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傅里叶级数及其应用

专业：数学与应用数学

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姓名：

目 录
引言 3
1 傅立叶级数的计算 5
1.1 傅立叶级数的几何意义 5
1.2 傅里叶级数的敛散性问题 10
1.3 傅里叶级数的展开 11
1.4 关于傅里叶级数展开的个别简便算法 16
1.5 利用二元函数微分中值定理研究函数性质 19
2 傅里叶级数的相关定理及其应用 21
2.1 元函数中值定理及其几何意义 21
2.2 利用元函数微分中值定理研究函数的性质 28
3 微分中值定理在复数域上的推广 32
3.1 复数域上的中值定理 32
3.2 利用复数域内中值定理研究函数性质 36
结论 39
致谢 40
参考文献 41

沈阳大学毕业设计（论文）
摘 要
为了更好地认识和应用微分中值定理，使微分中值定理能够最大的发挥其重要作用，在深刻理解和掌握教材内微分中值定理的基础上，将微分中值定理在元函数以及复数域内推广及应用加以探讨．首先根据一元函数微分中值定理的内容，给出了罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理、泰勒中值定理公式的统一形式．而后又仿照一元函数微分中值定理的形式对教材中二元函数微分中值定理进行补充，给出了二元函数罗尔定理、柯西中值定理和二元函数泰勒中值定理的表述，并且构造“辅助函数”给出了证明过程，然后讨论了二元函数罗尔定理与拉格朗日定理的几何意义．接着通过对比一元函数与二元函数微分中值定理，给出了元函数罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理和泰勒中值定理的表述形式，而后同样借助构造的“辅助函数”把元函数转化为一元函数，进而给出了四个定理的证明，并通过几个典型例题验证了元函数微分中值定理的可用性．最后从二元函数微分中值定理着手，给出了复数域上的罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理的表述形式，同时通过几个例题验证了复数域上微分中值定理的可用性．

关键词：
元函数； 微分中值定理； 几何意义； 复数域

Abstract
In order to understand and make better use of the differential mean value theorem which can play a largest role in application, we explore the generalization and the application of the differential mean value theorem in n-variable functions and complex field based on the comprehension and mastery of the differential mean value theorem in textbook. At first, according to the differential mean value theorem of one-variable function, we give the uniform of Rolle theorem, Lagrange theorem, Cauchy mean value theorem, Taylor mean value theorem. Then we complement the differential mean value theorem of two-variable function in textbook following one- variable function, give the expressions of Rolle theorem, Cauchy mean value theorem, Taylor mean value theorem of two-variable function, constitute auxiliary function and give the proof procedure, discuss the geometric significance of the Rolle theorem and Lagrange theorem of two-variable function. Later, we give the expressions of the Rolle theorem, Lagrange theorem, Cauchy mean value theorem, Taylor mean value theorem of n- variable function by comparing the differential mean value theorem of one-variable function and two-variable function. Similarly, by constituting auxiliary function, we change n-variable function into one-variable function and give the proof of four theorems. Check the availability of the differential mean value theorem by some typical examples. At last, proceed from the differential mean value theorem of two-variable function, we give the expressions of Rolle theorem, Lagrange theorem, Cauchy mean value theorem in complex field and check the availability of the differential mean value theorem by some typical examples at the same time.

Keywords:
n-variable function; differential mean value theorem; geometric significance; complex field

引 言
微分中值定理是微分学的核心定理，它是联系函数与导数的桥梁，微分中值定理把函数在某个区间上的函数值与其导数值联系起来，应用局部状态的导数研究函数在区间上的“整体”性态，它是研究函数性态的重要工具．
在大学四年的学习中，已经掌握了一些有关一元微分中值定理的内容，我们知道一元函数的罗尔定理，拉格朗日定理，柯西中值定理，泰勒中值定理分别建立了函数与一阶导数的关系和函数与高阶导数的关系．在实际应用中，很多情况要突破一元微分学和平面领域这些局限，为了更好的利用微分学中值定理这个重要工具，需要把它的应用范围加以扩展，使之能够在元微分学即维空间以及复数域上得以使用．
本文将分三部分对微分中值定理进行推广，第一部分中，首先从数学分析教材入手，梳理教材中学过的有关一元函数微分中值定理的相关内容，进而研究一元函数罗尔定理，拉格朗日定理，柯西中值定理，泰勒中值定理之间的关系，试图找出统一的中值公式，通过这个公式全面认识这四个定理．其次，对照一元函数微分中值定理的分析研究，探讨二元函数罗尔定理，拉格朗日定理，柯西中值定理，二元函数泰勒中值定理的形式及成立的条件，然后探讨定理之间的关系，找到统一的中值公式，透过这个公式再认识微分中值定理，接着仿照一元函数微分中值定理给出证明及其几何意义．第二部分中，对比一元函数与二元函数微分中值定理，给出元函数微分中值定理的成立条件和中值公式，同样通过构造“辅助函数”证明定理成立，并自由想象多元函数微分中值定理的几何意义．第三部分中，从二元函数微分中值定理入手，仿照二元函数中值定理的形式，探讨微分中值定理在复数域上的表述．接着再通过构造“辅助函数”给出定理证明．
1 傅立叶级数
自然界中周期现象的数学描述就是周期函数．最简单的周期现象，如单摆的摆动等，都可以用正玄函数或余弦函数表示．但是，复杂的周期现象，如热传导、电磁波以及机械振动等，就不能仅用一个正弦函数和余弦函数表示，需要用很多个甚至无限多个正弦函数和余弦函数的叠加表示．因此，傅里叶级数就应运而生．傅里叶级数就是将周期函数展成无限多个正弦函数与余弦函数之和的一种解决问题的简便方法．其主要是研究级数的敛散性问题，从而利用傅里叶级数解决其他生活中的很多相关问题． 傅里叶级数应用到我们生活中的各个角落，主要是在数字信号处理等方面有重要应用，为我们的生活无私的奉献着．

