fft-原理详解.doc

FFT算法
FFT是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换到频域。有些信号在时域上是很难看出什么特征的，但是如果变换到频域之后，就很容易看出特征了。这就是很多信号分析采用FFT变换的原因。另外，FFT可以将一个信号的频谱提取出来，这在频谱分析方面也是经常用的。虽然很多人都知道FFT是什么，可以用来做什么，怎么去做，但是却不知道FFT之后的结果是什意思、如何决定要使用多少点来做FFT。现在圈圈就根据实际经验来说说FFT结果的具体物理意义。一个模拟信号，经过ADC采样之后，就变成了数字信号。采样定理告诉我们，采样频率要大于信号频率的两倍，这些我就不在此罗嗦了。
采样得到的数字信号，就可以做FFT变换了。N个采样点，经过FFT之后，就可以得到N个点的FFT结果。为了方便进行FFT运算，通常N取2的整数次方。
假设采样频率为Fs，信号频率F，采样点数为N。那么FFT之后结果就是一个为N点的复数。每一个点就对应着一个频率点。这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性。具体跟原始信号的幅度有什么关系呢？假设原始信号的峰值为A，那么FFT的结果的每个点（除了第一个点直流分量之外）的模值就是A的N/2倍。而第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。而每个点的相位呢，就是在该频率下的信号的相位。第一个点表示直流分量（即0Hz），而最后一个点N的再下一个点（实际上这个点是不存在的，这里是假设的第N+1个点，也可以看做是将第一个点分做两半分，另一半移到最后）则表示采样频率Fs，这中间被N-1个点平均分成N等份，每个点的频率依次增加。例如某点n所表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N。由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到频率为为Fs/N，如果采样频率Fs为1024Hz，采样点数为1024点，则可以分辨到1Hz。1024Hz的采样率采样1024点，刚好是1秒，也就是说，采样1秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到1Hz，如果采样2秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到0.5Hz。如果要提高频率分辨力，则必须增加采样点数，也即采样时间。频率分辨率和采样时间是倒数关系。
  假设FFT之后某点n用复数a+bi表示，那么这个复数的模就是An=根号a*a+b*b，相位就是Pn=atan2(b,a)。根据以上的结果，就可以计算出n点（n≠1，且n<=N/2）对应的信号的表达式为：An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。对于n=1点的信号，是直流分量，幅度即为A1/N。由于FFT结果的对称性，通常我们只使用前半部分的结果，即小于采样频率一半的结果。好了，说了半天，看着公式也晕，下面圈圈以一个实际的信号来做说明。
假设我们有一个信号，它含有2V的直流分量，频率为50Hz、相位为-30度、幅度为3V的交流信号，以及一个频率为75Hz、相位为90度、幅度为1.5V的交流信号。用数学表达式就是如下：
S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)
式中cos参数为弧度，所以-30度和90度要分别换算成弧度。
我们以256Hz的采样率对这个信号进行采样，总共采样256点。按照我们上面的分析，Fn=(n-1)*Fs/N，我们可以知道，每两个点之间的间距就是1Hz，第n个点的频率就是n-1。我们的信号有3个频率：0Hz、50Hz、75Hz，应该分别在第1个点、第51个点、第76个点上出现峰值，其它各点应该接近0。实际情况如何呢？我们来看看FFT的结果的模值如图所示。

