边缘分布.ppt

2.5.1边缘分布函数与边缘分布密度2.5.2随机变量的独立性2.5.3条件分布,2.5边缘分布,设(X,Y)的联合分布函数F(x,y)则X和Y的边缘分布函数FX(x),FY(y)分别为:,2.5.1边缘分布函数与边缘分布密度,(i=1,2,…)(j=1,2,…),例如,1.离散型二维随机向量的边缘分布,(i=1,2,…)(j=1,2,…),设(X,Y)的联合分布列为pij=P{X=xi,Y=yj},则(X,Y)的边缘分布列为,FY(y)=F(+∞,y)=,FX(x)=F(x,+∞)=,(X,Y)的边缘分布函数为：,即,1.离散型二维随机向量的边缘分布,你只要把每列的概率相加放在该列的最下面，把每行的概率相加放在该行的最右面，就大功告成了。把第一行和最后一行拿出来就是X的分布；把第一列和最后一列拿出来就是Y的分布。,例1已知随机向量（X，Y）的联合分布如下表，求关于X和Y的边缘分布。,边缘分布pi.和p.j分别是联合分布表中第i行和第j列各联合概率之和．,,设连续型随机变量（X，Y）的联合概率密度函数为f(x,y),由于,所以,例2设随机变量（X，Y）的密度函数为,试求参数k的值及X和Y的边缘密度。,通常分别称上式为二维随机变量关于X和Y的边缘密度函数或边缘密度。,2.二维连续型随机变量边缘概率密度函数,解根据联合密度函数的性质，有,所以,X的边缘密度函数,当0≤x≤1时，,当0>x或x>1时,,故,同理可得,解令,可见X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22).,例3设(X，Y)服从N(μ1，σ12；μ2，σ22；ρ)，求边缘密度。,定义设两个随机变量X,Y,若对任意的实数x,y有,F(x，y)=FX(x)FY(y),P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y},则称随机变量X与Y是相互独立的。,1.(X,Y)是离散型,若(X,Y)的所有可能取值为(xi,yj)(i,j=1,2,…),则X与Y相互独立的充分必要条件是对一切i,j=1,2,…,有,P{X=xi，Y=yj}=P{X=xi}P{Y=yi},即,2.5.2随机变量的独立性,定理1若(X,Y)的f(x,y)处处连续，则X和Y相互独立的充分必要条件是f(x,y)=fX(x)fY(y),2.(X,Y)是连续型,证明充分性：若f(x,y)=fX(x)fY(y)，,则,必要性：若X、Y互相独立，则F(x,y)=FX(x)FY(y)，,故f(x,y)=fX(x)fY(y),即,例4如果二维随机变量的概率分布用下列表格给出那么当,取什么值时，X与Y才能相互独立？,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,解先写出联合分布的表格形式，并计算边缘分布．,,联立以上两式求得,若与相互独立，则对于所有的i,j，都有pij=pi.p.j因此,例5设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数x=2和y=1的指数分布，求,,,解据题意，X的密度函数为,,Y的密度函数为,,因为X与Y相互独立，所以X与Y的联合密度为：,,,,于是,,,今向一个半径为r的圆内随机投点，则点落在圆内面积相等的不同区域内的概率相等，即落点坐标(X,Y)服从D：x2+y2≤r2区域上的均匀分布.（1）判断X与Y是否相互独立；（2）计算落点（X，Y）到原点的距离不超过a的概率(0<a0，有P{x0,若,存在,则称此极限为X=x的条件下Y的条件分布函数。,且有,P{Y≤y|X=x}或FY|X(y|x),记作,二、连续型随机向量(X,Y)的条件分布,事实上，若f(x,y)在点(x,y)处连续，fx(x)连续，且fx(x)>0,则有,对y求导，得到在条件X=x下Y的条件概率密度,类似地，在条件Y=y下，X的条件分布函数及条件概率密度为,例7设二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布如下表.求Y在x=0和x=1条件下的条件概率分布.,解(X,Y)关于X的边缘概率分布为,,,,,,,得在x=0和x=1条件下Y的条件概率分布为：,由公式,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2,0,2,0,-1,-1,