1.1 一元函数中值定理及其几何意义
从“几何”的角度来看待傅里叶级数，当我们把一个周期函数表达成傅里叶级数时，其实我们只是在做一个动作，那就是把函数“投影”到一系列由三角函数构成的坐标轴上．
考虑一个简单的二维平面的例子. 如下图所示，给定两个向量和，从的末端出发作到所在直线的垂线，得到一个跟同向的新向量．这个过程就称作到所在直线的投影，得到的新向量就是沿方向的分量。图中的系数是跟的比例，也就是在轴上的“坐标”．可以用尺规作图来完成投影这个动作，问题是：如果给定的向量和都是代数形式的，怎么用代数的方法求？

图片1：向量到所在直线的投影

知道这个向量是“正交”于的，用数学语言表达就是．
马上就可以得到 c 的表达式如下：

如下图所示，现在引进一组正交基 ，那么可以展开成以下形式

图片2：向量在正交基上的展开
    从图上来看，式其实说的是可以把“投影”到 和这两个坐标轴上，和就是的新“坐标”. 问题是：怎么求和呢？利用之前关于投影的讨论，可以直接得出答案，直接利用式就可以得到如下的表达式：
；  ；
如果想把一个向量在一组正交基上展开，也就是找到这个向量沿每条新“坐标轴”的“坐标”，那么我们只要把它分别投影到每条坐标轴上就好了，也就是把式中的换成新坐标轴就好了. 这些东西跟傅里叶级数有什么关系？给定一个周期是的周期函数，它的傅里叶级数为：

其中系数表达式如下：
；

从几何角度来看，可以用下面这组由无限多个三角函数（包括常数）组成的“正交基”来展开，
从几何投影的观点来看待傅里叶级数，理解变得更加容易，因为容易理解投影的概念；同事，傅里叶级数所有的公式都可以轻松的记住，想忘记都难了. 还可以尝试着用不同的角度去看待同一个问题，这样做会发现更多的简便方法和问题.

1.2 傅里叶级数的敛散性问题
定义１ 若函数在区间除有限个第一类剪短点外皆连续，则称函数在逐段连续． 若函数与它的导函数都逐段连续， 则称函数在逐段光滑．
显然，逐段光滑的函数是可积的．
1.2.1 相关定理
定理１　若是元函数在凸区域上以为周期的在逐段光滑的函数，则函数的傅里叶级数在收敛，其和函数式，即，有．

，使得
．
特别地，当时，变为
．
因为，所以，．即
，．
这就是一元函数的罗尔定理的公式．
元函数罗尔定理的几何意义：在维空间里，闭区域上有连续超曲面，超曲面上每一点都存在超切平面，且在超曲面的底面与面平行，则超曲面上至少有一点，使得过该点的超切平面平行于面．
定理2（元函数拉格朗日定理） 设元函数在凸区域上连续，在的所有内点都可微，对内任意两点，，
，，使得

． 　　 (2-1)
证明 令，．
它是定义在上的一元函数，由定理中的条件知在上连续，在内可微，于是根据一元函数微分中值定理，，使得
．
由复合函数的求导法则

　　　　　　　　．
，．
而=．所以，

．
特别地，当，则由(2-1)式有
，．
这就是一元函数的拉格朗日中值公式．
元函数拉格朗日定理的几何意义：在维空间里，闭区域上有连续超曲面，超曲面上每一点都存在超切平面，超曲面被超平面所切得面，则超曲面上至少有一点，使得过该点的超切曲面平行于面．
定理3（元函数柯西中值定理） 设元函数和在凸开域上连续，在内关于各个变元具有连续的偏导数，对内任意两点，，，则有