图1 FFT结果
    从图中我们可以看到，在第1点、第51点、和第76点附近有比较大的值。我们分别将这三个点附近的数据拿上来细看：
1点： 512+0i
2点： -2.6195E-14 - 1.4162E-13i 
3点： -2.8586E-14 - 1.1898E-13i
50点：-6.2076E-13 - 2.1713E-12i
51点：332.55 - 192i
52点：-1.6707E-12 - 1.5241E-12i
75点：-2.2199E-13 -1.0076E-12i
76点：3.4315E-12 + 192i
77点：-3.0263E-14 +7.5609E-13i
   很明显，1点、51点、76点的值都比较大，它附近的点值都很小，可以认为是0，即在那些频率点上的信号幅度为0。接着，我们来计算各点的幅度值。分别计算这三个点的模值，
结果如下：
1点： 512
51点：384
76点：192
    按照公式，可以计算出直流分量为：512/N=512/256=2；50Hz信号的幅度为：384/(N/2)=384/(256/2)=3；75Hz信号的幅度为192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可见，从频谱分析出来的幅度是正确的。
    然后再来计算相位信息。直流信号没有相位可言，不用管它。先计算50Hz信号的相位，atan2(-192, 332.55)=-0.5236，结果是弧度，换算为角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再
计算75Hz信号的相位，atan2(192, 3.4315E-12)=1.5708弧度，换算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002。可见，相位也是对的。根据FFT结果以及上面的分析计算，我们就可以写出信号的表达式了，它就是我们开始提供的信号。

