导数在初等数学中的应用-毕业论文.doc

江西师范大学13届学毕业论文

江西师范大学数学与信息科学学院学士学位论文

导数在初等数学中的应用
Application of Derivative in 
The Elementary Mathematics

姓 名： 胡磊
学 号： 200907010052
学 院： 数学与信息科学学院
专 业： 数学与应用数学
指导老师： 陈冬香（教授）
完成时间： 2013年4月25号

江西师范大学13届学毕业论文
导数在初等数学中的应用
胡磊

【摘要】导数是高中数学所接触的一个概念，它广泛地应用于众多数学模块中，如在函数的研究中，导数能更直观的形象的反应函数的部分性质，还有在判断方程的根；不等式的证明、恒等式的证明、数列求和 、解析几何中都有广泛的应用。在部分数学模块中，导数的引入给许多常规问题的解决提供了新的方法，突出导数在解决问题的优越性；并且归纳总结导数在应用时应注意的部分问题。
【关键词】 导数 初等数学 解题方法 应用

Application of Derivative in the Elementary Mathematics
Hu Lei
【Abstract】Derivative is a concept which is studied in high school mathematics. It is widely used in numerous math modules such as the research of the Function, in which Derivative can reflect Function’s partial properties more directly and magically. What’s more, Derivative also apply to the judgment of the Function Root, the certification of the Inequity and Identity, the summation of Number Sequence and the Analytic Geometry. In some math modules, the introduction of the Derivative provides new ways for many conventional problems which highlights its superiority in problem-solving. In addition, the essay also sums up and summarizes some problems in the application of the Derivative.
【Key words】 Derivative Mathematic Problem solving method Application

目录

1 引言 1
2 研究导数在函数中的应用 1
2.1 导数在研究函数的单调性中的作用 1
2.2 导数在求函数的极值中的作用 3
2.3利用导数求函数的值域 4
3 研究导数在判别方程根中的应用 4
4 研究导数在不等式中的应用 6
5 研究导数在恒等式的证明中的应用 8
6 导数在数列方面的应用 10
7 研究导数的几何应用 11
8 导数解决实际生活中的问题 12
8.1 成本问题 12
8.2 制作容器 13
9 导数在应用时注意的部分问题 14
总结 15
参考文献 16
致谢 16

II

1 引言
导数的思想最初是由法国数学家费马为研究极值问题而引入的，但是于导数概念直接相联系的是以下两个问题：已知运动规律求速度和已知曲线求它的切线。这是由英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在研究力学和几何学过程中建立起来的。
高中数学新课程打破先讲极限后讲导数的顺序，直接通过实际背景和具体应用实例，即通过与社会生活联系紧密的速度、膨胀率、增长率等变化率引入导数，旨在用导数反映的变化率研究初等函数的性质。
导数是高等数学的重要概念之一, 它不仅是研究可导函数的重要工具，也是解决数学问题的一个新的重要工具，不仅有利于学生加深对导数概念的理解，突出导数方法简化初等数学复杂问题的特点，加深导数在高中数学特别在高考数学中的应用，拓宽高中数学教学的视野，以达到抛砖引玉的作用。在初等函数中，导数可以解决函数中的极值、最值问题；证明函数的单调性；证明不等式；还可以和解析几何相联系，解决切线问题以及判别方程根的问题等。下面就通过一些实例来谈谈导数在初等数学中的应用。

2 研究导数在函数中的应用

2.1 导数在研究函数的单调性中的作用
过去研究函数的单调性时，一般是根据增函数、减函数的定义来研究，即所谓的“定义法”，学习了导数以后就可以利用函数的一阶导数的符号来研究函数的单调性，即“求导法”.求导法还可以比较简单地确定函数的单调区间。
一般地，若函数的某一个区间内可导，当 时，在此区间内为单调增函数，当 时，为此区间内为单调减函数。

例1 证明函数在上是减函数
证明：，，
，
在上是减函数。
例2 求函数的单调区间?
解：，
当时，，故函数在内单调递减，
当时，故函数在骨单调递增，
即函数的单减区间为，单调递增区间为，
由以上两例可以看出，利用求导法可以使解题过程更简单。