　，．
证明 首先证明，用反证法．假设．即
．
根据元函数的罗尔定理，，使得
，
与已知条件矛盾．
其次作辅助函数

，
其中．由定理中的条件知在上连续，在内可微，且，　，根据一元函数的罗尔定理，存在使得．由复合函数的求导法则

　　．
又．所以，

，．
函数在一点的导数表示的是曲线在这点的切线，一元函数微分中值定理表示的是过一点的切线与割线的位置关系．那么当函数变为元函数时，中值定理又对应着怎样的几何意义呢？
通过对一元函数泰勒中值定理与二元函数泰勒中值定理的探讨，不难有这样的问题：在元函数与高阶导数有怎样的关系，泰勒中值定理又会变成怎样的形式呢？
定理4（元函数的泰勒中值定理） 设函数在点
的某一邻域内连续，且具有一阶及二阶连续偏导数，，则，使得

，　
其中．
证明 考虑函数
，．
则
，．
由于函数在点的某一邻域内连续，并且具有一阶及二阶连续偏导数，从而复合函数
在的邻域内对有连续的一阶及二阶导数．由一元函数的泰勒公式可以得到
，． (2-2)
因为
，
　．
所以，
，
．
把代入(2-2)式后再令，便得到泰勒公式

，　　
其中．
如果设函数在点的某一邻域内连续且具有阶连续偏导数，，则，使得

，
其中，这称为拉格朗日余项．
证明 作辅助函数，．
则
，．
因为

　　　　　　，
　　　　．
用数学归纳法可以得到
，．
由一元泰勒公式
　　，． (2-3)
将，，代入(2-3)式得

　　　　　，
其中，．
2.2 利用元函数微分中值定理研究函数的性质
例2.1 设元函数在凸开域上可微，上取定一点且，有，则，有（常数），即是常数函数．
证明　元函数在上满足元函数的拉格朗日定理的条件，根据元函数的拉格朗日定理，，使得

．
因为点，所以，．即
．
取，，有，即是常数函数．
例2.2 若元函数和在凸开域上连续，在内关于各个变元具有连续的偏导数，上取定一点，且对任意的点
，有，．而且
不为零．则，有
，
其中是常数，．
证明　因为元函数和在满足元函数的柯西定理的条件，则

，．
又，所以，，．即
．
所以，

．
即．
设，则，有，其中是常数．
例2.3 证明：设元函数在凸开域上可微，对内任意两点
，，有
，且（是常数且）其中．则
．
证明　因为元函数在上满足元函数的罗尔定理的条件，所以，，使得
，
由已知条件，点，有，．
所以，
，．
因此，．
例2.4 若，证明对某有
．
　　证明 三元函数在凸开域上连续，在的所有内点都可微，则对内任意两点，，根据元函数的拉格朗日定理，，使得

．
即

令，则

．
取，则

，
即．
例2.5　若在区域内的诸偏导数存在且有界，则函数在内连续．
证明 假设，，．任取，设
，
与连接及的直线段(设充分小)全部包含在内，则由元函数的拉格朗日定理，得

　　　　，．
于是，，，使得当时，有
．
所以，函数在点连续．由的任意性知，函数在内连续．
例2.6 将函数在点展成泰勒公式．
解　．，
，，
，，
，
且高于3阶的偏导数都恒为0．于是，由元函数的泰勒公式，有

．
小结　元函数微分中值定理的表述形式与二元函数中值定理的形式类似，都是函数值与各偏导数和增量乘积的关系．在证明上也是采用了构造“辅助函数”的方法．
在实数域中，微分中值定理联系了函数与导数，无论是一元函数、二元函数还是元函数，微分中值定理都对研究函数性质有重要的辅助作用，那么如果函数定义在复数域中，微分中值定理还适用吗？

3 微分中值定理在复数域上的推广
由于二元函数在固定某个变量为暂时常量下可以看作一元函数，再由偏导数的定义，我们可先将一元微分中值定理推广到二元实函数上．而二元实函数与复函数都是以有序数对为自变量的函数，它们之间有着密切的联系，因此在有关性质上也应该有着密切联系，所以又可利用二元实函数的微分中值定理，将实数域上的微分中值定理推广到复数域上，得到解析函数的微分中值定理，为应用导数研究解析函数的性质提供了新工具，构建了有用的平台．
3.1 复数域上的中值定理
引理1（可微的充要条件） 设函数在区域内一点可微的充要条件是：
(1)二元函数、在点可微；
(2)、在点满足方程，即．
上述条件满足时，在点的导数可以表示为下列形式之一：

