证券投资学之第六章.doc

第六章 资产组合管理
主要内容
资产组合的定义及理论源起，资产组合的收益与风险评价，资产组合的效率边界，投资组合的风险分散效应，资产组合理论的应用与局限。
重点 难点
• 重点：资产组合的概念，资产组合的收益与风险评价，资产组合的效率边界。
• 难点：资产组合的局限。
第一节 投资收益和风险
问题的引入
• 投资者制定投资目标应考虑回报和风险
– 投资者厌恶风险，承担风险需要补偿
– 不同的投资者对风险厌恶程度不一样，怎样刻画不同投资者对收益-风险之间的权衡关系
• 回报和风险的度量
• 例子：下一年你有5000块钱用于投资，投资一年，有六种投资机会供选择：
– （1）30天到期、现在年收益率为6%的货币市场基金
– （2）一年定期存款，利率为7.5%
– （3）10年期长期国债，每年收益为9%
– （4）一种股票，现价10元/股，下一年的预期股价为11.2元/股，且估计红利为0.2元
– （5）一人向你借钱，期限一年，利率15%
– (6）以8.4元人民币兑1美元买外汇
• 问题
– 各种投资的收益水平如何
– 各种投资有哪些风险，如何度量风险
– 各种投资的风险和收益的组合情况如何
– 如何进行投资决策（一种或多种组合投资）
一、 投资收益的度量－利率
• 1.按计息的方式分：单利(simple rate)；复利(compound rate)
• TV-----total value P-----principal
（1）终值（final value, FV）和现值(present value, PV)
简式贷款中，贷款人向借款人提供一笔资金（本金，P），借款人于到期日连本带利偿还。如p＝1000，一年后偿还本金1000及利息I＝100。
一年后的1100等于现在的1000元
按一定的利率水平（10％）计算，现在的1000元，一年后的终值为1100元；
或者说：一年后的1100元，现值为1000元
• 终值：计算某项资产P在n期后的价值，称为终值FV（final value）
• 计算过程中，利息以单利还是复利计呢
•
－ －复利
• FV=P·(1+i)n
• (期限是n，i为与期限一致的利率水平，按n期计复利)
• 例如：如果按月计复利，i为月利率1%，则现在的1000元6个月后的终值为
• FV=1000× (1+1%)6
• 现值（PV，present value）:
• 把未来的R元贴现到现在的价值，就是未来R元的现值，计算公式为
• 计算未来收入在今天的价值过程，称为对未来的贴现,利率i也称为贴现率(discount ratio)或贴现因子(discount factor)
复利 (年利率为6％)
• 复利频率 n　 复利水平(%)
• 　年 1 6.00000
• 半年 2 6.09000
• 季 4 6.13636
• 月 12 6.16778
• 周 52 6.17998
• 日 365 6.18313
（2）连续复利的计算
• 在上例中，e 0.06=1.0618365，因此，我们可以说，利息为6%的债券的连续复利为每年6.18365%。
2.实际利率 （real rate ）与名义利率(normal rate)
实际利率：物价不变条件下的利率
名义利率：包括补偿通胀风险的利率
• （事后）实际利率：
例：假定以103.7美元购买了面值为1000美元、票面利率为12％的20年期贴现债券，求实际收益率
•  年通 买1元物品20年 1000元20年 年实际
• 胀率 后要求的金额 后的购买力 收益率

4% 2.19元 456.39元 7.69%
• 6% 3.21元 311.80元 5.66%
• 8% 4.66元 214.55元 3.70%
• 10% 6.73元 148.64元 1.82%
• 12% 9.65元 103.67元 0.00%
• 注：购买力＝1000美元/(1+通涨率)20

• 实际收益率＝（1+r名）/(1+通涨率)－1
• ＝（1＋12％） /(1+通涨率)－1
• 3.持有期收益率HPR
• (holding period return)
• 拥有金融资产期间所获得的收益率。
•  HPR=(投资的期末价值—期初价值+此期间所得到的收入)/期初价值
HPR provides a useful device for simplifying the complex reality of investment analysis, it offers a good measure of performance over such a period.
股票的HPR
• (price increase + dividend)/purchase price.

