2018新乡市高考数学理第三次模拟测试试题含答案.docx

新乡市高三第三次模拟测试 数学（理科） 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集 ，则 =（ ） A． B． C． D． 2.已知复数 在复平面内对应的点分别为 ，则 （ ） A． B． C． D． 3.已知 上的奇函数 满足：当 时， ，则 （ ） A．-1 B．-2 C．1 D．2 4.某中学有高中生3000人，初中生2000人，男、女生所占的比例如下图所示.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为 的样本，已知从高中生中抽取女生21人，则从初中生中抽取的男生人数是（ ） A．12 B．15 C.20 D．21 5.已知等差数列 中， ，则 （ ） A．2018 B．-2018 C.-4036 D．4036 6.已知实数 满足 ，则 的最大值与最小值之和为（ ） A．-7 B．-2 C. -1 D．6 7.将函数 的图像向右平移 个单位长度后，再将图像上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数 的图像，则 A． B． C. D． 8.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.问人与车各几何？”意思是：今有3人坐一辆车，有2辆车是空的；2人坐一辆车，有9个人需要步行.问人与车各多少？下图是该问题中求人数的程序框图，执行该程序框图，则输出 的值为（ ） A．31 B．33 C.35 D．39 9.下图是某几何体的三视图，则此几何体的表面积为（ ） A． B． C. D． 10.已知三棱锥 中，侧面 底面 ， ，则三棱锥 外接球的体积为（ ） A． B． C. D． 11.已知双曲线 的离心率 ，对称中心为 ，右焦点为 ，点 是双曲线 的一条渐近线上位于第一象限内的点， 的面积为 ，则双曲线 的方程为（ ） A． B． C. D． 12.设实数 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，则 的最大值是（ ） A． B． C. D． 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知非零向量 ，若 与 的夹角等于 与 的夹角，则 ． 14. 的展开式中不含常数项的所有项的系数之和是 ． 15.已知等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 （ 且 ）． 16.已知抛物线 的焦点为 为坐标原点，点 ，射线 分别交抛物线 于异于点 的点 ，若 三点共线，则 的值为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在 中， 分别是内角 的对边，已知 . （1）求 的大小； （2）若 ，求 的面积 . 18.2018年2月22日，在韩国平昌冬奥会短道速滑男子500米比赛中，中国选手武大靖以连续打破世界纪录的优异表现，为中国代表队夺得了本届冬奥会的首枚金牌，也创造中国男子冰上竞速项目在冬奥会金牌零的突破.根据短道速滑男子500米的比赛规则，运动员自出发点出发进入滑行阶段后，每滑行一圈都要经过4个直道与弯道的交接口 .已知某男子速滑运动员顺利通过每个交接口的概率均为 ，摔倒的概率均为 .假定运动员只有在摔倒或达到终点时才停止滑行，现在用 表示该运动员在滑行最后一圈时在这一圈后已经顺利通过的交接口数. （1）求该运动员停止滑行时恰好已顺利通过3个交接口的概率； （2）求 的分布列及数学期望 . 19.在如图所示的几何体中， 平面 . （1）证明： 平面 ； （2）求平面 与平面 所成二面角的正弦值. 20.已知椭圆 的焦距为 ，且 ，圆 与 轴交于点 为椭圆 上的动点， 面积最大值为 . （1）求圆 与椭圆 的方程； （2）圆 的切线 交椭圆 于点 ，求 的取值范围. 21.已知函数 . （1）若 在定义域上不单调，求 的取值范围； （2）设 分别是 的极大值和极小值，且 ，求 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 中，以坐标原点 为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.已知直线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 的极坐标方程为 . （1）求曲线 的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线； （2）若直线 与曲线 的交点分别为 ，求 . 23. 选修4-5：不等式选讲 已知函数 . （1）解关于 的不等式 ； （2）记函数 的最大值为 ，若 ，求 的最小值. 新乡市高三第三次模拟测试 数学参考答案（理科） 一、选择题 1-5: 6-10: 11、12： 二、填空题 13.4或-4 14.-449 15. 16.2 三、解答题 17.解：（1）因为 . 所以 ，即 . 又 ， 所以 . （2）因为 ， 所以 . 由 ，可得 . 又 . 所以 . 18.解：（1）由题意可知： . （2） 的所有可能只为0,1,2,3,4. 则 ，且 相互独立. 故 ， ， ， ， . 从而 的分布列为 0 1 2 3 4
所以 . 19.解：（1）在 中， . 所以 ，所以 为直角三角形， . 又因为 平面 ，所以 . 而 ，所以 平面 . （2）（方法一）如图延长 ， 相交于 ，连接 ， 则平面 平面 . 二面角 就是平面 与平面 所成二面角. 因为 ，所以 是 的中位线. ，这样 是等边三角形. 取 的中点为 ，连接 ，因为 平面 . 所以 就是二面角 的平面角. 在 ，所以 .
（方法二）建立如图所示的空间直角坐标系 ，可得 . . 设 是平面 的法向量，则 令 得 . 取平面 的法向量为 . 设平面 与平面 所成二面角的平面角为 ， 则 ，从而 . 20.解：（1）因为 ，所以 .① 因为 ，所以点 为椭圆的焦点，所以 . 设 ，则 ，所以 . 当 时， ，② 由①，②解得 ，所以 ， . 所以圆 的方程为 ，椭圆 的方程为 . （2）①当直线 的斜率不存在时，不妨取直线 的方程为 ，解得 . ②当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 . 因为直线 与圆相切，所以 ，即 ， 联立 ，消去 可得 ， . = = . 令 ，则 ，所以 = ， 所以 = ，所以 . 综上， 的取值范围是 . 21.解：由已知 ， （1）①若 在定义域上单调递增，则 ，即 在（0，+∞）上恒成立， 而 ，所以 ； ②若 在定义域上单调递减，则 ，即 在（0，+∞）上恒成立， 而 ，所以 . 因为 在定义域上不单调，所以 ，即 . （2）由（1）知，欲使 在（0，+∞）有极大值和极小值，必须 . 又 ，所以 . 令 的两根分别为 ， 即 的两根分别为 ，于是 . 不妨设 ， 则 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 ， 所以 令 ，于是 . ， 由 ，得 . 因为 ， 所以 在 上为减函数. 所以 . 22.解：（1）因为 所以 ， 即 ， 所以曲线 表示焦点坐标为（0,2），对称轴为 轴的抛物线. （2）直线 过抛物线焦点坐标（0,2），且参数方程为 （ 为参数）， 代入曲线 的直角坐标方程，得 ， 所以 . 所以 . 23.解：（1）当 时，由 ，得 ， 所以 ； 当 时，由 ，得 ， 所以 ； 当 时，由 ，得 ，无解. 综上可知， ，即不等式 的解集为 . （2）因为 ， 所以函数 的最大值 . 应为 ，所以 . 又 ， 所以 ， 所以 ，即 . 所以有. . 又 ，所以 ， ，即 的最小值为4.

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