例3 求下列函数的单调区间：
1．；
2．；
3．
分析：为了提高解题的准确性，在利用求导的方法确定函数的单调区间
时，也必须先求出函数的定义域，然后再求导判断符号，以避免不该出
现的失误．
解：1．函数的定义域为R，，
令，得或，
∴函数的单调递增区间为（－1，0）和；
令，得或，
∴函数的单调递减区间为和（0，1）．
2．函数定义域为

令，得，
∴函数的递增区间为（0，1）；
令，得，
∴函数的单调递减区间为（1，2）。
3．函数定义域为
令，得或，
∴函数的单调递增区间为和；
令，得且，
∴函数的单调递减区间是和。
说明：依据导数在某一区间内的符号来确定函数的单调区间，体现了形象
思维的直观性和运动性．解决这类问题，如果利用函数单调性定义来确定
函数的单调区间，运算显得繁琐，区间难以找准．学生易犯的错误是将两
个以上各自独立单调递增（或递减）区间写成并集的形式。

2.2 导数在求函数的极值中的作用
可导函数在某一点取得极值的充要条件是该点两侧的导数异号.定义在闭区间上的初等函数必存在最值，它只能在区间的端点或区间内的极值点取得。
一般地，函数在闭区间上可导，则在上的最值求法：
(1) 求函数在上的极值点；
(2) 计算在极值点和端点的函数值；
(3) 比较在极值点和端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值。

例4 求函数的极大值、极小值?
解：的导数，
令解得，
在区间内单调递增，在区间内单调递增，
在区间内单调递减，
因此当时函数有极大值20，当时函数有极小值9。

例5 求函数在区间的最大值与最小值。
解：，
令，则得极值点，
又；，
的最大值为3，最小值为0 。

例6 求函数在上的最大值和最小值。
分析:先求出的极值点，然后比较极值点与区间端点的函数值，即可
得该函数在区间上的最大值和最小值。
解:由于，则
当或时，，
所以，为函数的单调增区间；
当时，，
所以为函数的单调减区间．
又因为，，，，所以，当
时，取得最小值；当时，取得最大值。

2.3利用导数求函数的值域
求函数的值域是中学数学中的重点，也是难点，方法因题而异，不易掌握．但是，如果采用导数来求解，则较为容易，且一般问题都可行。

例7 求函数的值域。
分析:先确定函数的定义域，然后根据定义域判断的正负，进而求出函
数的值域。
解:显然，定义域为，由于
，
又
，
可见当时，，
所以在上是增函数，
而，所以函数的值域是
。

3 研究导数在判别方程根中的应用
利用导数研究方程根的问题，不但使解题过程变得简捷，而且还可以提高同学们对新题型的适应能力。

例8 关于的方程有三个不同的实数根，则的取值范围
是（　　）
A、（-∞，-1] B、（-1，5） C、（1，5） D、（-∞，1]∪[5，+∞）
分析：首先设．求出函数的导数，然后根据导数与单调区间
的关系确定函数的单调区间，再分析可知图象的大致形状及走向，
可知函数图象的变化情况，可知方程有三个不同的实根，求得实数的范围。
解：原方程化为：，
设，
，
令，解得：或，
，解得：，
∴）在取极大值4，在时取极小值-2，
根据的大致图象的变化情况，有三个不同的实数解时，

-2＜＜4，
解得a的取值范围是-1＜＜5，
故选B。

例9 设函数f(x)=−+6x−a
⑴对于任意的实数x ,(x)≥m恒成立,求m的最大值。
⑵若方程f(x)=0有且仅有一个实根,求a的取值范围。
解: ⑴ 略
⑵(x)=3−9x+6=3(x−1)(x−2) ，
因为当x<1时,(x)>0 ;当1<x<2时 ,(x)<0 ;当x>2时,(x)>0，
所以当x=1时, f(x)取得极大值,f(1)= − a ;当x=2时
f(x)取得极小值 f(2)=2−a，

y=f(x)草图如下: y y
1 2 x 1 2 x
图1 图2
要使f(x)=0有且仅有一个实根,必须且只需f(x)取得极小值 f(2)>0或
f(x) ，
取得极大值f(1)<0 解得,a>或a<2 。
变式引申①若方程f(x)=0有且仅有两个实根,求a的取值范围
y=f(x)草图如下: y y
1 2 x 1 2 x
要使f(x)=0有且仅有两个实根,必须且只需f(x)取得极大值 f(1)=0或f(x)
取得极小值 f(2)=0 解得a=2，
变式引申②要使f(x)=0有且仅有三个实根, 求a的取值范围
y=f(x)草图如下 y
0 1 2 x

