线性代数4试卷及答案.doc

线性代数（经管类）试题B
试卷满分100分 考试时间120分钟
(出卷人：廖磊)
试卷说明：AT表示矩阵A的转置矩阵，表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式。
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1．若行列式|A|=0，则A中（　　　）
A．必有一行全为0 B．行向量组线性相关
C．有两列成比例 D．所有元素全为0
2．设行列式D==3，D1=，则D1的值为（　）
A．-15 B．-6
C．6 D．15
3．设A，B，C，D均为n阶矩阵，E为n阶单位方阵，下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则或
C．若，且，则
D．若，则
4．设A、B为n阶方阵，满足A2=B2，则必有（　　　）
A．A=B B．A= -B
C．|A|=|B| D．|A|2=|B|2
5．设3阶方阵A的秩为2，则与A等价的矩阵为（　）
A． B．

C． D．
6.设A，B为同阶可逆方阵，则下列等式中错误的是（　　　）
A.|AB|=|A| |B| B. (AB)-1=B-1A-1
C. (A+B)-1=A-1+B-1 D. (AB)T=BTAT
7．设2阶矩阵A＝，则A*＝(　)
A．　　　　　　　　 B．
C．　　　　　　　　 D．
8．设2阶矩阵A＝，则A＊＝（　　　）
A． B．
C． D．
9．设矩阵A＝，则A中(　)
A．所有2阶子式都不为零　　　　B．所有2阶子式都为零
C．所有3阶子式都不为零　　　　D．存在一个3阶子式不为零
10．设是，的两个解，则（　　　）
A．是，的解
B．是，的解
C．2是，的解
D．2是，的解
11．设均为n维向量，又线性相关，线性无关，则下列正确的是（ ）
A．线性相关
B．线性无关
C．可由线性表示
D．可由线性表示
12．设向量，则下列命题中正确的是（　　　）
A．若线性相关，则必有线性相关
B．若线性无关，则必有线性无关
C．若线性相关，则必有线性无关
D．若线性无关，则必有线性相关
13．设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax＝0有非零解的充分必要条件是(　)
A．A的列向量组线性相关　　　　B．A的列向量组线性无关
C．A的行向量组线性相关　　　　D．A的行向量组线性无关
14．设α1，α2，α3，α4为向量空间V的一个基，则V的维数=（　　　）
A．1 B．2
C．3 D．4
15.设A与B是两个相似n阶矩阵，则下列说法错误的是（　）
A. B.秩（A）=秩（B）
C.存在可逆阵P，使P-1AP=B D.E-A=E-B
16．正交矩阵的行列式为（　　　）
A．0 B．+1
C．-1 D．±1
17．矩阵A＝的非零特征值为(　)
A．4　　　　　 B．3　　　　　　C．2　　　　　 D．1
18．当矩阵A满足A2=A时，则A的特征值为（　　　）
A．0或1 B．±1
C．都是0 D．都是1
19．二次型的正惯性指数p为（　　　）
A．0 B．1
C．2 D．3
20.设有二次型则（ ）
A.正定 B.负定
C.不定 D.半正定
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
21．若则行列式=_____________.
22．三阶行列式，则__________.
23.设A=,B=则AB=__________.
24．行列式中元素9的代数余子式A32=____________
25. 若则k=___________.
26．设A，B均为n阶矩阵，，则=__________.
27．若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式的值为______________.
28.设矩阵A=，若齐次线性方程组Ax=0有非零解，则数t=____________.
29．设矩阵A=，矩阵B=A-E，则矩阵B的秩r(B)=______________.
30.已知A有一个特征值-2,则B=A+2E必有一个特征值___________.
31.方程组的通解是___________.
32.已知向量α=（2，1，0，3）T，β=（1，-2，1，k）T，α与β的内积为2，则数k=____________.
33.设向量α=（b,,）T为单位向量，则数b=______________.
34．设为一个4元齐次线性方程组，若为它的一个基础解系，则秩（A）=_________.
35．已知某个3元非齐次线性方程组Ax＝b的增广矩阵经初等行变换化为：，若方程组无解，则a的取值为 ．
36．已知3维向量，则内积=____________.
37.设三阶方阵A的特征值分别为-2,1,1,且B与A相似,则=___________.
38.设三阶方阵A的特征值分别为-2,1,1,且B与A相似,则=___________.
39.矩阵A=所对应的二次型是___________.
40．设3元实二次型经正交变换化成的标准形为，则矩阵A的特征值为_________.
三、计算题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）
41.计算四阶行列式的值.
42．设A=,B=求矩阵AB.
43.已知矩阵A=，B=，
（1）求A的逆矩阵A-1；
（2）解矩阵方程AX=B.
44．设A=,求A.
45.设A=,B=,且A,B,X满足(E-BA)求X,X
46．求向量组=（1，2，1，3），=（4，-1，-5，-6），=（1，-3，-4，-7）的秩和其一个极大线性无关组.
47．设向量组，，，，求该向量组的秩，并判断其线性相关性。
48．求线性方程组的通解.
49.设矩阵A=，
（1）求矩阵A的特征值与对应的全部特征向量.
（2）判定A是否可以与对角矩阵相似，若可以，求可逆矩阵P和对角矩阵，使得P-1AP=.
50．已知二次型f(x1，x2，x3)＝2x＋3x＋3x＋2ax2x3通过正交变换可化为标准形f＝y＋2y＋5y，求a．
四、证明题（本大题10分）
51.设是齐次方程组A x =0的基础解系.证明：
，一定是Ax =0的基础解系．
52．设A，B均为正交矩阵，且，试证.

