单调函数与有界变差函数省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

第第4.14.1节节 单调函数与有界变差函数单调函数与有界变差函数第四节 微分与不定积分第1页引入 微积分基本定理本章主要目标是要在Lebesgue积分理论中推广这一结果l若f(x)在a,b上连续，则l若F(x)在a,b上连续，则第2页主要内容主要内容为两个单调不减函数差l单调函数可微性：单调函数几乎处处有有限导数l有界变差函数（即两个单调不减函数差）l绝对连续函数（即能写成不定积分形式函数）第3页1 单调函数可微性l定理 设f(x)是a,b上单调不减函数，则f(x)在a,b上几乎处处存在有限导数，且l注：等号不一定成立，即使f(x)是a,b上 连续单调不减函数，比如Cantor函数。Weierstrass在1772结构出一处处连续但无处可导函数（其中 0 b 1 且 a为正奇数）Koch曲线第4页引入 曲线求长第5页2 有界变差函数为f(x)对分点组P变差，称设f(x)是a,b上有限函数，在a,b上任取一分点组 P第6页例闭区间上单调函数一定是有界变差函数 第7页例连续函数不一定是有界变差函数对0,1取分划1/41/21/6第8页3 Jordan分解定理l定理 f(x)是有界变差函数当且仅当f(x)可表成两个非负单调不减函数差注：因为单调函数不连续点全体为一可数集，从而有界变差函数不连续点为一可数集，故Riemann可积,而且几乎处处存在有限导数第9页CantorCantor函数函数（CantorCantor集为三等分去掉中间一个开区间，如此过程一直下去）集为三等分去掉中间一个开区间，如此过程一直下去）()()()()()()()0 1/9 1/3 2/3 1 1/21/81/43/85/87/83/4如这类似取值一直定义下去第10页CantorCantor函数函数a.在G=0,1-P各组成区间上，c.当 时,要求称 为0,1 上Cantor函数。b.要求如前图要求:在第n次去掉2n-1个开区间上依次取值为显然在0,1上单调不减，从而为有界变差函数，而且导函数几乎处处为0，第11页CantorCantor函数在函数在0,10,1上连续上连续注：Cantor函数把长度为零集合连续拉长成长度为1集合不然，若 在x0(0,1)处不连续，则开区间 非空，此区间中每个数都不属于 值域，这与 矛盾。（端点情形类似说明）第12页第二节第二节 不定积分与绝对连续函数不定积分与绝对连续函数第六章 微分与不定积分主讲：胡努春第13页有界变差函数与有界变差函数与不定积分不定积分定理 f(x)是有界变差函数当且仅当f(x)可表成两个非负单调不减函数差l不定积分F(x)是有界变差函数，但由Cantor 函数（是有界变差函数）知道，先取导数再取积分并不能返回，问什么函数满足此性质？第14页1 绝对连续函数则称F(x)是a,b上绝对连续函数注：绝对连续函数一定是一致连续函数，当然是连续函数，也一定是有界变差函数，从而几乎处处有有限导数。设F(x)是a,b上有限函数，若使对a,b中任意有限个互不相交开区间第15页例利用积分绝对连续性即可第16页2 Lebesgue不定积分与微分关系l定理 若F(x)在a,b上绝对连续，则推论 F(x)在a,b上绝对连续当且仅当l定理 若f(x)在a,b上Lebesgue可积，则第17页