例子：一种股票现价为46元，假设一年后价格为50元，两年后价格为56元；在第一年中红利为1.5元，第二年中红利为2元，假设每次分红都在年末进行，求这种股票在这两年中的持有期收益率HPR
年收益率(year yield)的折算
• 不同期限的HPR折合成年收益率，折
• 算的公式为
•  
• 年收益率=持有期收益率×[年(或365)÷持有期长度]
• 例如：股票投资期限是2年，HPR为15％

• 则股票投资的年收益率为15%×[1/2]=7.5%
二、对收益风险的度量
• 风险(risk)是指未来收益的不确定性，不确定性的程度越高，风险就越大。
• 试考虑以下股票投资的收益和风险

• 形势 概率 期末总价 收益率（HPR）
• 繁荣 0.25 13000元 30%
• 正常增长 0.50 11000元 10
• 萧条 0.25 9000元 -10
– 估计概率：估计可能影响投资的每种主要事件的可能性。
– 概率分布(Probability distribution ) （如：正态分布 normal distribution, 二项分布，泊松分布等）
– 事件树
当事件随着时间的推移而一个接着一个发生，或者一个事件的发生依赖于另外一个事件的发生时，利用事件树来描述各种不同的结果。
事件树
• 期望值 (expected value)
– 众数（Mode）
– 中位数（Median）
– 均值（Mean）
• 期望持有期收益率 (expected HPR)
• 方差
• 标准差
• HPR的方差
• HPR的标准差
The trade-off between risk and return
• 一般来说，高收益伴随着高风险
• The variability of HPR in the past can be an unreliable guide to risk.
– 例子：无风险证券
风险溢价和超额收益
• 将回报分为两种，一种是投资于国库券、货币市场工具或银行存款上的无风险资产的收益，称为无风险利率（risk free rate）,一种是投资于股票、股票基金等风险资产的（有风险的）期望收益，两种之差称为风险溢价（risk premium）
• 任何特定时期风险资产同无风险资产收益之差称为超额收益（excess return）
• 风险溢价是期望的超额收益
• The question of whether a given risk premium provides adequate compensation for the investment’s risk is age-old.
• One of central concerns of finance theory is the measurement of risk and the determination of the risk premiums that investors can expect of risky assets in well-function capital markets.
三. 投资者的选择方式
• 投资者的效用函数
• 最大化效用函数
• 风险酬金
• 风险厌恶
Dominance Principle
2 dominates 1; has a higher return
• 2 dominates 3; has a lower risk
• 4 dominates 3; has a higher return
– 当资产的回报率 服从以 为均值，以 为标准差的正态分布时，风险厌恶者的无差异曲线是凸的，并且，位于更西北方向的无差异曲线的效用更高。
– 假设：所有风险厌恶者的无差异曲线如图1所示，在均值-标准差平面上，为严格增的凸函数，并且，越在西北方向的无差异曲线，其效用越高。

对风险厌恶的理解
l 我们将风险溢价为零时的风险投资称为
l 公平游戏(fair game)，风险厌恶型的
l 投资者不会选择公平游戏或更糟的资产组合，他们只愿意进行无风险投资或投机性投资。
l 当他们准备进行风险投资时，他们会要求有相应的风险报酬，即要求获得相应的超额
l 收益或风险溢价。投资者为什么不接受公平游戏呢？公平游戏看上去至少不坏
l 因为它的期望收益为0，而不是为负。
l 假定有一公平游戏，投资10万，获利5万的概率为
l 50%，亏5万的概率为50%，该投资者的效用函数为财富水平的自然对数，即U(W)=lg(W),因此，这一投资的期望收益为0。
• 这笔投资的期望效用为
• E[U(W)]=pU(W1)+(1+p)U(W2)=
(1/2)lg(50000)+(1/2)lg(150 000)=11.37
而lg(100 000)=11.51
– 由于10万的效用值为11.51，比公平游戏
– 的11.37要大，
– 风险厌恶型投资者不会进行这一投资。即
– 不投资于公平游戏。
• 也可以这样理解：
• 当10万增到15万时，利用对数效用函数，效用从lg(100000)=11.51
• 增加到lg(150000)=11.92，效用增加值为0.41，期望效用增加值为0.5×0.41=0.21。

