角平分线证明课件省公开课一等奖新名师优质课比赛一等奖课件.pptx

九年级数学（上册）第一章九年级数学（上册）第一章 证实证实(二二)1.41.4角平分线角平分线OCB1A2PDE第1页已知已知:如图如图,OC,OC是是AOBAOB平分线平分线,P,P是是OCOC上任意一点，上任意一点，PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分别是垂足分别是D,E.D,E.求证求证:PD=PE.:PD=PE.而而OPDOPBOPDOPB条件条件由已知易知它满足公理由已知易知它满足公理(AAS).(AAS).故结论可证故结论可证.你能写出规范证实过程你能写出规范证实过程.分析分析分析分析:要证实要证实要证实要证实PD=PE,PD=PE,PD=PE,PD=PE,只要证实它们所在只要证实它们所在只要证实它们所在只要证实它们所在OPDOPBOPDOPBOPDOPBOPDOPB，你还记得角平分线上点有什么性质吗你还记得角平分线上点有什么性质吗?角平分线上点到这个角两边距离相等角平分线上点到这个角两边距离相等.你能证实这一结论吗你能证实这一结论吗你能证实这一结论吗你能证实这一结论吗?OCB1A2PDE角角 平平 分分 线线 回顾回顾 思索思索1 1第2页几几 何何三三 种种 语语 言言定理定理 角平分线上点到这个角两边距离相等角平分线上点到这个角两边距离相等.提醒提醒:这个结论是经惯用来证实两条线段相等依据之一这个结论是经惯用来证实两条线段相等依据之一这个结论是经惯用来证实两条线段相等依据之一这个结论是经惯用来证实两条线段相等依据之一.如图如图如图如图,OCOCOCOC是是是是AOBAOBAOBAOB平分线平分线平分线平分线,P P P P是是是是OCOCOCOC上任意一点上任意一点上任意一点上任意一点,PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分别是垂足分别是垂足分别是垂足分别是D,E(D,E(D,E(D,E(已知已知已知已知)PD=PE(PD=PE(PD=PE(PD=PE(角平分线上点到这个角平分线上点到这个角平分线上点到这个角平分线上点到这个 角两边距离相等角两边距离相等角两边距离相等角两边距离相等).).).).OCB1A2PDE开开启启 智智慧慧第3页 你你你你能写出能写出“定理定理 角平分线上角平分线上点到这个角两边距离相等点到这个角两边距离相等”逆命逆命题吗题吗?逆命题逆命题 在一个角内部在一个角内部,且到角两边距离相等点且到角两边距离相等点,在在这个角平分线上这个角平分线上.它是真命题吗它是真命题吗?假如是假如是.请你证实它请你证实它.OCB1A2PDE思索分析思索分析第4页已知已知:如图如图,PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分别是垂足分别是D,E.D,E.且且PD=PE,PD=PE,求证求证:点点P P在在AOBAOB平分线上平分线上.分析分析:要证实点要证实点P P在在AOBAOB平分平分线上线上,能够先作出能够先作出过点过点P P射线射线OC,OC,然后证实然后证实1=2.1=2.你能写出规范证实过程你能写出规范证实过程.C12OBAPDE思索分析思索分析第5页逆定理逆定理 在一个角内部在一个角内部,且到角两边距离且到角两边距离 相等点相等点,在这个角平分线上在这个角平分线上.如图如图如图如图,PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分别垂足分别垂足分别垂足分别 是是是是D,E,D,E,D,E,D,E,PD=PE,PD=PE,(已知已知已知已知),),),),点点点点P P P P在在在在AOBAOBAOBAOB平分线上平分线上平分线上平分线上.(在一个角内部在一个角内部在一个角内部在一个角内部,且到角两边距离且到角两边距离且到角两边距离且到角两边距离 相等点相等点相等点相等点,在这个角平分线上在这个角平分线上在这个角平分线上在这个角平分线上).).).).提醒提醒:这个结论又是经惯用来证实这个结论又是经惯用来证实这个结论又是经惯用来证实这个结论又是经惯用来证实点在直线上点在直线上点在直线上点在直线上 (或或或或直线经过直线经过直线经过直线经过某一某一某一某一点点点点)依据之一依据之一依据之一依据之一.OCB1A2PDE几几 何何三三 种种 语语 言言 我能行我能行1 1第6页已知已知已知已知:AOB,:AOB,:AOB,:AOB,如图如图如图如图.求作求作求作求作:射线射线射线射线OC,OC,OC,OC,使使使使AOC=BOC.AOC=BOC.AOC=BOC.AOC=BOC.用用 尺尺 规规 作作 角角 平平 分分 线线1.1.1.1.