总结：假设采样频率为Fs，采样点数为N，做FFT之后，某一点n（n从1开始）表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N；该点的模值除以N/2就是对应该频率下的信号的幅度（对于直流信号是除以N）；该点的相位即是对应该频率下的信号的相位。相位的计算可用函数atan2(b,a)计算。atan2(b,a)是求坐标为(a,b)点的角度值，范围从-pi到pi。要精确到xHz，则需要采样长度为1/x秒的信号，并做FFT。要提高频率分辨率，就需要增加采样点数，这在一些实际的应用中是不现实的，需要在较短的时间内完成分析。解决这个问题的方法有频率细分法，比较简单的方法是
采样比较短时间的信号，然后在后面补充一定数量的0，使其长度达到需要的点数，再做FFT，这在一定程度上能够提高频率分辨力。
具体的频率细分法可参考相关文献。
[附录：本测试数据使用的matlab程序]
实例一：S=2+3cos(2pi*50t-pi/6)+1.5cos(2pi*75t+pi/2)
close all; %先关闭所有图片
Adc=2;  %直流分量幅度
A1=3;   %频率F1信号的幅度
A2=1.5; %频率F2信号的幅度
F1=50;  %信号1频率(Hz)
F2=75;  %信号2频率(Hz)
Fs=256; %采样频率(Hz)
P1=-30; %信号1相位(度)
P2=90;  %信号相位(度)
N=256;  %采样点数
t=[0:1/Fs:N/Fs]; %采样时刻
%信号
S=Adc+A1*cos(2*pi*F1*t+pi*P1/180)+A2*cos(2*pi*F2*t+pi*P2/180);
%显示原始信号
plot(S);
title('原始信号');
figure;
Y = fft(S,N); %做FFT变换
Ayy = (abs(Y)); %取模
plot(Ayy(1:N)); %显示原始的FFT模值结果
title('FFT 模值');
figure;
Ayy=Ayy/(N/2);   %换算成实际的幅度
Ayy(1)=Ayy(1)/2;
F=([1:N]-1)*Fs/N; %换算成实际的频率值
plot(F(1:N/2),Ayy(1:N/2));   %显示换算后的FFT模值结果
title('幅度-频率曲线图');
figure;
Pyy=[1:N/2];
for i=1:N/2
 Pyy(i)=phase(Y(i)); %计算相位
 Pyy(i)=Pyy(i)*180/pi; %换算为角度
end;
plot(F(1:N/2),Pyy(1:N/2));   %显示相位图
title('相位-频率曲线图');
实例一：S=1+0.1cos(2pi*20t)+0.2cos(2pi*60t)
close all; %先关闭所有图片
Adc=1;  %直流分量幅度
A1=0.1;   %频率F1信号的幅度
A2=0.2; %频率F2信号的幅度
F1=20;  %信号1频率(Hz)
F2=60;  %信号2频率(Hz)
Fs=256; %采样频率(Hz)
P1=0; %信号1相位(度)
P2=0;  %信号相位(度)
N=256;  %采样点数
t=[0:1/Fs:N/Fs]; %采样时刻
%信号
S=Adc+A1*cos(2*pi*F1*t+pi*P1/180)+A2*cos(2*pi*F2*t+pi*P2/180);
%显示原始信号
plot(S);
title('原始信号');
figure;
Y = fft(S,N); %做FFT变换
Ayy = (abs(Y)); %取模
plot(Ayy(1:N)); %显示原始的FFT模值结果
title('FFT 模值');
figure;
Ayy=Ayy/(N/2);   %换算成实际的幅度
Ayy(1)=Ayy(1)/2;
F=([1:N]-1)*Fs/N; %换算成实际的频率值
plot(F(1:N/2),Ayy(1:N/2));   %显示换算后的FFT模值结果
title('幅度-频率曲线图');
figure;
Pyy=[1:N/2];
for i=1:N/2
 Pyy(i)=phase(Y(i)); %计算相位
 Pyy(i)=Pyy(i)*180/pi; %换算为角度
end;
plot(F(1:N/2),Pyy(1:N/2));   %显示相位图
title('相位-频率曲线图');
实例三
close all; %先关闭所有图片
Adc=2; %直流分量幅度
A1=3; %频率F1信号的幅度
F1=50; %信号1频率(Hz)
P1=-30; %信号1相位(度)
A2=1.5; %频率F2信号的幅度
F2=75; %信号2频率(Hz)
P2=90; %信号相位(度)
Fs=512; %采样频率(Hz)
N=1024; %采样点数
t=[0:1/Fs:(N-1)/Fs]; %采样时刻
%信号
S=Adc+A1*cos(2*pi*F1*t+pi*P1/180)+A2*cos(2*pi*F2*t+pi*P2/180);
%% 显示原始信号
plot(S);
title('原始信号');
%% FFT变换后
figure;
Y = fft(S,N); %做FFT变换
Ayy = (abs(Y)); %取模
plot(Ayy(1:N)); %显示原始的FFT模值结果
title('FFT 模值');
%% 幅度频率曲线图
figure;
Ayy=Ayy/(N/2); %换算成实际的幅度
Ayy(1)=Ayy(1)/2;
F=([1:N]-1)*Fs/N; %换算成实际的频率值
plot(F(1:N/2),Ayy(1:N/2)); %显示换算后的FFT模值结果
title('幅度-频率曲线图');
%% 相位频率曲线图
figure;
Pyy=[1:N/2];
for i=1:N/2
Pyy(i)=phase(Y(i)); %计算相位
Pyy(i)=Pyy(i)*180/pi; %换算为角度
end;
plot(F(1:N/2),Pyy(1:N/2)); %显示相位图
title('相位-频率曲线图');
实例四
关于FFT的相位谱
  (2011-07-13 11:41:56)
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标签： 
相位谱正弦信号延拓进行it
分类： 机械技术
      先看一下我收到的程序，作为研究对象的信号是这样产生的：
T=128;
N=128;
dt=T/N;
t=dt*(1:N);
x=2*cos(2*t-pi/4);
...
      （我觉得这个信号存在一点问题，因为t是从1开始的，所以它的初相应该和-pi/4有点差别吧。）
      为什么进行FFT，用angle得到相位－频率特性却不能反映这个信号的初始相位？
      胡广书的《数字信号处理－理论、算法与实现（第二版）》第三章第八节《关于正弦信号抽样的讨论》，得出了关于正弦信号抽样的六个结论，最后总结了一个总的原则：抽样频率应为信号频率的整数倍，抽样点数应包含整周期。
      书中的结论五与采样频率和抽样点数有很大的关联。结论五主要说只有满足了上面的那个总的原则，频谱泄漏才不会发生。我想不光是幅度谱的频谱泄漏现象，抽样频率和抽样点数同样会对相位谱产生影响。
      考虑一个无限长的正弦信号（相当于初相为－90°），如果我们截取它的整数个周期，然后对截短的信号进行周期延拓，则得到的延拓的信号与原无限长正弦没有区别。
      现在我们再次对这个无限长的正弦进行截短，长度为1.5个周期，然后对截短信号进行周期延拓，看看我们得到了什么？
下图、无限长正弦：
下图、截短信号