• 如果由10万降到5万，由于lg(100000)-lg(50000)=11.51-10.82=0.69，期望效用的减少值
• 为0.5×0.69=0.35，它大于期望效用的增加值
常用的效用公式
• 这里有一个金融界广泛运用的一个投资效用
• 计算公式，资产组合的期望收益为E(r)，
• 其收益方差为s2，其效用值为：
•  U=E(r)-0.005As2
• 其中A为投资者的风险厌恶指数，风险厌恶
• 程度不同的投资者可以有不同的指数值，A值
• 越大，即投资者对风险的厌恶程度越强，效用就越小。在指数值不变的情况下，期望收益越高，效用越大；收益的方差越大，效用越小。
效用数值应用举例
• 如果股票的期望收益率为10%，标准差s为21.21%，
• 国库券的收益率为4%，尽管股票有6%的风险溢价，
• 一个厌恶风险的投资者会选择全部购买国库券的投资策略。

• 投资者A=3时，股票效用值为：
• 10-(0.005×3×21.212)=3.25%，比无风险报酬率
稍低，在这种情况下，投资者会放弃股票而选择国库券。
• 如果投资者的A为2，股票效用值为：
• 10-(0.005×2×21.212)=5.5%，高于无风险报酬率，投资者就会接受这个期望收益，愿意投资于股票。
• 所以，投资者对风险的厌恶程度十分关键。
第二节 投资组合的选择
马柯维茨的资产组合理论
² 马柯维兹(Harry Markowitz)1952年在 Journal of Finance发表了论文《资产组合的选择》，标志着现代投资理论发展的开端。
² Markowitz1927年8月出生于芝加哥一个店主家庭，大学在芝大读经济系。在研究生期间，他作为库普曼的助研，参加了计量经济学会的证券市场研究工作。他的导师是芝大商学院院长《财务学杂志》主编凯彻姆教授。凯要马克维茨去读威廉姆斯的《投资价值理论》一书。
² Markowitz想为什么投资者并不简单地选内在价值最大的股票，他终于明白，投资者不仅要考虑收益，还担心风险，分散投资是为了分散风险。同时考虑投资的收益和风险，马是第一人。当时主流意见是集中投资。
² 马克维茨运用线性规划来处理收益与风险的权衡问题，给出了选择最佳资产组合的方法，完成了论文，1959年出版了专著，不仅分析了分散投资的重要性，还给出了如何进行正确的分散方法。
马的贡献是开创了在不确定性条件下理性投资者进行资产组合投资的理论和方法，第一次采用定量的方法证明了分散投资的优点。他用数学中的均值方差，使人们按照自己的偏好，精确地选择一个确定风险下能提供最大收益的资产组合。获1990年诺贝尔经济学奖。
托宾的收益风险理论
托宾(James Tobin)是著名的经济学家、他在1958年2月The Review of Economic Studies发表文章，阐述了他对风险收益关系的理解。
1955-56年，托宾发现马克维茨假定投资者在构筑资产组合时是在风险资产的范围内选择，没有考虑无风险资产和现金，实际上投资者会在持有风险资产的同时持有国库券等低风险资产和现金的。由于利率是波动的，投资者通常会同时持有流动性资产和风险资产。
他还指出，投资者并不是简单地在风险资产和无风险资产这两种资产之间进行选择，实际上风险资产有许多种，因此，他得出：各种风险资产在风险资产组合中的比例与风险资产组合占全部投资的比例无关。这就是说，投资者的投资决策包括两个决策，资产配置和股票选择。而后者应依据马克维茨的模型。即无论风险偏好如何，投资者的风险资产组合都应是一样的。
一、资产组合的计算
• 雨较多的年份 少雨年份
•   股市的牛市 股市的熊市 伞需求大减
• 概率 0.4 0.3 0.3
• 收益率 30% 12% -20%

