合肥工业大学数学学院808高等代数历年考研真题汇编.pdf

目录2014年合肥工业大学808高等代数考研真题2012年合肥工业大学高等代数考研真题2011年合肥工业大学高等代数考研真题2010年合肥工业大学高等代数考研真题2009年合肥工业大学高等代数考研真题2008年合肥工业大学高等代数考研真题2014年合肥工业大学808高等代数考研真题2012年合肥工业大学高等代数考研真题2011年合肥工业大学高等代数考研真题一、填空题（每题5分，共20分）1行列式中的系数为_，的系数为_；2设3元非齐次线性方程组AX=B中，矩阵A的秩为2，且，是该方程组的两个特解，则该方程组的全部解是_；3实二次型是正定的，则t的取值范围是_；4三阶方阵A的三个特征值为1、2、3，则的特征值为_；二、（10分）计算行列式。三、（15分）设和是数域P上两个一元多项式，k是给定的大于1的正整数，求证：。四、（15分）已知三级方阵，且B的每一个列向量都是下列方程组的解向量，（1）求 的值；（2）证明。五、（15分）矩阵，且矩阵X满足AXA+BXB=AXB+BXA+E，其中E为3阶单位阵，求X。六、（15分）设A为n级矩阵，是A的伴随矩阵，秩（A）=n-1，求证：秩（）=1。七、（10分）级方阵分块如下：，A、D依次分别是m级、n级可逆阵。求方阵T的逆矩阵。八、（10分）设向量组线性相关，线性无关。问（1）能否由线性表出？证明你的结论；（2）能否由线性表出？证明你的结论；九、（15分）设为线性空间V的一组基，T是V的线性变换，且，。（1）求证：T是可逆的；（2）求在基下的矩阵。十、（15分）求矩阵的若尔当标准型。十一、（10分）求证：n维欧式空间V的每一个子空间都有唯一的正交补。2010年合肥工业大学高等代数考研真题一、填空题（每题5分，共40分）1设n阶方阵A满足，其中E为单位阵，则_；2设3维向量空间V有两组基底：和，又，V中向量 在基下的坐标是，则 在基下的坐标是_；3设矩阵，已知矩阵A相似于B，则秩_；4已知线性非齐次方程组的三个解向量为，且秩，则的通解为_；5设是实函数空间V的子空间，则_；6在中定义内积，则对基正交单位化所得的一组标准正交基为_；7矩阵的标准型为_；8设是3阶方阵A的三个不同特征值，分别是其对应的特征向量，令，则_；二、（15分）计算行列式。三、（10分）证明：如果，则。四、（15分）已知齐次线性方程组，其中，试讨论和b满足何种关系时（1）方程组仅有零解；（2）方程组有非零解，并求其全部解。五、（12分）设是欧式空间V的子空间，且，与分别是与中线性无关的向量组，证明：向量组，线性无关。六、（18分）求一个正交变换，将二次型化为标准型，并判断是否为正定二次型。七、（18分）设线性空间给定V上的变换，验证T是V上的线性变换；求V的一组基即T在该基下的矩阵；求T的全部特征子空间。八、（12分）设的子空间，证明：。九、（10分）设T和S为线性空间V上的线性变换，且满足TS=ST，证明：S的值域S（V）和核都是T的不变子空间。2009年合肥工业大学高等代数考研真题一、填空题（每题5分，共40分）1设矩阵A=，矩阵B满足，其中为A的伴随矩阵，则B=_；2已知向量组线性无关，若，亦线性无关，则k为_；3设A、B都是n阶矩阵，且，则秩_；4已知齐次线性方程组（1）的基础解系为，齐次线性方程组（2）的基础解系为，记方程组（1）、（2）的解空间分别为，则的一个基为_；5设3维线性空间V上的线性变换T在基下的矩阵为，则T在基下的矩阵为_；6齐次方程组的解空间S（作为欧式空间的子空间）的正交补空间为_；7已知4阶方阵，均为4维列向量，其中线性无关，如果，的通解为_；8方阵的初等因子为_；二、（10分）计算行列式，其中。三、（10分）设是整系数多项式。如果存在素数p使p不整除，p整除，不整除，则在有理数域上是不可约的。四、（10分）已知，试问，（1）a、b取何值时，不能由线性表示？（2）a、b取何值时，能由线性表示？并求出一般表达式。五、（15分）给定（数域R上二阶实方阵按通常矩阵的加法与数乘构成的线性空间）的子集（1）证明V是的子空间；（2）求V的维数和一组基；（3）求在所求基下的坐标。六、（18分）已知实将二次型，（1）若二次型f经正交变换化为标准型，求a、b及所用的正交变换阵P；（2）若二次型f是正定的，求a的值。七、（15分）设T是实数域R上的三维线性空间V上的一个线性变换，对V的一组基有，（1）求T的全部特征值及特征向量；（2）令线性变换，求S的一个非平凡的不变子空间；八、（15分）设为n维欧式空间V中的单位向量，对V中任何一个向量x，定义变换T：，（1）证明：T为正交变换；（2）证明：T对应特征值1有n-1个线性无关的特征向量；（3）问T能否在某组基下的矩阵为对角阵，说明理由。九、（10分）设T是n维线性空间V上的线性变换，子空间、，证明：。十、（10分）设T是n维线性空间V上的线性变换，若秩=秩（T），试证：。2008年合肥工业大学高等代数考研真题一、填空题（每题5分，共40分）1中的系数为_；2设3维向量空间有两组基：（1），（2），则从（1）到（2）的过度矩阵为_；3设，若可由、线性表出，则t=_；4设矩阵，则_；5设3维欧式空间V上的线性变换T在基下的矩阵为，则T在基下的矩阵为_；6设，矩阵，n为正整数，则_；7齐次线性方程组的解空间S（作为欧式空间的子空间）的一组标准正交基为_；8已知实二次型经正交变换化为标准型，则a=_、b=_；9设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆阵，已知n维列向量是A属于特征值 的特征向量，则矩阵属于特征值 的一个特征向量为_；10矩阵的若尔当（Jordan）标准型为_。二、（10分）在中，设，、为任意的多项式，试证：。三、（10分）已知中的线性变换T：，（1）求T的值域，并给出一组基与维数；（2）求T的核，并给出一组基与维数。四、（10分）当a为何值时，线性方程组有唯一解，无解或无穷多解？当方程有无穷多解时求其通解（用导出组的基础解系表示）。五、（10分）已知的线性变换T：，及子空间（1）求W的一组基；（2）证明W是T的不变子空间；（3）求W的一组基，使T在该组基下的矩阵为对角阵。六、（10分）设A、B都是矩阵，AB=0，证明：（1）（2）对给定矩阵A，必 矩阵B，使，其中k满足。七、（10分）证明：n维欧式空间V的每一个子空间都有唯一的正交补。八、（10分）设n阶方阵A、B、C、D两两可交换，且满足AB+BD=E（E为n阶单位阵），记线性方程组ABx=0的解空间为W，线性方程组Bx=0的解空间为，线性方程组Ax=0的解空间为，证明：。九、（10分）设V是数域P上的n维线性空间，T为V上的线性变换，且在P中有n个互异的特征值设，证明线性无关的充要条件为，其中为T的属于特征值的特征向量。十、（10分）试证：对一切非零向量，成立，并求它在限制条件下的最小值。十一、（10分）设A、B分别是数域P上的、矩阵，又，证明：