3月泰州市姜堰中考数学模拟试卷附答案和解释.docx

2016年江苏省泰州市姜堰中考数学模拟试卷（3月份） 　 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.） 1．气温由�2℃上升3℃后是（　　） A．�5℃ B．1℃ C．5℃ D．3℃ 2．下面的图形是天气预报的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．下列运算中正确的是（　　） A．a2+a3=a5 B．a2•a4=a8 C．a6÷a2=a3 D．（a2）3=a6 4．下列事件：①367人中一定有两个人的生日相同；②抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和大于2；③“彩票中奖的概率是1%”表示买1000张彩票必有10张会中奖；④如果a、b为实数，那么a+b=b+a．其中是必然事件的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．一元二次方程2x2�3x�5=0的两个实数根分别为x1、x2，则x1+x2的值为（　　） A． B．� C．� D． 6．矩形ABCD中，AB=4，BC=8，矩形CEFG上的点G在CD边，EF=a，CE=2a，连接BD、BF、DF，则△BDF的面积是（　　） A．32 B．16 C．8 D．16+a2 　 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.） 7．函数y= 中，自变量x的取值范围是　　　　　　． 8．因式分解：x2y�9y=　　　　　　． 9．南京地铁三号线全长为44830米，将44830用科学记数法表示为　　　　　　． 10．函数 的图象与直线y=x没有交点，那么k的取值范围是　　　　　　． 11．已知x、y满足方程组： ，则（x+y）x�y的值为　　　　　　． 12．已知一个圆锥底面圆的半径为6cm，高为8cm，则圆锥的侧面积为　　　　　　cm2．（结果保留π） 13．二次函数y=ax2�2ax+3的图象与x轴有两个交点，其中一个交点坐标为（�1，0），则一元二次方程ax2�2ax+3=0的解为　　　　　　． 14．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，则对角线AF=　　　　　　． 15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F．若∠E+∠F=80°，则∠A=　　　　　　°． 16．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2 ，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CEDF的周长不变；③点C到线段EF的最大距离为1．其中正确的结论有　　　　　　．（填写所有正确结论的序号） 　 三、解答题（本大题共有10小题，共102分） 17．（1）计算： （2）解方程组： ． 18．先化简，再求值： ，其中x是不等式组 的一个整数解． 19．房山某中学改革学生的学习模式，变“老师要学生学习”为“学生自主学习”，培养了学生自主学习的能力．小华与小明同学就“最喜欢哪种学习方式”随机调查了他们周围的一些同学，根据收集到的数据绘制了以下的两个统计图．请根据下面两个不完整的统计图回答以下问题： （1）这次抽样调查中，共调查了　　　　　　名学生； （2）补全两幅统计图； （3）根据抽样调查的结果，估算该校1000名学生中大约有多少人选择“小组合作学习”？ 20．某鞋店有A、B、C、D四款运动鞋，元旦期间搞“买一送一”促销活动，用树状图或表格求随机选取两款不同的运动鞋，恰好选中A、C两款的概率． 21．如图所示的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，B（�1，�1），C（5，�1） （1）把△ABC绕点C按顺时针旋转90°后得到△A1B1C1，请画出这个三角形并写出点B1的坐标； （2）以点A为位似中心放大△ABC，得到△A2B2C2，使放大前后的面积之比为1：4，请在下面网格内出△A2B2C2． 22．如图，跷跷板AB的一端B碰到地面时，AB与地面的夹角为18°，且OA=OB=3m． （1）求此时另一端A离地面的距离（精确到0.1m）； （2）跷动AB，使端点A碰到地面，请画出点A运动的路线（写出画法，并保留画图痕迹），并求出点A运动路线的长． （参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32） 23．杨梅一上市，水果店的老板用1200元购进一批杨梅，很快售完；老板又用2500元购进第二批杨梅，所购件数是第一批的2倍，但进价比第一批每件多了5元．第一批杨梅每件进价多少元？ 24．如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD=2∠BAC．过点C作CE⊥DB，垂足为E，直线AB与CE相交于F点． （1）求证：CF为⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为 cm，弦BD的长为3cm，求CF的长． 25．已知直线y=�x+6，交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+mx+n经过A点，且与直线y=�x+6交于另一点P． （1）若P与B点重合，求抛物线的解析式； （2）若P在第一象限，过PE⊥x轴于E点，PF⊥y轴于F点，当四边形PEOF面积为5，求抛物线的解析式； （3）若△OAP为等腰三角形，求m的值． 26．已知，在平面直角从标系中，A点坐标为（0，4），B点坐标为（2，0），C（m，6）为反比例函数 图象上一点．将△AOB绕B点旋转至△A′O′B处． （1）求m的值； （2）若O′落在OC上，连接AA′交OC与D点．①求证：四边形ACA′O′为平行四边形； ②求CD的长度； （3）直接写出当AO′最短和最长时A′点的坐标． 　