• E(r伞公司)=(0.4×30)+(0.3×12)+[0.3×(-20)]=9.6%
• σ2(伞公司)=0.4(30-9.6)2+0.3(12-9.6)2+0.3(-20-9.6)2=431.04
• σ=431.041/2=20.76 或20.76%
二、资产组合的方差
• 投资者将其资金的50%投资于伞公司的股票，其余的50%投资于收益率为3%的国库券，因此投资者的整个资产组合的期望收益率为
•  
• E(r投资者)=0.5E(r伞公司)+0.5r国库券=(0.5×9.6%)+(0.5×3%)=6.3%

• 资产组合的标准差为
•  
• σ投资者=0.5σ伞公司=0.5×20.76%=10.38%
三、冷饮的收益与风险
• 雨较多的年份 少雨年份
•   股市的牛市 股市的熊市 冷饮需求大增
•
• 概率 0.4 0.3 0.3
• 收益率 4% -10% 30%

• 冷饮公司的期望收益率为7.6%，方差为248.64%，标准差为15.77% 。
四、互补组合的收益与风险
• 如果一半投资于冷饮股票，另一半投资于伞股票，则新组合
• 雨较多的年份 少雨年份
•   股市的牛市 股市的熊市 冷饮需求大增
• 概率 0.4 0.3 0.3
• 收益率 17% 1% 5%

• 新组合的期望收益为8.6%，标准差为7.03%。互补的选择效果比与无风险资产构成的组合还好。
• 资产组合 期望收益 标准差
• 全部投资于伞公司股 9.6% 20.76%
• 一半伞股票一半国库 6.3% 10.38%

• 一半伞股票一半冷饮股票 8.6% 7.03%

五、协方差的计算
• 测度两种资产互补程度的指标是协方差(covariance)，它测度的是两个风险资产收益相互影响的方向与程度。正的意味着资产收益同向变动，负的则是反方向变动。
协方差的计算公式为
• 第一种办法
这与前面得出的资产组合收益的标准差一样。
六、相关系数的计算
• 相关系数范围在－1和+1之间，与协方差的关系为：两变量协方差除以两标准差之积等于它们的相关系数。
七、风险资产与无风险资产的结构
• 投资金额50万，其中15万投资国库券，35万投资股票，15.75万买清华同方，19.25万买清华紫光。
• 同方：w1=15.75/35=0.45
• 紫光：w2=19.25/35=0.55
• 风险组合P的权重为y，无风险组合的权重为1-y，有
•  y=35/50=0.7(风险资产)
• 1-y=0.3(无风险资产)
八、风险与无风险资产的结构变化
• 投资者希望将所持有的风险资产组合比重从0.7降为0.55。投资者的投资资金的配置则为
• 投资于股票： 500 000×0.55=275 000(元)
• 投资于国库券：
• 500 000×0.45=225 000(元)
• 投资者在股票投资减7.5万(35-27.5=7.5)，增买7.5万的国库券。由于两种股票的比例不变，因此，有
•   清华同方：275 000×0.55=151 250 (元)
• 清华紫光：275 000×0.45=123 750 (元)
九、风险与无风险资产的结构决定
• 假定风险资产(risk assets)(股票组合同方＋紫光）的期望收益为E(rP) =9% ，标准差为sP； =21%，无风险资产（risk free assets）（国库券）F的收益率为rf =3% 。

• 风险资产的风险溢价为E(rP)–rF=9%-3%=6%

• 令整个资产组合C的收益率为rC，有：rc=yrp+(1-y)rf
•  
• 也可以写成：资产组合C的期望收益为：
• 3%+y(9%-3%) ＝3％+ y 6％
• 由于sP=21%，有：σC=yσp=21y
十、资本配置线的形成图
十一、资本配置线的意义
• 如果选择将全部投资投向风险资产，期望收益与标准差就是E(rp)=9%，sP=21%。如果选择将全部投资投向无风险资产，期望收益与标准差就是E(rp)=3%，sP=0。

