常微分方程习题71.doc

常微分方程期中测试试卷(11)

班级__________姓名__________学号________得分__________

1 微分方程的阶数是____________
2 若和在矩形区域内是的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则方程有只与有关的积分因子的充要条件是 _________________________
3 _________________________________________ 称为齐次方程.
4 如果 ___________________________________________ ,则存在唯一的解,定义于区间 上,连续且满足初始条件 ,其中
_______________________ .
5 对于任意的 , (为某一矩形区域),若存在常数使 ______________________ ,则称在上关于满足利普希兹条件.
6 方程定义在矩形区域:上 ,则经过点 的解的存在区间是 ___________________
7 若是齐次线性方程的个解,为其伏朗斯基行列式,则满足一阶线性方程 ___________________________________
8 若为齐次线性方程的一个基本解组,为非齐次线性方程的一个特解,则非齐次线性方程的所有解可表为 _________________________
9 若为毕卡逼近序列的极限，则有　__________________
10 _________________________________________　称为黎卡提方程，若它有一个特解　，则经过变换　___________________　，可化为伯努利方程．
二　求下列方程的解
１　

２　　求方程经过的第三次近似解

３　　讨论方程　，的解的存在区间　

4 求方程的奇解

5

6

7

三 证明题
1 试证:若已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等积分法求它的通解

2 试用一阶微分方程解的存在唯一性定理证明:一阶线性方程 , 当
, 在上连续时,其解存在唯一

参考答案
一 填空题
1 1
2
3 形如的方程
4 在上连续且关于满足利普希兹条件
5
6
7
8
9
10 形如的方程
二 求下列方程的解
1 解：　，则　　所以　
另外　　也是方程的解　
2 解：

3 解：
两边积分　　
所以　方程的通解为　
故　过的解为　
通过点　的解向左可以延拓到，但向右只能延拓到　２，
所以解的存在区间为　
4 解: 利用判别曲线得
消去得 即
所以方程的通解为 , 所以 是方程的奇解

5 解: =, = , = , 所以方程是恰当方程.
得
所以
故原方程的解为
6 解: 故方程为黎卡提方程.它的一个特解为
,令 , 则方程可化为 ,
即 , 故
7 解: 两边同除以得

所以 , 另外 也是方程的解
三 证明题
1 证明: 设黎卡提方程的一个特解为
令 , 又

由假设 得
此方程是一个的伯努利方程,可用初等积分法求解
2 证明: 令 : ,
, 在上连续, 则
显然在上连续 ,
因为 为上的连续函数 ,
故在上也连续且存在最大植 , 记为
即 ,
, =
因此 一阶线性方程当 , 在上连续时,其解存在唯一