在在在在OAOAOAOA和和和和OBOBOBOB上分别截取上分别截取上分别截取上分别截取OD,OE,OD,OE,OD,OE,OD,OE,使使使使OD=OE.OD=OE.OD=OE.OD=OE.2.2.2.2.分别以点分别以点分别以点分别以点D D D D和和和和E E E E为圆心为圆心为圆心为圆心,以大于以大于以大于以大于DE/2DE/2DE/2DE/2长长长长 为半径作弧为半径作弧为半径作弧为半径作弧,两弧在两弧在两弧在两弧在AOBAOBAOBAOB内交于点内交于点内交于点内交于点C.C.C.C.3.3.3.3.作射线作射线作射线作射线OC.OC.OC.OC.你能说明你能说明你能说明你能说明OCOCOCOC为何是为何是为何是为何是AOBAOBAOBAOB平分线吗？平分线吗？平分线吗？平分线吗？提醒提醒:作角平分线是最基本尺规作图作角平分线是最基本尺规作图作角平分线是最基本尺规作图作角平分线是最基本尺规作图,这种方法要确实掌握这种方法要确实掌握这种方法要确实掌握这种方法要确实掌握.A AB BOOC C则射线则射线则射线则射线OCOCOCOC就是就是就是就是AOBAOBAOBAOB平分线平分线平分线平分线.D DE E尺尺 规规 作作 图图 P32P32页做一做页做一做作法作法:第7页 1、如图如图,AD,AE,AD,AE分别是分别是ABCABC中中A A内内角平分线和外角平分线角平分线和外角平分线,它们有什么关它们有什么关系系?你能说出结论并能证实它你能说出结论并能证实它.E ED DA AB BC CF F挑挑 战战 自自 我我 隋堂练习隋堂练习1 1第8页 2 2、如图、如图,一目标在一目标在A A区区,到期公路到期公路,铁路距离相铁路距离相等等,离公路与铁路交叉处离公路与铁路交叉处500m.500m.在图上标出它位在图上标出它位置置(百分比尺百分比尺 1:20 000).1:20 000).学学 以以 致致 用用 隋堂练习隋堂练习2 2第9页定理定理定理定理 角平分线上点到这个角两边距离相等角平分线上点到这个角两边距离相等角平分线上点到这个角两边距离相等角平分线上点到这个角两边距离相等.OCOCOCOC是是是是AOBAOBAOBAOB平分线平分线平分线平分线,P,P,P,P是是是是OCOCOCOC上任上任上任上任 意一点意一点意一点意一点,PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分别是垂足分别是垂足分别是垂足分别是D,E(D,E(D,E(D,E(已知已知已知已知)PD=PE(PD=PE(PD=PE(PD=PE(角平分线上点到这个角两边距离相等角平分线上点到这个角两边距离相等角平分线上点到这个角两边距离相等角平分线上点到这个角两边距离相等).).).).OCB1A2PDE回回 味味 无无 穷穷小结小结 拓展拓展逆定理逆定理逆定理逆定理 在一个角内部在一个角内部在一个角内部在一个角内部,且到角两边距离相等点且到角两边距离相等点且到角两边距离相等点且到角两边距离相等点,在这在这在这在这 个角平分线上个角平分线上个角平分线上个角平分线上.PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分别是垂足分别是垂足分别是垂足分别是D,E D,E D,E D,E，且，且，且，且PD=PEPD=PEPD=PEPD=PE，(已知已知已知已知),),),),点点点点P P P P在在在在AOBAOBAOBAOB平分线上平分线上平分线上平分线上.(.(.(.(在一个角内部在一个角内部在一个角内部在一个角内部,且到角两边距且到角两边距且到角两边距且到角两边距 离相等点离相等点离相等点离相等点,在这个角平分线上在这个角平分线上在这个角平分线上在这个角平分线上).).).).用尺规作角平分线用尺规作角平分线.邻补角角平分线之间关系邻补角角平分线之间关系.第10页作业作业、基础作业：、基础作业：书本书本3434页习题页习题1.81.8第第1 1、2 2、3 3题题2 2、预习作业、预习作业：书本书本P33P33页页“读一读读一读”第11页1.1.利用尺规作出三角形三个内角平分线利用尺规作出三角形三个内角平分线.先分别作出不一样形状三角形先分别作出不一样形状三角形,再按要求去作图再按要求去作图.你发觉了什么？你发觉了什么？作作 业业 分分 析析 独立作业独立作业1 1第12页2.2.如图如图,求作一点求作一点P,P,使使PC=PD,PC=PD,而且点而且点P P 到到AOBAOB两边距离相等两边距离相等.A AB BOOD D C C作作业业分分析析 独立作业独立作业2 2作作业业分分析析 独立作业独立作业2 2E EF FGGP P 第13页3.3.