2016年江苏省泰州市姜堰中考数学模拟试卷（3月份） 参考答案与试题解析 　 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.） 1．气温由�2℃上升3℃后是（　　） A．�5℃ B．1℃ C．5℃ D．3℃ 【考点】有理数的加法． 【专题】应用题． 【分析】根据有理数的加法，即可解答． 【解答】解：�2+3=1（℃）， 故选：B． 【点评】本题考查了有理数的加法，解决本题的关键是熟记有理数的加法． 　 2．下面的图形是天气预报的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【考点】中心对称图形；轴对称图形． 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【解答】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误． 故选A． 【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 　 3．下列运算中正确的是（　　） A．a2+a3=a5 B．a2•a4=a8 C．a6÷a2=a3 D．（a2）3=a6 【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方． 【分析】根据合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方以及同底数幂的乘法的性质，即可求得答案． 【解答】解：A、a2+a3不是同类项不能合并，故错误； B、a2•a4=a6，故错误； C、a6÷a2=a4，故错误； D、（a2）3=a6，故正确． 故选D． 【点评】此题考查了合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方以及同底数幂的乘法的性质．此题比较简单，注意掌握指数的变化是解此题的关键． 　 4．下列事件：①367人中一定有两个人的生日相同；②抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和大于2；③“彩票中奖的概率是1%”表示买1000张彩票必有10张会中奖；④如果a、b为实数，那么a+b=b+a．其中是必然事件的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】随机事件． 【分析】根据一年有365天，则可判断367人中一定有两个人的生日相同；抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和可能为2；买1000张彩票可能有10张会中奖，也可能一张也不中奖；如果a、b为实数，那么a+b=b+a．然后根据随机事件和必然事件的定义即可得到答案． 【解答】解：一年有365天，则367人中一定有两个人的生日相同，所以①是必然事件； 抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和可能为2，所以②是随机事件； 彩票中奖的概率是1%，表示中奖的机会为1%，则买1000张彩票可能有10张会中奖，也可能一张也不中奖，所以③是随机事件； 如果a、b为实数，则a+b=b+a，所以④是必然事件． 故选：B． 【点评】本题考查了随机事件：随机事件指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件．也考查了必然事件． 　 5．一元二次方程2x2�3x�5=0的两个实数根分别为x1、x2，则x1+x2的值为（　　） A． B．� C．� D． 【考点】根与系数的关系． 【专题】计算题． 【分析】直接根据根与系数的关系求解． 【解答】解：根据题意得x1+x2=� = ． 故选D． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=� ，x1x2= ． 　 6．矩形ABCD中，AB=4，BC=8，矩形CEFG上的点G在CD边，EF=a，CE=2a，连接BD、BF、DF，则△BDF的面积是（　　） A．32 B．16 C．8 D．16+a2 【考点】矩形的性质． 【分析】根据两个矩形面积之和加上三角形DGF面积，减去△ABD面积与△BEF面积，求出△BDF面积即可． 【解答】解：根据题意得： △BDF的面积=8×4+2a•a+ ×2a（4�a）� ×8×4� a（2a+8）=32+2a2+4a�a2�16�a2�4a=16； 故选：B． 【点评】本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算、整式的混合运算；根据题意得出△BDF面积的计算方法是解决问题的突破口． 　 