平面与平面垂直教学设计.doc

9.3.4 平面与平面垂直
【教学目标】
1．理解两个相交平面互相垂直的定义，掌握平面与平面垂直的判定定理和性质定理，并会简单应用．
2．从学生身边的实例出发，体会由实际问题上升为数学概念和数学知识的过程．
3．渗透把空间问题转换为平面问题进行解决的思想．
【教学重点】
平面与平面垂直的判定定理和性质定理．
【教学难点】
平面与平面垂直的判定定理和性质定理的应用．
【教学方法】
这节课主要采用讲练结合法．由生活中常见实例，得出平面与平面垂直的判定定理、性质定理，利用文字语言、符号语言和图形语言的相互转化，帮助学生理解定理．通过例题，明确应用定理时线线垂直到线面垂直再到面面垂直的证明思路．
【教学过程】
环节
教学内容
师生互动
设计意图
导
入
1. 复习二面角的平面角定义．
2. 如何来刻画平面与平面垂直的概念呢？
师：（举例）黑板所在墙面与地面给我们相互垂直的形象．
由直二面角的定义引出两平面垂直的定义．

新
课

新
课

新
课

如果两个相交平面组成的二面角为直角，则称这两个相交平面互相垂直．
平面 a 与 b 垂直，记作：a⊥b．
两个互相垂直的平面在画图时，通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直．
如图，已知a⊥b，ÐAOB为二面角a-l-b的平面角，OA⊥b吗？
b
a
A
O
l
B

平面与平面垂直的判定定理：
判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
用符号表示为(如图)：
l⊥a，l Ì b Þ b⊥a．
b

l

a

平面与平面垂直的性质定理：
性质定理 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
用符号表示为（如图所示）：
如果平面a⊥平面b，a∩b＝l，OA Ì a，OA⊥ l，那么OA⊥b．
b
a
A
O
l

例1 如图，已知平面a⊥平面 b，a∩b＝l，在 l 上取线段AB＝4，AC，BD分别在平面a和平面b内，并且垂直于它们的交线AB，并且AC＝3，BD＝12．求CD的长．
b
a
C
l
A
D
B

解 连接BC，CD．因为AC⊥AB，所以
AC⊥b，AC⊥BD．
又BD⊥AB，所以
BD⊥a，BD⊥BC．
所以△BAC和△CBD都是直角三角形．
在Rt△BAC中，有
BC＝＝5；
在Rt△CBD中，有
CD＝＝13．

例2 已知Rt△ABC中，AB＝AC＝a，AD是斜边上的高，以AD为折痕使ÐBDC成直角，如图所示．求证：
(1)平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC；
(2)ÐBAC＝60°．
A
B
C
D
A
B
D
C
(1)
(2)

证明 (1) 如图(2)，因为AD⊥BD，AD⊥DC，所以
AD⊥平面BDC，
因为平面ABD和平面ACD都过AD，所以
平面ABD⊥平面BDC，
平面ACD⊥平面BDC；
(2) 如图(1)，在Rt△BAC中，因为AB＝AC＝a，所以
BC＝a，BD＝DC＝a．
如图(2)，因为△BDC是等腰直角三角形，所以
BC＝BD＝×a＝a．
所以AB＝AC＝BC．
因此ÐBAC＝60°．

练习
1．将一张长方形纸片ABCD沿对角线AC进行折叠，如何才能使两部分所在的平面互相垂直？
2．长方体教室里的墙面之间是否垂直？
3．正方体的对角面是否互相垂直？
4．分别画出互相垂直的两个平面和两两垂直的三个平面．
5．检查工件的相邻的两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动一下，观察尺边是否和这个面密合就可以了．为什么？如果转不动呢？

教师讲解画法．

师：为什么教室的门转到任何位置时，门所在的平面都与地面垂直？
通过观察，我们可以发现，门在转动的过程中，门轴始终与地面垂直．
师：建筑工人在砌墙时，常用铅锤线来检查所砌墙面是否和水平面垂直，为什么？
学生思考回答．

师：黑板所在平面与地面所在平面垂直，是否在黑板上任意画一条直线，都能使这条直线和地面垂直？你能否在黑板上画一条与地面垂直的直线？
学生思考．

教师边作图边分析已知条件．
分析每一步的根据是什么，面面垂直的性质、线面垂直的性质分别在哪一步应用的．

通过折纸让学生明确折后哪些量没有发生改变．

师生合作完成．

由生活中常见的门轴，得出平面与平面垂直的判定定理，同时加深对定理的理解，帮助学生记忆．

由生活实例得出平面与平面垂直的性质定理．
利用文字语言、符号语言和图形语言的相互转化，有助于学生理解定理的本质，明确应用定理的关键．

此题较为复杂，教师应详细分析各线与平面的关系，各三角形的形状及其根据，给学生以明确的思路．

通过例２,让学生进一掌握理解定理的本质，明确应用定理的关键．同时通过折纸的形式来帮助学生理解题意,从而提高学生的读图能力,及文字语言转换为数学语言的表达能力．

学习新知后紧跟练习有利于帮助学生更好的梳理和总结本节所学内容．有利于教师检验学生的掌握情况．
小
结
1．两个相交平面互相垂直的定义．
2．平面与平面垂直的判定定理和性质定理，并会简单应用．

梳理知识，形成体系．
作
业
教材P136习A组第3题，练习B组第3题．