要使f(x)=0有且仅有三个实根,必须且只需解得2
从上题的解答我们可看出:用导数来探讨y= f(x)图像与x轴的交点问题,有
以下几个步骤:
1、构造函数y= f(x)。
2、求导f(x)。
3、研究函数f(x)的单调性和极值。
4、画出函数y= f(x)的草图,观察与x轴的交点情况,列出不等式或方程。
5、解不等式或方程,得解。

4 研究导数在不等式中的应用
不等式证明的问题，其综合性强、思维量大，因此历来是高考的难点．利用导数证明不等式，就是利用不等式与函数之间的联系，直接或间接等价变形后，结合不等式的结构特征，构造相应的函数．通过导数运算判断出函数的单调性，将不等式的证明转化为函数问题．
例10 求证：不等式在上成立．
分析:通过作差，构造函数
，
和
，
再通过对和求导来判断。
证明:构造函数，则
，
得知在上单调递增，又因为，所以，
即成立。
又构造函数，
则，
得知在上单调递增，又因为，所以，
即成立。
综上所述，原命题成立。

例11 设为任一常数，试证：当时，
证明:当时，取，
因，所以只要证明当时，
或
令，解得稳定点，
当时，，
时，，
所以，是的最小值点。
即有 ，
，
故当时，成立。
注:利用最值证明不等式，如果函数在上不是单调函
数，要证在上有成立，不妨证明在上的最小值；
要证在上有成立，不妨证明在上的最大值。

5 研究导数在恒等式的证明中的应用
在初等数学中一类等式的证明，借助于导数是十分方便的.因为我们只要按照特定的程序，便能较快地得出证明.这种语法的理论依据是由Lagrange中值定理导出的两个推论：
推论1：在区间I上，若，则.
推论2：在区间I上，若，则.
这里C是常数.其证明的一般步骤是：首先选择 （或及），计算并检验（或），从而推出，再在待证的恒等式的未知数允许值内取某特殊值，从而确定常数C。
例12 试证时，。
证明:令时，，
，
，
令时，则，
又，
因此时，。
例13 求证
解：，
两边都有是关于X的函数，求导得：
，
用常规方法求数列（级数）的和，有时技巧性很高，或者计算十分繁琐，
如果借助导数这一工具，常可化繁为简，化难为易。

例14 求。
解：由 ，
即，
对上面恒等式两边取x的导数得
，
令时，，
即所求的和，
如果能根据不同的情况，利用不同的二项展开式的微分式，
以下一些问题便可仿例证明之：
，
，
，
对于一些较复杂的组合问题，用中学传统方法技巧性较高，考虑构造二项式，
再求导数能很快地获得解决.如果不是直接告诉我们答案，让我们求证，我
们也可以用导数来方便解决一些数列和组合的求和问题，再例如，概率论中
研究二项项时遇到计算以下的和的问题。

例15 利用公式推导公式
证明：视a为变量，对的两边求导，
得

，
反过来，也可以利用三倍角的正弦公式导出三倍角的余弦公式.类似地，可
由推
由推出；或者由后者推出前者，.
其实，我们还可以进一步拓展.对于一类仅含三解函数的恒等式，可以推出
另一类仅含三角函数的恒等式。

6 导数在数列方面的应用
数列是高中数学中一个重要的部分，也是个难点。事实上数列可看作是自变量为正整数的特殊的函数，所以可以利用数列和函数的关系，运用导数来解决数列的有关问题。介绍导数在一类数列求和问题中的应用，以开阔视野。