• 从线上可直观地看到，风险增加，收益也增加。由于直线的斜率为6/21=0.29，每增1单位风险，可获0.29单位收益。即每增1单位收益，将增3.5(21/6=3.5)单位风险。
十二、资本配置线的数学表达
• 根据σC=yσp=21y，有y=sc/sp，将y代入有
• E(rc)=rf +y[E(rp)-rf]
• =rf +(σc/σp)[E(rp)-rf]=3+(6/21)σc
• 从式中可以看到，资产组合的期望收益作为其标准差的函数是一条直线，其截距为rf，斜率为6/21。
十三、最优资本配置推导
• 该斜率也称为报酬与波动性比率。一般认为这个值较大为好，因为它越大，资本配置线就越陡，即增加一单位风险可以增加更多的期望收益。
– 根据前面的公式，我们可以得到以下两式：
• E(rc)=rf +y[E(rp)-rf] σ2C=y2σ2p
•  将两式代入效用函数，有
•  
• MaxU=E(rc)-0.005As2C=rf+y[E(rp)-rf]-0.005Ay2σ2p
•  
(MaxU)’=E(rp)-rf—0.01Ayσ2p
•  
• 令导数为0，有：y*=[E(rp)-rf]/0.01Aσ2p
•
• 最优配置与风险厌恶水平成反比，与风险溢价成正比。
十四、最优资本配置举例
• 还用上述例子中的数据。还假定风险厌恶系数A为3，求投资者的最优风险资产组合比例y*的值。有
•  
• y*=[9%-3%]/(0.01×3×212)=45.35%
•  
• 根据结果，应将资金的45.35%投资于风险资产，54.65%投资于无风险资产。整个资产组合的
•  
• E(rc)=3%+(45.35%´6%)=5.72%
• sC=45.35%´21%=9.52%
• 2.72/9.52=0.29 等于前例中的报酬与波动性比率。
最优资本配置举例（2）
• 如果假定投资者的风险厌恶程度A为1.5，其结果为

• y*=[9%-3%]/ (0.01×1.5×212)=90.7%
• E(rc)=3%+(90.7%´6%)=8.44%
• sC=90.7%´21%=19.05%
• 5.44/19.05=0.29
•  
• 风险厌恶程度降低一半，投资于风险资产组合的比例上升了一倍，整个资产组合的期望收益也提高到8.44%，风险溢价提高到5.44%，标准差也提高了一倍，达到19.05%。
十五、最优资本配置的几何表达
资本市场线（capital market line）
• 消极投资策略的资本配置方案为：短期国库券与股票指数的资产组合。它的资本配置线称资本市场线(CML)。
• 假定一资产组合有与指数相同的收益风险，其风险溢价为10%，标准差为30%，投资者将投资资金的50%投向风险资产组合。有
•  
• y*=[E(rp)-rf]/0.01Aσ2p=10%/(0.01×A×302)=0.50
• A=10%/(0.01×0.50×302)=2.22
•  
• 当然，这是根据假定的数据计算出来的风险厌恶程度。实际的值可以通过对市场的实际历史数据回归估计出来，美国的学者估计美国市场的风险厌恶值在2-4之间。
十七、非系统风险与系统风险
• 美国股票1960-1970年随机选样的分散化效应表

• 股数 月均收益率 月均标准差 与市场的相关系数R
1 0.88% 7.0% 0.54
• 2 0.69% 5.0% 0.63
• 3 0.74% 4.8% 0.75
• 4 0.65% 4.6% 0.77
5 0.71% 4.6% 0.79
• 10 0.68% 4.2% 0.85
• 15 0.69% 4.0% 0.88
• 20 0.67% 3.9% 0.89
十八、中国股市的分散与风险
十八、两种风险资产的资产组合
假定投资两种风险资产，一是股票，一是债券（如公司债）。投资者会根据期望收益与方差的情况，考虑自己的风险厌恶程度决定两种资产组合的比例。
假定投资债券的资金为wD，投资股票的部分为1-wD记作wE，rD为债券收益，rE为股票收益，组合收益rp为

rp= wDrD+wErE E(rp)=wDE(rp)+wEE(rE)
sp2=w2DsD2+w2EsE2+2wDwECOV(rDrE) Cov(rD ,rD)=sD2

