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矩阵特征值与特征向量的研究

目录
一 矩阵特征值与特征向量研究的背景及意义 3
二、特征值与特征向量的定义及其性质 4
2.1 定义 4
2.2 性质 4
三 特征值及其特征向量的求法及其MATLAB的实现 5
3.1 QR方法 5
3.1.1 基本原理 5
3.1.2 具体实例 5
3.2 用多项式的方法来求解特征值 10
四 特征值与特征向量的简单应用 12
五 小结 16

一 矩阵特征值与特征向量研究的背景及意义
矩阵的特征值与特征向量是高等代数的重要组成部分，通过对矩阵特征值与特征向量的性质介绍，以及对矩阵特征值与特征向量理论的分析，将特征值与特征向量应用于方程组的求解问题是高等代数中的重要内容。
随着社会到的进步，计算机的飞速发展，高等代数这门课程已经渗透到各行各业里面。在许多方面都有着很重要的应用。在多数高等代数教材中,特征值与特征向量描述为线性空间中线性变换A的特征值与特征向量。从理论上来讲只要求出线性变换A的特征值和特征向量就可以知道矩阵A的特征值和特征向量。因此求矩阵的特征值与特征向量就变得尤为重要的引入是为了研究线性空间中线性变换A的属性。
在物理，力学，工程技术中有很多问题在数学上都归结为求矩阵的特征值和特征向量的问题。现在教材中给出的求解特征值和特征性向量的方法基本上都是通过求解特方程来求解。有时候特征方程会极其的麻烦。有一些文章中虽然给了初等行列变换的方法来较少计算量，但是仍未摆脱参数行列式计算的问题。本文中我们将首先讲解有关特征值和特征向量的相关知识，另外介绍一些简单实用的方法来求解矩阵的特征值与特征向量。

二、特征值与特征向量的定义及其性质
2.1 定义
设 A是n阶方阵，如果存在数λ 和n维非零向量x，使得 Ax =λ x成立，则称λ 为 A的特征值，x是A 的对应特征值λ 的特征向量。

2.2 性质
（1）是A的特征值
（2）是A的属于特征值的特征向量的重要条件为为齐次方程组非零解。
（3）n阶矩阵在复数域上恰好有n个特征值（重根按重数计算）。
（4）n阶矩阵A为可逆矩阵的重要条件是A的特征值全不为0。
（5）A与有相同的特征值。
（6）设A是可逆矩阵，如果是A的一个特征值，对应的特征向量为，则的一个特征值，对应的特征向量仍然为。

三 特征值及其特征向量的求法及其MATLAB的实现
3.1 QR方法
3.1.1 基本原理
QR算法是计算矩阵特征值问题最有效的方法之一，也是普遍被用于工程实践中的一种方法。QR方法的思想是基于对于实的非奇异矩阵都可以分解为正交矩阵Q和上三角矩阵R的乘积，而且当R的对角元素符号取定时，分解是唯一的。
QR算法的基本步骤如下

（1）令，对进行正交分解，分解为正交矩阵和上三角矩阵的乘积：

（2）然后将得到的因式矩阵反序相乘，得到：

（3）以代替，重复以上步骤得到，所以得到的QR算法的计算公式为：

性质1 所有的都相似，它们具有相同的特征值。
性质2 的QR分解式为

其中,

3.1.2 具体实例
例1
用QR算法求矩阵
A=
的特征值。
解： 令,用施密特正交化过程将分解为

=
=

将逆序相乘，求出
==

用代替A重复上面过程，计算11次得

由不难看出，矩阵A的一个特征值是4，另一个特征值是-1，其他两个特征值是方程
=0
的根，求得为1+2i,1-2i

例2
已知矩阵A=,采用QR方法计算A的全部特征值。
程序代码如下
function [namda,time,data_na]=tzh(A,tol)
if nargin==1;
tol=1e-7
end
%设置初始误差使之能进入循环
wucha=1
%记录迭代的次数
time=0
%如果误差没有满足精度，并且迭代次数在500次以内，可以循环迭代
%否则跳出循环
while (wucha>tol)&(time<500)
[q,r]=qr(A);
A1=r*q;
tz0=diag(A1);
tz1=diag(A);
wucha=norm(tz0-tz1);
%迭代赋值
A=A1;
time=time+1;
data_na(time,:)=tz1;
end
namda=tz1;

%用QR方法计算矩阵特征值
a=[2 1 0
1 3 1
0 1 4];
%调用方法函数
[namda,time,data_na]=tzh(a);
disp('特征值为')
namda
disp('迭代次数为')
time
%用于输出数据
n1=length(data_na);
%n2为数组
n2=(1:n1)';
%temp1为迭代序列与特征值组成的向量
temp1=[n2,data_na];
%第一个特征值
subplot(2,2,1:2)
plot(data_na(:,1))
title('第一个特征值')
grid
%第二个特征值
subplot(2,2,3)
plot(data_na(:,2))
title('第二个特征值')
grid
%第三个特征值
subplot(2,2,4)

plot(data_na(:,3))
title('第三个特征值')
grid

输出结果为：
特征值为

namda =

4.7321
3.0000
1.2679

迭代次数为

time =

22

由图像可以看出在迭代的前几次可能会有一些波动，但是逐渐趋于平稳，总体而言，QR方法是计算矩阵特征值的一个比较好的方法。

3.2 用多项式的方法来求解特征值
我们知道，求n阶方阵A的特征值就是求代数方程

的根。称为A的特征多项式。上式展开为

其中，…….为多项式的系数。

从理论上来讲，求A得特征值可分为两步：

第一步：直接展开行列式求出多项式；
第二步：求代数方程=0的根，即特征值。
对于低阶矩阵，这种方法显然是可行的。但是对于高阶矩阵，计算量则非常的大，这种方法就有其自身的弊端。这里我们将介绍F-L方法来求特征方程中的多项式的系数，也就是求多项式。由于代数方程求根问题的关键是确定矩阵A的特征多项式，所以这种方法为多项式方法求特征值问题。
记矩阵A=的对角线元素之和为
trA=
利用递归的概念定义以下n个矩阵(K=1、2、、、、n):