例16 求下列数列之和：
（1）；
（2）；
（3）.
分析:（1）由，可设，
则，而上
式两端求导，并整理得①，
（2）比较（1）（2）两式中的通项可发现，只需对两端同乘以，再对求
导便可得到
，
（3）由可知只需对式两端继续求导便可得到
，
，
注：只要对上述三个求和式中的赋予具体值便可得到一系列数列求和公
式。例如在（1）中令，可得到，
而此前我们只能用“错位相减法”解决。

7 研究导数的几何应用
导数的几何意义：函数在点的导数是曲线在点处的切线斜率．当，表示切线与轴正向夹角为锐角；当，表示切线与轴正向夹角为钝角；当，表示切线与轴平行。
导数在几何中的应用主要与导数的几何意义有关，运用它可以很容易求出函数在任意一点的切线斜率及切线方程。

例17　已知函数在上满足，则曲线
在点处的切线方是 （ ）。
A. B. C. D.
分析：此题没有直接告诉的解析式，仅告诉我们一个有关的关系
式．要求其在处的切线方程，显然要先求在的斜率。
解：根据求导法则，对两边分别对求导后有
，
∴ ，
∴ ，
由于 ， ∴，
则在点处的切线方程为，即，选
A。

例18 在上定义运算：=（为实常数），
记，，，令=。
（1）如果函数在处有极值，试确定的值；
（2）求曲线上斜率为的切线与该曲线的公共点；
分析：此题是一种引入新运算的题目，根据运算规律不难得出的解析
式．求斜率为的切线与该曲线的的公共点，实际上是要首先求出曲线
上切线斜率为的切线方程，然后再求切线方程与曲线的
交点。
解：（Ⅰ）略
（Ⅱ）由题知=

∴
设曲线在点处切线的斜率为，
则有=
∴ ∴或
（1） 若，则，切线方程为
联立，解得或，
∴交点坐标为 ，
（2） 若，则，切线方程为，
联立，解得或，
∴交点坐标为，
综上：斜率为的切线与曲线的交点坐标为，或
，，
从上面可以发现，正确理解并运用导数的几何意义对于解决这些问题是很方
便的。

8 导数解决实际生活中的问题
正在生产生活中,常常会遇到在一定条件下使得利润最大、效率最高、用料最省、强度最大等问题,这些问题称为优化问题.优化问题往往可归结为求函数的最大值或最小值问题,而导数是求最值的有力工具,因此,熟练应用导数解决实际应用问题就非常重要.用导数解决优化问题的基本思路是认真分析实际问题,然后将其转化为数学问题,再用导数求解这个数学问题。

8.1 成本问题

例19 在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂
在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距
50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管
费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用
最省？
解：设∠BCD＝，则BC＝，CD＝，（0＜＜），
∴AC＝50－ ， 甲
设总的水管费用为，依题意有： 河 A C D

＝ 乙 B

，
令，解得：，
根据问题的实际意义，当时，函数取得最小值，
此时，所以：，
∴AC＝50－40＝20（km），即供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，
可使水管费用最省。

8.2 制作容器

例20 在边长为60 cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它
的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的
容积最大？最大容积是多少？
分析：设箱底边长为 cm，则箱高为cm，得箱子容积是箱底边长的函
数，从而求得，令，求出一个值，这个值就是使容器的容积达到
最大。
解：设此时底边的边长是，则高 （），
则 ，
，
 令：，解得：，
，
所以箱底的边长为40cm时,箱子的容积最大，最大容积是16000cm³。
这是一道实际生活中的优化问题，建立的目标函数是三次函数，用过去的知
识求其最值往往没有一般方法，即使能求出，也要涉及到较高的技能技巧。
而运用导数知识，求三次目标函数的最值就变得非常简单，对于实际生活
中的优化问题，如果其目标函数为高次多项式函数，简单的分式函数，简单
的无理函数，简单的指数，对数函数，或它们的复合函数，均可用导数法求
其最值. 可见，导数的引入，大大拓宽了中学数学知识在实际优化问题中的
应用空间。
9 导数在应用时注意的部分问题
从上可知，导数作为一种数学工具，在解决数学问题时应用极为方便，尤其是利用导数可以求函数的单调性、极值、最值以及曲线的切线，只有深刻理解有关知识背景，吃透其含义，才能对有关问题的解决作出理性判断，从而获得正确结果.但在学习过程中由于概念不清而导致错误的情形也时常发生，因此，有必要对导数的应用中常见的误区作一个详细的剖析。
我们知道，若在内可导，为的一个极值点，则那么，其逆命题成立吗？回答是否定的，现举例如下：