已知已知:如图如图,在在ABCABC中中,AD,AD是它角平分是它角平分 线线,且且BD=CD,DEAB,DFAC,BD=CD,DEAB,DFAC,垂足垂足 分别是分别是E,F.E,F.求证求证:EB=FC.:EB=FC.做完题目后做完题目后,一定要一定要“悟悟”到点东西到点东西,纳纳入到自己认知结构中去入到自己认知结构中去.B BA AE ED DC CF F作作 业业 分分 析析 独立作业独立作业3 3第14页 如图，浑南新区一个工厂，在公路西侧，如图，浑南新区一个工厂，在公路西侧，到公路距离与到河岸距离相等，而且与河上公到公路距离与到河岸距离相等，而且与河上公路桥较近桥头距离为路桥较近桥头距离为300米。你能尝试确定工厂米。你能尝试确定工厂位置吗？并说明理由。位置吗？并说明理由。问题引入问题引入 北北百分比尺百分比尺1：0 第15页 例例1 1、如图，某开发区有一个工厂在公路西、如图，某开发区有一个工厂在公路西侧，到公路距离与到河岸距离相等，而且与河侧，到公路距离与到河岸距离相等，而且与河上公路桥较近桥头距离为上公路桥较近桥头距离为300300米。你能尝试确定米。你能尝试确定工厂位置吗？并说明理由。工厂位置吗？并说明理由。北北百分比尺百分比尺1：0 第16页实际问题实际问题数学化数学化数学问题源于生活实践，反过来数学又为生活实践服务数学问题源于生活实践，反过来数学又为生活实践服务数学问题源于生活实践，反过来数学又为生活实践服务数学问题源于生活实践，反过来数学又为生活实践服务OCP300m例例1:第17页例例2:2:已知：如图，已知：如图，E E是是BACBAC平分线平分线上一点，上一点，EBABEBAB，ECACECAC，B B，C C分别分别是垂足。你能得到哪些结论？为何？是垂足。你能得到哪些结论？为何？BAEC第18页例例3:已知：如图所表示：已知：如图所表示：PA，PC分别是分别是ABC 外角外角MAC与与NCA平分线，它们交于平分线，它们交于 P，PD BM于于M，PF BN于于F。求证：点求证：点P在在 MBN平分线上平分线上EBNCFPADM第19页活动与探究活动与探究:已知：如图，已知：如图，1=2，P为为BN上一点，且上一点，且PD BC于于D，AB+BC=2BD求证：求证：BAP+BCP=180E123BAPDCN12M方法总结：方法总结：（1）有角平分线（或证有角平分线（或证实是角平分线）时，实是角平分线）时，过角平分线上点向过角平分线上点向两边作垂线段，在两边作垂线段，在利用角平分线判定利用角平分线判定或性质证题则问题或性质证题则问题往往快速得解；往往快速得解；（2）有线段和差）有线段和差关系时，惯用截长关系时，惯用截长补短法作辅助线化补短法作辅助线化和差关系为相等关和差关系为相等关系。系。第20页角平分线角平分线ODEABPC定理定理1 1：在角平分线上点到这：在角平分线上点到这个角两边个角两边距离相等距离相等。定理定理2 2：到一个角两边：到一个角两边距离相距离相等等点，在这个角平分线上。点，在这个角平分线上。角平分线是到角角平分线是到角两边距离两边距离相等相等全部点集合全部点集合 线段垂直平分线线段垂直平分线定理：线段垂直平分线上点和这定理：线段垂直平分线上点和这条线段两个端点条线段两个端点距离相等距离相等。逆定理：和一条线段两个端点逆定理：和一条线段两个端点逆定理：和一条线段两个端点逆定理：和一条线段两个端点距距距距离相等离相等离相等离相等点，在这条线段垂直平分点，在这条线段垂直平分点，在这条线段垂直平分点，在这条线段垂直平分线上。线上。线上。线上。线段垂直平分线能够看作是和线线段垂直平分线能够看作是和线段段两上端点两上端点距离相等距离相等全部点集合全部点集合ABMNP点集合是一条射线点集合是一条射线点集合是一条直线点集合是一条直线第21页问题探讨问题探讨：1 1、如图，、如图，如图所表示如图所表示ABC中，中，AD BC于于D，B=2 C。求证：。求证：AB+BD=CD。若在若在ABCABC中，中，ADBCADBC于于D D，AB+BD=DC AB+BD=DC 试问：试问：B B与与C C是什么是什么关系？关系？OAB.C.D2 2、在、在V V型公路（型公路（AOBAOB）内部，）内部，有两个村庄有两个村庄C C、D D。你能选择一个。你能选择一个纺织厂厂址纺织厂厂址P P，使，使P P到到V V型公路距型公路距离相等，且使离相等，且使C C、D D两村工人上下两村工人上下班旅程一样吗？班旅程一样吗？作业（必做题）：书本：习题，配套练习作业（必做题）：书本：习题，配套练习第22页问题探讨问题探讨：3、已已知知：如如图图所所表表示示，ABC中中，C=2 B，1=2，求求证证：AB=AC+CD。124、如图所表示，在、如图所表示，在ABC中，中，BAC=90，AB=AC，BE平平分分ABC，CE BE，求证：求证：CE=BD。第23页