可以证明上式中，k=1,2,3….n,即是所求A特征多项式的各项系数，用上式求矩阵特征多项式系数的方法称为F-L法，相应的特征方程为

而且可证矩阵A的逆矩阵可表示为

特征向量的求法
当矩阵A的特征值确定以后，将这些特征值逐个代入齐次线性方程组x=0中，由于系数矩阵的秩小于矩阵的阶数n，因此虽然有n个方程n个未知数，但实际上是解有n个未知数的相互独立到r个方程（r<n）.当矩阵A的所有特征值互不相同的时候，这样的问题中要解的其次性方程组中有n-1个独立的方程，其中含有n个特征向量分量，因此特征向量分量中至少有一个需要任意假设其值，才能求出其他的特征分量。

四 特征值与特征向量的简单应用
在经济发展与环境污染的增长模型方面的应用
在现在的时代发展中，经济增长飞速发展。但是随着经济增长的同时，环境污染也越发的严重。环境的治理称为当今社会需要注意的有一个关键的问题。所以探讨环境与经济增长之间的关系就变得尤为的重要。在这方面矩阵的特征值与特征向量有着一定程度上的应用，可建立如下数学模型：
设分别为某地区目前的环境污染水平与经济发展水平，分别为该地区若干年后的环境污染水平和经济发展水平，且有如下关系：

令

则上述关系的矩阵形式为
此式反映了该地区当前和若干年后的环境污染水平和经济发展水平之间的关系.
如

则由上式得
由此可预测该地区若干年后的环境污染水平和经济发展水平.
一般地，若令分别为该地区t年后的环境污染水平与经济发展水平，则经济发展与环境污染的增长模型为

令
则上述关系的矩阵形式为
由此，有

由此可预测该地区t年后的环境污染水平和经济发展水平.下面作进一步地讨论： 由矩阵A 的特征多项式

得A 的特征值为
对 ，解方程得特征向量
对，解方程得特征向量
显然,线性无关
下面分三种情况分析：
第一种：
一个性质:若是矩阵的属于特征值的特征向,也是的属于特征值的特征向量度（*）
由(*)及特征值与特征向量的性质知，

即 或
此式表明：在当前的环境污染水平和经济发展水平的前提下， 年后，当经济发展水平达到较高程度时，环境污染也保持着同步恶化趋势.
第二种：
，所以不讨论此种情况
第三种：
不是特征值,所以不能类似分析。但是可以由唯一线性表出来：

由(*)及特征值与特征向量的性质

即

由此可预测该地区年后的环境污染水平和经济发展水平.
因无实际意义而在第二种情况中未作讨论，但在第三种情况的讨论中仍起到了重要作用.
由经济发展与环境污染的增长模型易见，特征值和特征向量理论在模型的分析和研究中获得了成功的应用。

在其他方面的应用简述
在信息处理上的意义
由于这些投影的大小代表了A 在特征空间各个分量的投影，那么我们可以使用最小

2 乘法，求出投影能量最大的那些分量，而把剩下的分量去掉，这样最大限度地保存了矩阵代表的信息，同时可以大大降低矩阵需要存储的维度，简称PCA 方法。[3]线性变换PCA 可以用来处理图像。如2 维的人像识别：我们把图像A 看成矩阵，进一步看成线性变换矩阵，把这个训练图像的特征矩阵求出来(假设取了n 个能量最大的特征向量)。用A 乘以这个n 个特征向量，得到一个n 维矢量a，也就是A 在特征空间的投影。今后在识别的时候同一类的图像(例如，来自同一个人的面部照片)，认为是A 的线性相关图像，它乘以这个特征向量，得到n 个数字组成的一个矢量b，也就是B 在特征空间的投影。那么a 和b 之间的距离就是我们判断B 是不是A 的准则。又如Google 公司的PageRank，也是通过计算一个用矩阵表示的图。这个图代表了整个Web 各个网页“节点”之间的关联。用特征向量来对每一个节点打“特征值”分。

五 小结
在这个信息飞速发展的时代，我们的科技正在越来越进步。各种先进的产品层出不穷。人们在惊叹于社会科技进步的同时不能忘了一些基础学科在其中起到的重要作用。在本文中我们就简单的介绍了线性代数中特征值与特征向量的一些研究。
在这个大数据的时代，许多数据都是以矩阵的形式展现在大家到眼前。在矩阵中标有一个很重要的量就是特征值和特征向量。本文主要分为了四个部分介绍了特征值与特征向量的相关知识。首先在第一部分我们知道了特征值与特征向量的研究背景，我们也明白了其重要性。接下来我们介绍了特征值与特征向量到定义和其一些常用的性质，使我们对其有了更加详细的了解。然后我们介绍了两种常用的求解特征值和特征向量的方法，当然为了区别我们并没有介绍本科期间书本上讲解的一些最基本的例如行列变换的解法。我们介绍了QR方法并且用MATLAB实践了一下，因为在实际生活中我们需要用计算机来解决这些问题。然后我们还介绍了F-L的方法来求解矩阵的特征值和特征向量。最后我们讲解在生活中特征值和特征向量的应用，例如在经济发展与环境污染模型中的应用和在信息处理上的意义。
希望通过本文的讲解，大家对特征值和特征向量有一个更加理性更加深刻的理解。

（注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注）