可分离变量微分方程ppt市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

转化转化 可分离变量微分方程可分离变量微分方程 第二节第二节可分离变量方程可分离变量方程 第1页分离变量方程解法分离变量方程解法:设设 y (x)是方程是方程解解,两边积分两边积分,得得 则有恒等式则有恒等式 当当G(y)与与F(x)可微可微 G(y)g(y)0,时时,由由确定隐函数确定隐函数 y(x)是是解解.则有则有称称为方程为方程隐式通解隐式通解,或或通积分通积分.一样一样,当当F(x)=f(x)0 时时,上述过程可逆上述过程可逆,由由确定隐函数确定隐函数 x(y)也也是是解解.第2页例例1.求微分方程求微分方程通解通解.解解:分离变量得分离变量得两边积分两边积分得得即即(C 为任意常数为任意常数)或或说明说明:在求解过程中在求解过程中每一步不一定是同解每一步不一定是同解变形变形,所以可能增、所以可能增、减解减解.(此式含分离变量时丢失解此式含分离变量时丢失解 y=0)第3页例例2.解初值问题解初值问题解解:分离变量得分离变量得两边积分得两边积分得即即由初始条件得由初始条件得 C=1,(C 为任意常数为任意常数)故所求特解为故所求特解为第4页例例3.求下述微分方程通解求下述微分方程通解:解解:令令 则则故有故有即即解得解得(C 为任意常数为任意常数)所求通解所求通解:第5页练习练习:解法解法 1 分离变量分离变量即即(C 0 )解法解法 2故有故有积分积分(C 为任意常数为任意常数)所求通解所求通解:第6页例例4.子含量子含量 M 成正比成正比,求在求在衰变过程中铀含量衰变过程中铀含量 M(t)随时间随时间 t 改变规律改变规律.建模建模:相关变量相关变量,有有:(初始条件初始条件)已知已知 t=0 时铀含量为时铀含量为已知放射性元素铀衰变速度与当初未衰变原已知放射性元素铀衰变速度与当初未衰变原时间时间铀含量铀含量问题问题,求求:条件条件:第7页解解:依据题意依据题意,有有(初始条件初始条件)对方程分离变量对方程分离变量,即即利用初始条件利用初始条件,得得故所求铀改变规律为故所求铀改变规律为然后积分然后积分:M 成正比成正比,求在求在衰变过程中铀含衰变过程中铀含量量M(t)随时间随时间 t 改变规律改变规律.已知已知 t=0 时铀含量为时铀含量为已知放射性元素铀衰变速度与当初未衰变原已知放射性元素铀衰变速度与当初未衰变原子含量子含量 例例4.第8页例例5.成正比成正比,求求并设降落伞离开跳伞塔时并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间函数关系降落伞下落速度与时间函数关系.建模建模:相关变量相关变量,有有:(初始条件初始条件)时间时间,下落速度下落速度问题问题,求求:条件条件:依据牛顿第二定律依据牛顿第二定律力力第9页解解:依据牛顿第二定律列方程依据牛顿第二定律列方程初始条件为初始条件为对方程分离变量对方程分离变量,然后积分然后积分:得得利用初始条件利用初始条件,得得代入上式后化简代入上式后化简,得特解得特解t 足够大时足够大时成正比成正比,求求并设降落伞离开跳伞塔时并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间函数关系降落伞下落速度与时间函数关系.例例5.第10页例例6.有高有高 1m 半球形容器半球形容器,水从它底部小孔流出水从它底部小孔流出,开始时容器内盛满了水开始时容器内盛满了水,从小孔流出过程中,水面高度 h 随时间 t 改变规律.求水求水小孔横截面积小孔横截面积建模建模,相关变量相关变量,有有:时间时间,体积体积问题问题,求求:条件分析条件分析:高度高度由水力学知由水力学知,水从孔口流出流量为水从孔口流出流量为流量系数流量系数孔口截面面积孔口截面面积即即(1)重力加速度重力加速度解解:第11页设在设在内水面高度由内水面高度由 h 降到降到 对应下降体积对应下降体积(1)(2)综合综合(1)与与(2)式式,得得:微量分析微量分析 列方程列方程第12页所以得微分方程定解问题所以得微分方程定解问题:将方程分离变量将方程分离变量:两端积分两端积分,得得第13页利用初始条件利用初始条件,得得所以容器内水面高度所以容器内水面高度 h 与时间与时间 t通解通解有以下关系有以下关系:第14页内容小结内容小结1.可分离变量方程求解方法可分离变量方程求解方法:分离变量后积分分离变量后积分;依据定解条件定常数依据定解条件定常数.(1)找出事物共性及可贯通于全过程规律列方程找出事物共性及可贯通于全过程规律列方程.惯用方法惯用方法:1)依据几何关系列方程依据几何关系列方程(如如:P263,5(2)2)依据物理规律列方程依据物理规律列方程(如如:例例4,例例 5)3)依据微量分析列方程依据微量分析列方程(如如:例例6)2.解微分方程应用题方法和步骤解微分方程应用题方法和步骤(2)利用反应事物个性特殊状态确定定解条件利用反应事物个性特殊状态确定定解条件.(3)求通解求通解,并依据定解条件确定特解并依据定解条件确定特解.作业作业 P 269 1(1)(5)(7)(10);2(3)(4);4;5第15页课堂练习课堂练习第16页课堂练习参考答案课堂练习参考答案第17页课堂练习参考答案课堂练习参考答案第18页备用题备用题1 已知曲线积分已知曲线积分与路径无关与路径无关,其其中中求由求由确定隐函数确定隐函数解解:因积分与路径无关因积分与路径无关,故有故有即即所以有所以有第19页备用题备用题2 求以下方程通解求以下方程通解:提醒提醒:(1)分离变量分离变量(2)方程变形为方程变形为第20页