下图、对截短信号周期延拓：

      可以看出，此时进行周期延拓得到的信号与原来的正弦信号大相径庭。新的周期信号是一个周期的偶函数，原无限长正弦是一个周期的奇函数，两者奇偶性都不一样了，因此不能指望利用新的信号的DFT求出原信号的初相。exp(-jωt)=cos(ωt)-jsin(ωt)，进行变换的时候，若f(t)为实偶函数，则f(t)sin(ωt)就是奇函数，对一个奇函数在对称区间内积分只能得到0，因此实偶函数的傅立叶变换肯定是实的，对一个实数用angle求相位，当然相位是0。而原正弦肯定是初相为－90°。
      我想这就是问题所在，DFT就是DFS，只不过DFT先将有限长信号进行周期延拓，然后求DFS，再截取一个周期。
      使用DFT，在有限的观测时间内采集信号的信息。如若观测时间内正好得到了整数个正弦周期，则DFT的周期延拓可以不失真的表示原正弦，可是如果观测时间内得到的信号不是整数个周期，那么问题随之而来，就像上面的例子，观测时间内得到了1.5个周期的正弦，然后进行周期延拓，显然乱了套。
      如果满足了胡广书老师所总结的抽样条件，则对正弦的DFT谱无疑可以很好地反映初相，我写了两个例子：
      第一个例子，信号只包含一个正弦：
t=linspace(0,2-0.125,16);
x=cos(2*pi*t+pi/4);
X=fft(x);
stem(abs(X));
figure;
stem(angle(X)/pi*180);
幅度谱：

相位谱：

      可以看见DFT相位谱第三个点对应正弦的相位，刚好是45°。
      第二个例子信号中包含两个正弦：
t=linspace(0,2-0.125,16);
x=cos(2*pi*t+pi/4)+2*cos(2*pi*0.5*t+pi/8);
X=fft(x);
stem(abs(X));
figure;
stem(angle(X)/pi*180);
幅度谱：

相位谱：

      可以看见DFT相位谱第二个和第三个点对应两个正弦的相位，刚好是22.5°和45°。
      如果没有满足上面所说的条件，就会得到不准确的结果，有兴趣可试试下面的代码：
t=linspace(0,2.5-0.125,32);
x=cos(2*pi*t+pi/4);
X=fft(x);
stem(abs(X));
figure;
stem(angle(X)/pi*180);
      如何克服这个问题？我觉得这非常困难。在不能预知信号频率的情况下，无法确定采样频率和观测点数。也许可以先进行一次观测，通过幅度谱估计出正弦的频率，然后根据频率调整抽样频率，重新对信号进行采样，使采样符合上面所述的条件。但是这样做有很多的问题，例如硬件可能不好实现。而且虽然第二次调整了采样频率和抽样点数，可是初始相位已经无法得到了，因为第二次采样不可能再从零时刻开始。
      Sandygreta同学说可以这样做，先以较高的抽样频率对信号进行采样，通过FFT幅度谱估算出正弦信号的频率，然后计算出满足抽样条件的最佳的抽样频率和观测时间，使抽样频率为正弦频率的整数倍（大于2倍），且观测时间内能正好得到整数个正弦周期。然后对刚才采集的信号样本进行插值，接着使用计算出来的采样频率和观测时间对插值的结果重新采样，计算FFT，得到初始相位。
实例五
x=0:.001:1; fs=1000;
y=sin(2*pi*50*x);
N=64;
for k=1 : 4
    N=N*2;
    M=fft(y,N);
    Py=abs(M)*2/N;
    f=fs*(0:N/2)/N; %fs采样率
    subplot (4,1,k);
    stem(f,Py(1:N/2+1));
    xlim([0 100]);
    title(['N=' num2str(N)]);
end

