全概率公式与贝叶斯公式.ppt

１.5全概率公式与贝叶斯公式,1.5.1全概率公式,1.5.2贝叶斯公式,1.5.1全概率公式,引例：设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取2球，求从乙盒取出2个红球的概率．,解设A1＝从甲盒取出２个红球;A2＝从甲盒取出２个白球;A3＝从甲盒取出1个白球1个红球；B=从乙盒取出２个红球;则A1,A2,A3两两互斥，且A1∪A2∪A3＝,所以B=B＝(A1∪A2∪A3)B＝A1B∪A2B∪A3B,P(B)=P(A1B∪A2B∪A3B)=P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B)=P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3),思考：这种解法是否可一般化？,定义1设事件Ａ1，Ａ2，…，Ａn为样本空间的一组事件。如果,(1)AiAj=（i≠j）;,则称Ａ1，Ａ2，…，Ａn为样本空间的一个划分。,1.完备事件组（样本空间的一个划分）,(2),,例如上例中的Ａ1＝从甲盒取出２个白球，Ａ2＝从甲盒取出２个红球，Ａ3＝从甲盒取出1个白球1个红球，就构成了一个完备事件组。,1.5.1全概率公式,2.全概率公式,定理设试验Ｅ的样本空间为Ω，设事件A1，A2，…，An为样本空间Ω的一个划分，且P(Ａi)>0(i=1,2,…,n)．则对任意事件B，有,B,证明因为AiAj=（i≠j）,按概率的可加性及乘法公式有,例设袋中有12个乒乓球，9个新球，3个旧球．第一次比赛取3球，比赛后放回，第二次比赛再任取3球，求第二次比赛取得3个新球的概率．,3.全概率公式的应用,如果试验E有两个相关的试验E1，E2复合而成，E1有若干种可能的结果，E2在E1的基础上也有若干种可能的结果，如果求和E2的结果有关事件的概率，可以用全概率公式．试验E１的几种可能的结果就构成了完备事件组．,解Ai=第一次比赛恰取出i个新球（i=0,1,2,3)；B=求第二次比赛取得3个新球．显然A0,A1,A2,A3构成一个完备事件组，由全概率公式得：,例1播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子,1%的四等种子,用一等、二等、三等、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5,0.15,0.1、0.05,求这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率。,解设从这批种子中任选一颗是一等、二等、三等、四等种子的事件分别为B1,B2,B3,B4，则它们构成样本空间的一个划分，,用A表示在这批种子中任选一颗，且这颗种子所结的穗含有50粒以上麦粒的事件，则由全概率公式,练习1有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4，迟到的概率分别为0.25，0.3，0.1，0；求他迟到的概率．,解设A1＝他乘火车来，A2＝他乘船来，A3＝他乘汽车来，A4＝他乘飞机来，B＝它迟到。易见：A1,A2,A3,A4构成一个完备事件组，由全概率公式得,=0.30.25＋0.２0.3＋0.１0.1＋0.40=0.145。,练习2两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，问是合格品的概率为多少？,解令B=取到的零件为合格品，Ai=零件为第i台机床的产品,i=1,2.此时,全部的零件构成样本空间Ω，A1,A2构成Ω的一个划分。由全概率公式得:,1.5.2贝叶斯公式,1.引例设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球，求(1)从乙盒取出2个红球的概率;(2)已知从乙盒取出2个红球，求从甲盒取出两个红球的概率。,解(1)设A1=从甲盒取出2个红球，A2=从甲盒取出2个白球；A3＝从甲盒取出1个白球1个红球；B=从乙盒取出2个红球；则A1,A2,A3两两互斥，且A1+A2+A3=Ω,所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3),(2)P(A1|B),2.贝叶斯公式,定理设A1，A2，…，An为样本空间Ω的一个划分，且P(Ai)>0（i=1,2,…,n），则对于任何一事件B(P(B)>0),有,于是（j=1，2，…，n）。,事实上，由条件概率的定义及全概率公式,3.贝叶斯公式的应用,(1)如果试验E有两个相关的试验E1，E2复合而成，E1有若干种可能的结果，E2在E1的基础上也有若干种可能的结果，如果已知和E2的结果有关某事件发生了，求和试验E1的结果有关事件的概率，可以用贝叶斯公式．试验E1的几种可能的结果就构成了完备事件组。(2)如果把样本空间的一个划分A1,A2,…,An看作是导致事件B发生的各种原因，如果B发生了，求P(Aj|B)可以用贝叶斯公式。,例2一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为p，若第一次及格则第二次及格的概率也为p；若第一次不及格则第二次及格的概率为p/2．若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率．,解记Ai={该学生第i次考试及格}，i=1,2．显然为样本空间的一个划分，且已知,于是，由全概率公式得,由贝叶斯公式得,例3某医院对某种疾病有一种看起来很有效的检验方法，97%的患者检验结果为阳性，95%的未患病者检验结果为阴性，设该病的发病率为0.4%．现有某人的检验结果为阳性，问他确实患病的概率是多少？,解记B为检验结果是阳性，则为检验结果是阴性，A表示患有该病，则为未患该病．由题意,得到,由贝叶斯公式得,例4对以往数据分析的结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为90%，而当机器发生某一故障时，其合格率为30%。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为75%，试求某日早上第一件产品是合格时，机器调整得良好的概率。,解设A1=机器调整良好,A2=机器调整不好,B=产品合格，已知P(A1)=0.75，P(A2)=0.25；P(B|A1)=0.9，P(B|A2)=0.3．需要求的概率为P(A1|B)。由贝叶斯公式,P(A1),P(A2)通常称为验前概率。,P(A1|B),P(A2|B)通常称为验后概率。,