例21 已知函数导函数为。
误解：因为的根是x=0,所以x=0是函数的极值点.
图象分析：函数的图象如图１所示，可见x=0不是的极值
点。

　 例22 已知函数导函数为。
误解：因为的根是所以都是函数的极值点。
图象分析：函数的图象如图2所示，易见不是的极值点.只有才是它的极值点，.

　　　 图1 图2
那么，为什么会有上述情况呢？下面从理论上予以分析：在求极值点的过程
中，当求出的根后，必须判断该点附近左右两侧的导数的符
号，符号相反则是极值点，否则，不是极值点.使的点称为的
稳定点（驻点）.在图1中左右、图2中左右，单调性均未发生变
化，故它们均不是所在函数的极值点，可形象地描述为，图1在左右、
图2在处稳定了一下又上升了。
图象固然直观，但并不是任何一个函数我们都能熟知它的图象，下面判断更
为简洁明朗.例2中的根0为二重根，偶次根是不会引起导数的符号
的变化的.又例，函数的导数＝，的根为－１，１，显然二重根１不是极值点，三重根－１是极植点，故的偶次根不是极值点，此方法简单易行。

总结
综合以上分析,导数及其应用是数学高考舞台上必唱“主角”之一，近年来它在高考卷中所占比重也有上升趋势，命题人各自为往往将导数内容和传统的知识有机的结合起来，设计出背景新颖，能力要求广泛的综合试题，借以考查学生的运算能力、其中思维是支柱，应用是归宿 ，它体现了导数作为工具在分析和解决一些问题上的优越性，同时也体现了“在知识网络交汇处设计问题”的命题理念和创新精神，通过以上例析，旨在深化对基础知识、基本技能、基本方法的理解和掌握，提高解题的灵活，展望新一年的各地数学高考，我们有理由大胆预测，导数为背景的命题是将受到命题者的青睐.希望本论文给大家未来的学习和教学一点启发。

参考文献：
[1]岳静．例谈导数在数学中的八大应用[N]．新疆：和田师范专科学校学报,
2006,(06)．
[2]胡林．导数在不等式证明中的应用[J]．北京：科技资讯,2006(36)．
[3]华东师范大学数学系编．数学分析（第三版）[M]．北京：高等教育出版社,2004．
[4]徐妮．中学微积分的教与学研究[M]．湖南：湖南师范大学,2008.
[5]马德炎．常见的代数不等式的证明[J]．北京：高等数学研究,2009．
[6]邓亚轩．利用导数巧求和[J]．黑龙江：数理化学习（高中版）,2006（4）．
24.
[7]祁丽娟．谈在高中数学课程中开设导数及其应用的必要性[J]．甘肃：甘肃教
育,2006（4）．48．
[8]张永宁．曲线切线的导数求解法及其运用[J]．山东：科技信息(科学教研),
2008（2）.
[9]杨爱国，张宪红.导数在三角函数中的应用[J]．江苏：高中数学教与学，2008，
10(7).
[10]蒙诗德．导数在中学数学中的若干应用[J]．湖北：高等函授学报（自然科
学版）,2009，22（5）.
[11]Tom M.Apostol．Mathematical Analysis(Second Endition)[M]．China
Machine Press,2004.

致谢
本文在陈冬香老师的悉心指导下完成.导师严谨的治学态度，一丝不苟的工作作风，让学生爱益非浅，在此，谨致崇高的敬意和衷心的感谢！同时，非常感谢江西师范大学图书馆的工作人员，为本次论文编写提供了宝贵的数据！感谢论文编写期间给予我曾给予帮助的同学，感谢他们一如既往的关心和支持！

16