实例六
同频率信号滤波的问题
发布时间：2011-06-14 17:41:36

技术类别：测试测量

aiyou18：
小子我有一个振动发生器，产生50Hz的振动信号。这个振动信号作用到一个小球上，让这个小球在一个一个台面上摩擦。摩擦力由力传感器测出。理论上这个摩擦力应该是个50HZ的方波信号。现在的问题是，振动发生器也固定在台面上，因此台面受振动发生器反作用，产生一个50hz的正弦波，这个信号也被叠加到摩擦力信号里。
我想问的是，同样是50HZ的正弦波和50HZ的方波叠加到一起，如何把正弦波隔离掉只留下50hz的方波？他们之间的相位差不确定。
-------------------------------------
可以根据100hz处的谐波分量推算方波的相位和幅值
------------------------------------
可是,我那个方波不是标准的方波信号，类似于梯形波，也就是波形顶端是个斜面。如果采用计算机采样，我如何把100hz的谐波取出呢？
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只要你那个正弦波是标准的正弦波就可以用高次谐波的信息。找一下梯形波的傅立叶级数展开式，找到高次谐波参数与基波之间的关系（有影响参数肯定有斜面的坡度，占空比等，这些当然你需要事先知道）。 
对采集的信号（最好整周期采样），做FFT，在谱图上第二个明显谱峰的地方就应该是二次谐波。 如果你的正弦是标准的，那么这个谱峰就是梯形波参数相关。 根据它能推出参数来。 
我不记得有直接公式，需要你自己弄。 弄好了之后，也许写一篇小文章没问题。
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谢谢Master。确实同频率的信号滤波，我还第一次遇到。而且还是真实使用中的压电型力传感器产生的，因此毛刺干扰都很多。查过很多资料，万方的数据库中，也没有相关的资料供借鉴。幸好你给我提供了一个思路。我会去试试，不明白再求教。
-------------------------------------
再问：
我是以5k采样率对一个波形采集，也就是间隔0.2ms保存一个数值。最后得到50个数值的这样一组数据，我想用matlab得到这个数组的频率，幅值曲线。请问如何编程？
data.txt中的一列数据是：431  827  591  474 ......
matlab程序我是这么写的：a=load('c:\data.txt');
                                   y=abs( fft(a) )
                                   plot(y)
这个时候出来一个曲线，我不知道x轴表示什么意思?怎么才能让x轴是hz单位？
--------------------------------------
直接画图是数据序列号，第一个点对于0频率，以后的增量是1/采样长度。
--------------------------------------
这是方波谱图
这是锯齿波谱图
真实时域曲线
这个是我采集来的真实曲线。

这个是我对真实时域曲线做的谱图
这个是我对真实时域曲线做的谱图
这个是我们想要的理想曲线（时域）
这个是我们想要的理想曲线（时域
这个是对时域曲线作的频谱图
这个是对时域曲线作的频谱图
我们使用的试验机
情况在图上基本已经注明了：激振器产生一个50hz的正弦波，推动一个金属小球，在一个“派”型支架上摩擦。派型支架，把摩擦力传递到PCB传感器上。
我们的摩擦力曲线是由PCB力传感器测量出的。根据我们的理论分析，摩擦力应该是50hz的，有一个小尖的，梯形波。
但是实际过程中，激振器会对底座有反作用力，产生一个50hz的正弦振动。这个振动也会被PCB传感器测出。这个正弦波是我们不想要的。
使得实际测量的波形类似一个锯齿波。
对真实波形做FFT，发现频谱图中100HZ的分量很高。我弄不懂，一个50HZ的振动系统里，怎么会冒出这么多的100hz的波形的？
对方波做FFT，发现方波中根本不含100HZ分量。都是50，150，250等50的奇数倍频率分量。
而干扰振动信号应该是50hz正弦波。
我想问的是：
1.这100hz信号可能是怎么产生的？如何滤掉。
2.如何把50hz的底座的正弦振动滤掉一部分？但是摩擦力波形里50hz分量需要保留。

