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行列式的计算

马志娥
(西北师范大学数学与统计学院, 甘肃, 兰州 , 730070)

摘要: 行列式是研究许多学科的重要工具,因此行列式的计算是大家共同关注的问题.本文介绍了几种特殊而且行之有效的行列式的计算方法.
关键词: 范德蒙行列式; 降阶法; 升阶法; 递推法; 数学归纳法; 代数余子式的计算; 拉普拉斯定理展开
符号说明: 表示第 行
表示第列
表示行列式元素的余子式
表示行列式元素的代数余子式
表示第 行的倍加到第行
表示第 列的倍加到第列
The Calculation of the Determinant

MA Zhi-e
(College of Mathematics and Statistics, Northwest Normal University,
Lanzhou 730070, Gansu, China)

Abstract: The determinant is an important tool to study many disciplines, so the calculation of the determinant is a commonly concerned problem. Several particular and effective methods of calculating the determinant are introduced in this paper.
Key words: Vandermonde determinant; reducing order method; ascending order method; recursive methods; mathematical induction; calculation of algebraic complement; method of Laplace expansion;

引言

使用行列式按行（列）展开,可以将行列式写成低一阶的行列式的代数和,从而将行列式降一阶.但是,由于展开式是项代数和,因此计算量任很大,可以考虑一些减少计算量的方法,并且选择最佳计算方法.行列式是研究许多学科的重要工具,因此行列式的计算是大家共同关注的问题.课本中只介绍了几种计算方法,本文主要介绍几种特殊而且行之有效的行列式的计算方法,具有针对性.

一、化行列式为三角行列式
使用行列式的性质将行列式化为三角行列式
㈠ 箭形行列式
例1.1 计算行列式
解
㈡ 可化为箭形的行列式
例1.2 计算阶行列式
解

㈢ 行（列）和相等的行列式
例1.3 计算阶行列式
解

㈣ 相邻行（列）元素差的行列式
以数字为（大部分）元素,且相邻两行（列）元素相差1的阶行列式可如下计算:
自第一行（列）开始,前行（列）减去后行（列）,或自第行（列）开始,后行（列）减去前行（列）,即可出现大量元素为或的行列式.

例1.4.1 计算阶行列式
解 由

例1.4.2 计算阶行列式
解

二、利用范德蒙行列式结果计算
当行列式各行（列）都是某元素的不同次幂的形式,使用行列式的性质将行列式整理成范德蒙行列式.
例2 计算行列式
解 考虑阶范德蒙行列式

三、降阶法
使用行列式的性质将行列式的某行（列）化为只有一个非零元素,然后按这一行（列）展开,这样就可以将行列式降一阶,每展开一次,行列式的次数可以降低一阶,如此继续进行直到将行列式降到二阶行列式并求其值.这种方法对阶数不高的数字行列式比较适用.

例3 计算阶行列式
解

四、升阶法
升阶法（也称加边法或镶边法）,是在原行列式的基础上增加一行一列（即升一阶）且保持原行列式不变的情况下计算行列式的一种方法.可用升阶法计算的行列式一般应满足各行列含有共同元素的特点,且化简后常变成箭形行列式.
例4.1 计算阶行列式
解

例4.2 计算阶行列式
解

五、递推法
使用行列式的性质,将所求的阶行列式用同样形式的阶行列式表示出来,建立与之间的递推关系,有时还可以将用同样形式的比阶更低阶的行列式表示,建立他们之间的递推关系,从而找到递推公式,最终求出阶行列式的值.
例5.1 证明
证明

例5.2 计算阶行列式
解

得,

… ①

… ②
联立①②得,

,

六、数学归纳法
当已知一个阶行列式的结果,要证明其等式对于任意的自然数都成立,常使用数学归纳法证明.如果未知阶行列式的结果,也可以先计算当时的行列式值,推导出阶行列式的结果,然后使用数学归纳法证明结论的正确性.这种方法通常用在证明阶行列式的等于某个值的题目中.
例6 证明
证明

综上可知, .

七、代数余子式的计算

例7 设阶行列式,求第一行各元素的代数余子式之和
解 显然第一行各元素的代数余子式之和可以表示成

八、利用拉普拉斯展开定理计算
拉普拉斯定理是行列式按一行或一列展开定理的推广.为了灵活应用拉普拉斯展开定理,必须正确理解其含义.该定理是说在阶行列式中任意选定个行（列）（且这个行（列）不一定相连）,位于这行（列）中所有阶子式（共个）与其相应的代数余子式的乘积之和等于原行列式,即

需要提醒的是是的代数余子式,计算时不要遗漏其符号,即

在利用拉普拉斯定理进行计算时,为使计算简便,一般选含零多的个行（列）展开.
例8 利用拉普拉斯定理计算阶行列式

解

九、一题多解
例9 计算阶行列式
解法1
然后提取第一个公因子,可得,

解法2

解法3

解法4

参考文献
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【2】赵慧斌,高旅瑞.线性代数专题分析与解题指导.北京大学出版社,2007,8
【3】张天德,蒋晓芸.线性代数习题精选精解.山东科学技术出版社, 2009,12
【4】上海交通大学数学系编. 线性代数习题与精解.2版. 上海交通大学出版社, 2004,6
【5】刘书田,王中良编. 线性代数学习辅导与解题方法.高等教育出版社, 2003,7
【6】徐仲,陆全等.高等代数考研教案. 2版.西北工业大学出版社, 2009,6
【7】北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编.高等代数.第3版.高等教育出版社, 2003,2
【8】张禾瑞.高等代数同步辅导及习题全解.第5版.中国矿业大学出版社, 2009,2

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