组合的方差还可以有以下计算公式： 
sP2=wDwDCov(rD,rD)+wEwECov(rE,rE)+2wDwECov(rD,rE) 
十九、相关性对资产组合标准差的效应
如两资产协方差为负，方差将变小。有 Cov(rD，rE)=ρDEsDsE
将此式代入方差计算公式有： sP2=wD2sD2+wE2sE2+2wDwEsDsEρDE

ρ=1时，式右可简化为：sP2=(WDsD+WEsE)2 或 sP=WDsD+WEsE

组合的标准差恰好等于组合中每一部分证券标准差的加权平均值。

当ρ＜1时，组合标准差会小于各部分证券标准差的加权平均值。
当ρ=-1时，该式可简化为：sP2=(wDsE―wEsD)2
组合的标准差为： sP=|wDsE―wEsD|。

此时如果两种资产的比例恰当，标准差可以降低到0，
相关性对资产组合标准差的效应（2）
标准差可以降低到0的资产恰当比例为：

由于： wDsD-wEsE=0， 所以有
wD = sE /(sD+sE)
wE = sD /(sD+sE)=1- wD

以上的公式表明，当ρ=1时，标准差最大，为每一种风险资产标准差的加权平均值；如果ρ＜1，组合的标准差会减小，风险会降低；如果ρ=-1，在股票的比重为wD = sE /(sD+sE)，债券的比重为1- wD时，组合的标准差为0，即完全无风险。
二十、相关性效应举例
• 股票E(rp)为20%，方差为15%，债券E(rB)为10%，方差为10%。
• 给定相关性下的资产组合的标准差
• 投资比重 ρ=-1 ρ=-0.5 ρ=0.5 ρ=1
wD wE 收益 方差 收益 方差 收益 方差 收益 方差
1.00 0.00 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0
0.80 0.20 12.0 3.08 12.0 5.04 12.0 8.96 12.0 10.92
0.60 0.40 14.0 0.12 14.0 3.06 14.0 8.94 14.0 11.88
0.40 0.60 16.0 1.12 16.0 4.06 16.0 9.94 16.0 12.88
0.20 0.80 18.0 6.08 18.0 8.04 18.0 11.96 18.0 13.92
0.00 1.00 20.0 15.0 20.0 15.0 20.0 15.0 20.0 15.0
•   最小方差的资产组合(根据表中的数据，不再细分)
• wD 0.55 0.55 0.70 1.00
• wE 0.45 0.45 0.30 0.00
• E(rP) 14.5 14.5 13.0 10.0
• s2P 0.00 3.03 8.82 10.0
相关性效应举例（2）
• 假定投资可细分，股票与债券的ρ=-0.5。
• 计算组合方差的公式为：
• sp2=w2DsD2+ w2EsE2+2wDwECOV(rD，rE)，
• 用(1-wD)来替代wE，有： 
• sp2=w2DsD2+(1-wD)2sE2+2wD(1-wD)COV(rD，rE)
•  求出wD系数，令其等于0，有
•  wmin(D)=[ sE2- Cov(rD，rE)]/[sD2+sE2-2 Cov(rD，rE)]
•  将前面的数据代入，
• 由于有：Cov(rD，rE)=ρDEsDsE，
相关性效应举例（3）
• 将s2D=10，s2E=15代入此式，
• 有Cov(rD，rZ)=-0.5(3.162)(3.873)=-6.123
• 将此值代入，有
wmin(D)=[15-(-6.123)]/[10+15-2(-6.123)]
=(21.123)/(37.246)=0.567
wmin(E)=1-0.679=0.433
•  这个最小化方差的资产组合的方差为
• s2min=(0.5672´10)+(0.4332´15)