----------------------------------------
yangzj：
方波是只有1，3，5等奇次谐波，但你的信号是类似于你说的锯齿波呀，他的谐波你也画出来了，各个整数次谐波都有。
vibrationmaster的意思是说，如果知道理想曲线的时域表达式，那就可以用傅立叶级数公式求出它的各个谐次的表达式，这些谐次的幅值和相位都是相互关联的，那么就可以通过50Hz以外的谐波幅值和相位推算出这个信号50Hz处的幅值和相位，这样就可去掉正弦振动的影响。
另外，50Hz与工频重合了，工频及其谐波会有工扰，为什么不把激振频率与工频错开呢？
还有应该做整周期采样结果才会准。
----------------------------
to yangzi：你没明白我的意思。那个锯齿波是我实际采集来的信号。可是这个信号的形状与我预期的不一样。我预期的信号波形，也就是理论分析得出的波形，应该是那个有一个小尖的，梯形的波形。我不明白为什么实际波形和理论波形差的那么远？
其中有一部分干扰是50hz的正弦波。这个是我知道的。另一部份的100hz分量，我不晓得是哪里来的。
我想得到一个滤波算法，或者别的什么实时处理方法，把我的锯齿波，变成类似于梯形波的形状。当然这个转变是要有据可循的。要有理论依据。

我之所以采用50HZ频率的激振器做实验。是因为人家老外是这么干的，他们立了行业标准！我没办法改变。

我不知道理想曲线的时域表达式。我只知道50hz正弦干扰振动的时域表达式。我能不能这样：
1.把实际信号做FFT变换，得到一系列数组A。（在matlab里就是一系列数组）
2.把50hz正弦波做FFT变换，得到一系列数组B。
3.c=A-B
4.把c做反FFT变换
这个时候反变换 得到的曲线是不是去掉了50hz干扰后的信号？
另外，你说的“应该做整周期采样结果才会准。”是不是说我做FFT的时候，数据应该是周期的整数倍个啊？

-----------------------------------
yangzj：
你所说的梯形波应该也是各个整数倍频都有的，具体你可用傅立叶级数的公式算一算。并不一定要知道理想曲线的确切时域表达式，有个带参数的模型或许就能找出它各个谐次之间的关系。
你的方法原理上行的通，而且没必要做FFT和IFFT，直接时域减就行，但是要保证两者同步。

这种信号可能根据信号的特征从时域上进行处理更好些。

     引用:
原帖由 aiyou18 于 2007-10-22 14:46 发表 
另外，你说的“应该做整周期采样结果才会准。”是不是说我做FFT的时候，数据应该是周期的整数倍个啊？
是的

-----------------------------------
to yangzi
我因为不知道两个波形之间的相位差的问题。所以我才没有在时域里直接相减。
想问一下，在频域里相减需要考虑相位差吗？
--------------------------------------

频域里复数相减和直接在时域里相减是完全一样的。傅立叶变换具有线性性
--------------------------------------
请问yangzj：数据是周期的整数倍，我现在有点晕，周期指的是哪个信号周期呢
比如下面这个例子， 
figure(1)
subplot(211)
f=1000;
t=0:1/f:5;
x=2*sin(6*pi*t)+5*cos(40*pi*t);
plot(t,x)
title('两个频率成分3Hz和20Hz复合的正弦信号')
xlabel('t/s') ;grid on
subplot(212)
M=nextpow2(length(x));
N=2^M;
y=fft(x,N);
n=0:N-1;
q=f*n/N;
stem(q,abs(y))/(length(x)*2)
title('正弦信号的LXHFFT f=1000')
xlabel('频率Hz') ;grid on;

我的f应该设成多大呢？要采样多少个数据，结果才会准确？多谢了^^
-----------------------------
yangzj：
让两个成分的频率都是频率分辨率f/N的整数倍就行了

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xray：
一点个人看法
看起来这的确是一个有趣的问题，由于表述和理解上可能存在一些误差，我根据自己的理解，把这个问题整理并重新描述一下，如果有错误，还请 aiyou18 和 yangzj 指正

