图像与x轴所围成的三角形面积。

五、☆一次函数解析式的求法
（1） 定义型 例1. 已知函数是一次函数，求其解析式。

（2）点斜型 例2. 已知一次函数的图像过点（2，－1），求这个函数的解析式。

（3）两点型 例3.已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是（－2，0）、（0，4），则这个函数的解析式为_____________。
（4）图像型 例4. 已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为__________。
（5）斜截型 例5. 已知直线与直线平行，且在y轴上的截距为2，则直线的解析式为 。
（6）平移型 例6. 把直线向下平移2个单位得到的图像解析式为 。
（7） 实际应用型 例7. 某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系式为 。
（8）面积型 例8. 已知直线与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线解析式为 。
（9）对称型 例9. 若直线l与直线关于y轴对称，则直线l的解析式为____________。
知识归纳： 若直线与直线关于
（1）x轴对称，则直线l的解析式为 （2）y轴对称，则直线l的解析式为
（10）开放型 例10.一次函数的图像通过(－1,2)且函数y的值随x的增大而增大，请你写出一个符合上述条件的函数关系式 .
（11）比例型 例11..已知y与x+2成正比例，且x＝1时y＝－6．求y与x之间的函数关系式
六、☆分段函数
0
y
x
15
20
27
39.5
1、某自来水公司为鼓励居民节约用水，采用按月用水量收费办法，若某户居民应交水费（元）与用水量（吨）的函数关系如图所示。
（1）写出与的函数关系式；
（2）若某户该月用水21吨，则应交水费多少元？

2、某市电力公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法计算电费：每月不超过100度时，按每度0.57元计费；每月用电超过100度时，其中的100度按原标准收费；超过部分按每度0.50元计费.
（1）设用电度时，应交电费元，当≤100和＞100时，分别写出关于的函数关系式.
（2）小王家第一季度交纳电费情况如下：
月份
一月份
二月份
三月份
合计
交费金额
76元
63元
45元6角
184元6角
问小王家第一季度共用电多少度？

七、☆一次函数应用
1、甲乙两个仓库要向A、B两地运送水泥，已知甲库可调出100吨水泥，乙库可调出80吨水泥，A地需70吨水泥，B地需110吨水泥，两库到A，B两地的路程和运费如下表（表中运费栏“元/（吨、千米）”表达每吨水泥运送1千米所需人民币）

路程/千米
运费（元/吨、千米）
甲库
乙库
甲库
乙库
A地
20
15
12
12
B地
25
20
10
8
（1）设甲库运往A地水泥吨，求总运费（元）关于（吨）的函数关系式，画出它的图象（草图）.
（2）当甲、乙两库各运往A、B两地多少吨水泥时，总运费最省？最省的总运费是多少？

2、某房地产开发公司计划建A、B两种户型的住房共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金所有用于建房，两种户型的建房成本和售价如下表：

注：利润=售价－成本
（1）该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案？
（2）该公司如何建房获得利润最大？
（3）根据市场调查，每套B型住房的售价不会改变，每套A型住房的售价将会提高a万元（a>0），且所建的两种住房可所有售出，该公司又将如何建房获得利润最大？