多项式理论和多项式除法省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

高一数学拓展讲座高一数学拓展讲座第第1讲：多项式理论及多项式除法讲：多项式理论及多项式除法第1页一、一元多项式理论一、一元多项式理论 多项式多项式是代数学中一个基本概念，也是代数是代数学中一个基本概念，也是代数式中一个，式中一个，对代数式研究都要归结于对多项式对代数式研究都要归结于对多项式研研究。究。多项式恒等变形是解析式恒等变形基础多项式恒等变形是解析式恒等变形基础，它，它把数系通性推广到整式，使运算对象由详细数抽把数系通性推广到整式，使运算对象由详细数抽象为普通字母并把运算法则、运算律抽象成一组象为普通字母并把运算法则、运算律抽象成一组形式化符号，形成严密理论体系，形式化符号，形成严密理论体系，为解代数方程为解代数方程奠定了理论基础奠定了理论基础。第2页（一）一元多项式理论（一）一元多项式理论 1、一元多项式标准形式、一元多项式标准形式 第3页 多项式理论是方程理论、函数理论、不等多项式理论是方程理论、函数理论、不等式理论基础。式理论基础。2、多项式恒等、多项式恒等定理定理1：数域：数域F上两个含有相同变数字母多项上两个含有相同变数字母多项式，假如对于变数字母全部取值，这两个多式，假如对于变数字母全部取值，这两个多项式值都相等，那么称这两个多项式是恒等。项式值都相等，那么称这两个多项式是恒等。第4页 尤其地：一个一元尤其地：一个一元n次多项式，假如对于次多项式，假如对于变数字母任意取值，以标准形式给出多项式变数字母任意取值，以标准形式给出多项式值恒为值恒为0，那么这个多项式系数都等于，那么这个多项式系数都等于0，这，这个多项式称为个多项式称为0多项式。多项式。定理定理2：数域：数域F上以标准形式给出两个多项式上以标准形式给出两个多项式恒等充要条件是这两个多项式对应项分别含恒等充要条件是这两个多项式对应项分别含有相同系数同类项。有相同系数同类项。第5页定理定理3：数域：数域F上以标准形式给出两个多项上以标准形式给出两个多项式，对于变数式，对于变数xn+1个不一样值有相同取值，个不一样值有相同取值，那么这两个多项式恒等。那么这两个多项式恒等。定理定理2、定理、定理3是是“待定系数法待定系数法”理论依据。理论依据。第6页3、多项式整除、多项式整除 第7页第8页因式分解理论基础是因式定理因式分解理论基础是因式定理 4、多项式因式分解、多项式因式分解 中学教材要求：“把一个多项式化成几个整式乘积形式，叫做多项式因式分解”。要求：“因式分解要进行到不能再分解为止。”高等代数中要求因式分解涵义是：“所谓因式分解是把数域F上一个多项式化成几个既约多项式乘积形式。”第9页关于因式分解理论，有两个基本问题：（1）怎样判断一个多项式是否可约？（2）假如一个多项式是可约，怎样分解？对于（1）高等代数作出了回答：在复数域中，一次多项式是既约，任何次数大于1多项式都是可约；在实数域中，次数大于等于3多项式是可约；在有理数域中，情况比较复杂，详细问题详细讨论。第10页分解因式中两个有用结论：第11页多项式长除法多项式长除法Polynomial Long Division 介绍两个多项式除法介绍两个多项式除法第12页有理函数定义：有理函数定义：两个多项式商表示函数称为有理函数两个多项式商表示函数称为有理函数第13页这有理函数是这有理函数是真分式真分式；这有理函数是这有理函数是假分式假分式；第14页有理函数中有理函数中假分式也能够经过假分式也能够经过长除法长除法化为多项化为多项式与真分式和。式与真分式和。正如假分数能够经过正如假分数能够经过除法除法化为整数与真分化为整数与真分数之和：数之和：第15页比如比如假分式假分式真分式真分式多项式多项式有理函数中有理函数中假分式也能够经过假分式也能够经过长除法长除法化为多项化为多项式与真分式和。式与真分式和。第16页余数余数商商除数除数被除数被除数多项式多项式长除法长除法过程过程第17页假分式假分式真分式真分式多项式多项式余数余数商商除数除数被除数被除数第18页