已知条件：
1. 方波谱图.jpg : 仿真得到的方波频谱图（理想方波频谱）
2. 锯齿波频谱.jpg : 仿真得到的锯齿波频谱图（理想锯齿波频谱）
3. 原始图形.jpg : 真实时域曲线（实测）
4. 真实波形谱图.jpg : 真实频域曲线（根据实测数据计算）
5. 理想曲线.jpg : 仿真得到的时域曲线（理想时域曲线）
6. 理想模拟波形.jpg : 仿真得到的频域曲线（根据仿真数据计算）

关键问题：
1. 对实测数据建模（即产生符合 原始图形.jpg 所示的波形）
2. 对实测数据进行处理，滤除干扰成分（即产生符合 理想曲线.jpg 所示的波形）

对于问题1，aiyou18从物理装置上分析，认为实测信号应该是一个理想梯形波叠加一个正弦波
但是，从 真实波形谱图.jpg 来看，这个模型是不成立的，其理由就是频谱图中多出来了一个
100Hz左右的正弦波。因此，我猜想，实测信号应该是一个理想梯形波叠加一个锯齿波（50Hz），这样频域图就可以得到合理的解释了（这一点yangzj也指出来了）。

对于问题2，如果把信号模型认定为 理想梯形波叠加一个锯齿波，仅仅从频域滤波来说，还是很难分离的，因为二者的频率出现了比较多的混叠，除非可以知道更多的锯齿波信息。

解决思路：（仅供参考）
方案一：把PCB动态传感器从底座上分离出来，固定在其他支撑点上，或者在PCB动态传感器和底座之间添加防震材料。
评价：物理解决方案，一劳永逸。

方案二：增加一个实验，不放置金属小球，让激励器空载运行，或者断开PCB动态传感器和支架的连接装置，直接测量激励器的反作用力（即测量锯齿波），从得到更加详细的锯齿波参数。
评价：实现简单，但是空载和加载情况下，锯齿波参数可能会略有差别，而且即时测量得到了详细的锯齿波参数，仍然需要后期的信号处理。

To yangzj：
这个梯形波的确没有偶次谐波分量，从 理想曲线.jpg  上看，去掉直流分量以后，图形应该是关于原点对称的，它是一个奇函数，因此不存在偶次谐波分量。
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aiyou18：
to xray：非常感谢你对我的帖子的关注！喜欢你搞学问的风格，很多大师都是因为兴趣而科研。
你的概括很到位，而且指出的关键点一针见血。

   方案一：是最好的办法。这点我也很赞同。可是因为一个实验机，它是需要移动的。所以PCB传感器没法固定在别的上面。只能固定在底座上。

   根据牛顿第三定律，激振器输出多少力，就得到多少反作用力。因为振动的频率50hz和振幅1mm是确定的，所以小球的运动速度的平均值v球是一定的。

   根据动量守恒：m球 *v球=m底座*v底座。我要减小底座的振动，也就是减小振幅，也就是减小v底座。综上所述，我能做的只能是减小m球，加大m底座。现在我的底座已经用很重的实铁做的，不能再重了。
方案二：这个不加小球的实验我做了。测出的空载波形是一个很标准的正弦波，而不是你说的锯齿波。这也是我奇怪的地方：一个正弦波+理论上的梯形波——〉我实际得到的波形。而这个波形据你们分析是含锯齿波的。
    我以为用真实波形减去，空载时候测出的正弦波就能得到真实的摩擦力曲线。 问题是我不知道真实波形和干扰正弦波的相位差。所以我不知道如何相减？！

    按道理说，这个实验机是个线性系统。应该检测到的任何振动都是50HZ的振动信号（因为启振源是50hz）。可是现在出现了高频信号，而且也可以排除它是电磁干扰。所以我估计摩擦力能使得系统变成非线性系统。所以有可能摩擦力能产生锯齿波？？！！