21、
22、 （A,E）=………………………..3分
……….………………….1分
………………………2分
………………………..1分
……2分
所以…………………………………………1分
23、令A=（=………………………….2分
………………………………………………….2分
………………………………………………………….2分
所以向量组的秩为2………………………………………….2分
极大线性无关组为或或……………………….2分
24、………………………………………………..2分
……………………………………2分
………………………………………………………….1分
所以非齐次方程的一般解为
…………………………………………… 1分
所以齐次方程组的一个特解为…………………………..1分
对应的齐次方程组为得基础解系为…………….2分
所以原方程组的通解为,其中为任意常数………………….1分
25、
（1）项式=（
所以特征值…………………………………………………..1分
当时，
即，所以特征向量为………………………………..1分
对应特征值全部特征向量为，为任意非零常数………..1分

当时，
即，所以得到对应的特征向量………………………..1分
对应特征值的全部特征向量为，为任意非零常数……….1分
（2）因为矩阵A有两不同的特征值1和9,(或者说存在两个线性无关的特征向量
),所以矩阵A可以对角化……………………………………………..2分
可逆矩阵P=,即P=,．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分
且有，所以对角矩阵为．．．．．．．．．．．．．．．．１分

2６、
证明：首先， 的个数与所给的基础解系个数相同，都为３，即
n-r=3………………………………………………………………………1分
其次,,
所以，都是方程组Ax =0的解………………………………………2
最后，根据提设条件可以写出矩阵等式
=………………………………………2分
把它记为.因为标出矩阵的行列式=1…….1分
P是可逆矩阵………………………………………………………..1分
所以，，这说明线性无关………………………2分
所以，必是Ax =0的基础解系……………………………………….1分
21、解：D==
=
=
22、解：(1)

(2）

23、解：

24、解：令

所以向量组的秩为3。因为未知数的个数大于向量组的秩，所以向量组线性相关。……4分
25、解：的矩阵为 ……2分
先求A的特征值，
……（1） ……2分
由已知，二次型可通过正交变换可化为标准形f＝y＋2y＋5y，得
矩阵A的特征值为1，2，5。 ……2分
将λ1=1代入（1）式，得
四、证明题
26、证：由已知可知 ……2分

……4分
再由，又正交阵的行列式为 ……1分
不妨设，则
则 ，故 ……3分