• +(2´0.567´0.433´-6.123)=3.02
• 该组合为相关系数确定下的最小方差的资产组合。
• 这一组合的期望收益为：
• E(rp)= 0.567´10%+0.433´20%=14.33%
二十一、不同ρ下标准差的几何表达
二十二、三种资产的资产组合
二十三、上图的说明
• 两条CAL以rf=6.5%为起点，通过A,B两点。
• A点代表了在股票与债券的ρ=-0.5时具有最小方差组合A，该组合债券比例为56.7%，股票比例为43.3%。它的E(r)为14.33%(风险溢价为7.88%)， s为1.74%。
• 由于TB利率为6.5%，酬报与波动性比率，即资本配置线的斜率为: SA=[E(rA)-rf]/sA=(14.33-6.5)/1.74=4.5
• B点，ρ=-0.5,债券股票各50%，E(r)=15%(风险溢价为8.5%)， s=1.79%。斜率为：
• SB=[E(rB)-rf]/sB=(15-6.5)/1.79=4.75
• 由于B的斜率大于A，B更优。相同方差更高收益。
• 我们知道，两条线切点所对应的组合P最优。
二十五、最优值的计算
• 目的是找出wD，wE值，以获得斜率最大的资本配置线。因此，目标函数就是斜率，即SP，
• 有：Sp=[E(rp)-rf]/σp
•  只要满足权重和=1，就可以求斜率的最大值，有
• Max Sp=[E(rp)-rf]/σp
• 因为∑wI=1，将[E(rp)= wDE(rp)+ wEE(rE)]代入，有
•  Max Sp=[ wDE(rp)+ wEE(rE)-rf]/σp
•  将sP2= wD2sD2+ wE2sE2+2 wDwEsDsEρE代入上式，有
• MaxSp=[wDE(rp)+wEE(rE)-rf]/[wD2sD2+wE2sE2+2wDwEsDsEρE]
• 用1-wD代替wE ，有：MaxSp=
• [wDE(rp)+(1-wD)E(rE)-rf]/wD2sD2+(1-wD)2sE2+2wD(1-wD)sDsEρE
• 用wD 对Sp 求导，令导数为零，有
•  wD={[E(rD)-rf]sE2-[E(rE)-rf]Cov(rD,rE)}/[E(rD)-rf]sE2+[E(rE)-rf]sD2-[E(rD)-rf+E(rE)-rf]Cov(rD,rE)}
• wE=1-wD 
最优值的计算（2）
• 把上例中的数据代入，得到的解为
• wD={[10-6.5]15-[20-6.5](-6.123)}/[10-6.5]15+[20-6.5]10-[10-6.5+20-6.5](-6.123)}= 46.7%
• wE =1-0.46.7=53.3%
• 这一最优风险资产组合的期望收益与标准差分别为
• E(rP)=(0.467×10)+(0.533×20)=15.33%
• s2min=(0.4672×10)+(0.5332×15)+(2´0.467´0.533´-6.123) =3.39%
• 这个最优资产组合的资本配置线的斜率为
• SP=[E(rB)-rf]/sB=(15.33-6.5)/1.84=4.80
•  
• 这也是资产组合P的酬报与波动性比率，这是资产组合P可以得到的最大的斜率，因此也是投资者可以得到的最优资本配置线的斜率。
最优值的计算（3）
• 风险资产与无风险资产的比率为：y*=[E(rp)-rf]/ 0.01Aσ2p，

• 假定A=4，投资者投资于风险资产组合的投资比例为
•  y=[E(rp)-rf]/ 0.01Aσ2p= (15.33-6.5)/(0.01×4×3.39)=65.12
•  
• 由于风险太小，应将其资产的100%全投向风险资产。只有A大于261的时候，投资者才愿意同时投资于风险资产和无风险资产。假定A=300，有
•  y=(15.33-6.5)/(0.01×300×3.39)=86.82% 1-y=13.