     我查了相关论文，有些论文略微提到过。但是试验条件，和我的实验机不同。没法直接比较。而对摩擦力在我的实验机中产生的信号，是不是就一定是个梯形波，我可能还得进一步调查。为什么我说它是梯形波，是由经典力学得出的结论。

    滑动摩擦力与速度无关；最大静摩擦略大于动摩擦力。  或许在高频振动情况下，摩擦力特性会变化？谁知道呢。但是我知道的是这个真实信号里，一定含有正弦波分量。

    我想做的就是从实际测量到的信号里，把这个正弦分量（底座振动引起的）去掉！！现在我不晓得相位差，或许能从力学分析上得出，两者的相位差为0？

    楼主我觉得你写整段话的时候，注意一下可读性啊看着太累
                                                                             ------zhangnan3509
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to zhangnan3509： 真不好意思。写的兴起，忘了断句了。

我简单的说吧：

1.这个测量摩擦力的实验机，我发了图，在第一页。激振器引起底座的振动，这个振动信号是一个50hz正弦波。这就是xray所说的不放小球时测出的空载信号。

2.我测量出的真实信号，混杂了摩擦力信号A与空载的正弦信号B。两者是同频的50赫兹，相位差我不知道。或许可以从运动力学推出相位差，为0或180度这样的特例。

3.根据滑动摩擦力与速度无关，以及最大静摩擦力略大于滑动摩擦力，我们可以推导出：理论上的摩擦力波形是：有个小尖的方波。考虑到有些衰减，所以估计是：有个小尖的梯形波。

4.第3点的推导，是基于最简单的力学得到的结果。现代摩擦学，可能复杂的多，因此真实摩擦力曲线也有可能不是梯形波。

5.目前，我想做的就是：把真实波形 减去 那个正弦波。难处在于：我不知道相位差。

6.当然，第5点的简单相减的前提假设是：空载时的正弦波；在把小球放上去，也就是加载后，正弦波的形状不发生变化。具体变不变，还得我这次定的另一个PCB传感器到货后，我测试了才知道。

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yangzj：
回复  xray 的帖子
To yangzj：
这个梯形波的确没有偶次谐波分量，从 理想曲线.jpg  上看，去掉直流分量以后，图形应该是关于原点对称的，它是一个奇函数，因此不存在偶次谐波分量。

对称性只与实部和虚部是不是为0有关吧，和有没有奇偶谐次有关吗？
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xray：回复  yangzj 的帖子不好意思，刚才翻了一下书，是我记错了

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楼主能不能把你的测试数据放上来
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to yangzi：  这个是我采集来的真实信号。也就是几个周期，你够用了吗？

采样频率是5K。

基本上是100个点一个周期。

附件
 data.txt (3.24 KB)
补充的是，我只采集了正半轴的波形。负半轴是对称的。
----------------------------------- 如果是这样的话，可以解释为什么正弦激励会产生100Hz的分量了，主要是因为采集的数据中把正弦信号负半轴的部分给截掉了
仿真程序如下：

clear 

fs = 5000;
N = 1000;
a1 = ones(N/(50*2),50);
a2 = repmat((1:50)/50, N/(50*2),1);
a3 = repmat(sin(2*pi*50/fs*(1:50)), N/(50*2),1);
z = zeros(N/(50*2),50);
a = [ a1 z ].';
b1 = a(:);
a = [ a2 z ].';
b2 = a(:);
a = [ a3 z ].';
b3 = a(:);
bfft1 = abs(fft(b1-mean(b1)));
bfft2 = abs(fft(b2-mean(b2)));
bfft3 = abs(fft(b3-mean(b3)));

figure(1); hold on;
plot(b1, 'r');
plot(b2, 'g');
plot(b3, 'b');
figure(2); hold on;
plot(0:fs/N:fs/2-fs/N, bfft1(1:N/2), 'r')
plot(0:fs/N:fs/2-fs/N, bfft2(1:N/2), 'g')
plot(0:fs/N:fs/2-fs/N, bfft3(1:N/2),