　　　　．
证明 设在D内一点z可微，则，其中是随而趋于零的复数．
若令，，，则可写成
，
这里是的高阶无穷小．
比较上式两端的实、虚部，即得
，
．
由数学分析二元函数的微分定义即知，与在点可微，且
，．
由与的可微性即知，在点有
，
．
其中与是的高阶无穷小．
再由方程，可设．于是，有

．
所以，．即

．
定理1（费马定理）设函数在定义域内一点的某领域内有定义，并且在处可导，若对任意有
或，
或．
则必有．
证明 根据引理可知函数和函数在点可微，且
．要使，只需，．
先证．由于在定义域内一点可微，则在该点关于每一个自变量的偏导数存在．又因为在点的邻域内的任一点有
或．
故．
同理可证．
定理2（罗尔定理）　若满足下列条件：
(1)在有界闭区域上连续；
(2)在内解析；
(3)，其中为内的两定点，．
则至少存在一点使得．
证明 由解析函数的定义知在内任意一点可导，根据引理得到和在内任一点可微，且的求导公式为
．
由于，其中为内的两定点，．并且
，．
令，则函数在有界闭区域上连续，在内可微，并且有．则至少有一点，使得
，．
因为
，．
所以，
，．
根据引理可知，于是，有
，．
所以，
．
定理3（拉格朗日定理）　若复函数满足下列条件：
(1)在有界闭区域上连续；
(2)在内解析；
(3)与是内的两个定点．
则至少存在一点，使得．
证明 令，则函数在有界闭域上连续，在内解析，并且
，．
根据罗尔定理可得至少存在一点，使得
．
即．
定理4（柯西中值定理）　若函数与满足下列条件：
(1)复函数与在有界闭区域上连续；
(2)复函数与在内解析；
(3)与在内不同时为零；
(4)，与是内的两个定点．
则至少存在一点，使得．
证明 做辅助函数
．
易见在内满足罗尔定理，故存在，使得
．
因为，所以，有
．
　　微分中值定理不仅在实数域内建立了函数与导数的桥梁，在复数域内也适用联系函数与导数．这使中值定理在函数性态研究中有了更全面的理论和更广泛的应用．
3.2 利用复数域内中值定理研究函数性质
例3.1 设函数在复数域内解析，并且，有，证明在内为常数．
证明 任取内的两个互异的点和，若含于．与拉格朗日中值定理可得
．
由已知条件，．所以，．含于，在中取有限个点，使线段含于中，有
．
所以，在内为常数．
例3.2 若函数和在复数域上连续，在内解析，内任取一点，使得且有．则，有，其中是常数．
证明 函数和在复数域上连续，在内解析，内取有两互异点和．即点和点的点的连线在内．根据柯西中值定理，得
，
其中在内．因为，所以，
．
即．
取，则，有
，为常数．
小结　微分中值定理在复数域上仍然成立，罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理与二元函数中值定理有类似的形式．证明也是采用了构造“辅助函数”的方法．在利用导数研究函数性态中，复数域上微分中值定理同样起到了桥梁作用．
微分中值定理不仅在实数域中是研究函数性质的有力工具，在复数域中中值定理仍有形式近似的相关结论，并且对研究复数域函数性质也有所帮助．因此解析函数的微分中值定理为应用导数研究解析函数的性质提供了新的工具，构建了有用的平台．

结　论
经过对微分中值定理的探究，对中值定理有了进一步的认识，整篇文章归纳为以下几点：
(1)本文将一元函数罗尔中值公式、拉格朗日中值公式、柯西中值公式、泰勒中值公式都统一于一个中值公式．从这个公式重新认识了微分中值定理．
(2)二元函数微分中值定理同样包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理、泰勒中值定理．罗尔中值公式和拉格朗日中值公式都可以统一于柯西中值公式．
(3)元函数微分中值定理的表述形式与二元函数微分中值定理的形式类似，都是函数值的改变量与各偏导数与对应增量乘积的关系．定理证明是通过构造辅助函数的方法完成的．
(4)微分中值定理在复数域的推广得到了罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理．
(5)不论是一元函数二元函数还是元函数，或是复数域上微分中值定理，定理的证明都采用了构造“辅助函数”的方法并将其转化为一元函数得以完成．

致　谢
在本次论文的撰写过程中，我得到了 老师的精心指导，不管是从开始定方向还是在查资料准备的过程中，一直都耐心地给予我指导和意见，使我在总结学业及撰写论文方面都有了较大提高； 老师高度的敬业精神和责任感值得我学习．在此，我对徐老师表示诚挚的感谢以及真心的祝福．

参考文献
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