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.） 7．函数y= 中，自变量x的取值范围是　x≠�3　． 【考点】函数自变量的取值范围． 【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解． 【解答】解：由题意得，x+3≠0， 解得x≠�3． 故答案为：x≠�3． 【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 　 8．因式分解：x2y�9y=　y（x+3）（x�3）　． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用． 【专题】计算题． 【分析】先提取公因式y，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【解答】解：x2y�9y， =y（x2�9）， =y（x+3）（x�3）． 【点评】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 　 9．南京地铁三号线全长为44830米，将44830用科学记数法表示为　4.483×104　． 【考点】科学记数法―表示较大的数． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：将44830用科学记数法表示为4.483×104． 故答案为：4.483×104． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 　 10．函数 的图象与直线y=x没有交点，那么k的取值范围是　k＞1　． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【专题】计算题． 【分析】函数 的图象与直线y=x没有交点，根据正比例函数及反比例函数的性质作答即可． 【解答】解：直线y=x中，k=1＞0， ∴过一、三象限， 要使两个函数没交点， 那么函数y= 的图象必须位于二、四象限， 那么1�k＜0， ∴k＞1． 故答案为：k＞1． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，难度不大，关键是结合函数图象解答较为简单． 　 11．已知x、y满足方程组： ，则（x+y）x�y的值为　 　． 【考点】解二元一次方程组． 【专题】计算题；一次方程（组）及应用． 【分析】方程组两方程相加减求出x+y与x�y的值，代入原式计算即可得到结果． 【解答】解： ， ①+②得：7（x+y）=21，即x+y=3； ①�②得：�3（x�y）=3，即x�y=�1， 则原式= ， 故答案为： 【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 　 12．已知一个圆锥底面圆的半径为6cm，高为8cm，则圆锥的侧面积为　60π　cm2．（结果保留π） 【考点】圆锥的计算． 【专题】计算题． 【分析】先根据圆锥的底面半径和高求出母线长，圆锥的侧面积是展开后扇形的面积，计算可得． 【解答】解：圆锥的母线= =10cm， 圆锥的底面周长2πr=12πcm， 圆锥的侧面积= lR= ×12π×10=60πcm2． 故答案为60π． 【点评】本题考查了圆锥的计算，圆锥的高和圆锥的底面半径圆锥的母线组成直角三角形，扇形的面积公式为 lR． 　 13．二次函数y=ax2�2ax+3的图象与x轴有两个交点，其中一个交点坐标为（�1，0），则一元二次方程ax2�2ax+3=0的解为　x1=�1，x2=3　． 【考点】抛物线与x轴的交点． 【分析】根据题意把x=�1代入ax2�2ax+3=0求出a，得到关于x的一元二次方程，解方程得到答案． 【解答】解：根据题意，x=�1是ax2�2ax+3=0的根， ∴a=�1， 一元二次方程�x2+2x3=0的解为：x1=�1，x2=3， 故答案为：x1=�1，x2=3． 【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键，方程ax2+bx+c=0的两根就是抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标． 　 14．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，则对角线AF=　2 　． 【考点】正多边形和圆． 【分析】作BG⊥AF，垂足为G．构造等腰三角形ABF，在直角三角形ABG中，求出AG的长，即可得出AF． 【解答】解：作BG⊥AF，垂足为G．如图所示： ∵AB=BF=2， ∴AG=FG， ∵∠ABF=120°， ∴∠BAF=30°， ∴AG=AB•cos30°=2× = ， ∴AC=2AG=2 ； 故答案为2 ． 【点评】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、等腰三角形的性质、三角函数；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出AG是解决问题的关键． 　 15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F．若∠E+∠F=80°，则∠A=　50　°． 【考点】圆内接四边形的性质． 【分析】连结EF，如图，根据圆内接四边形的性质得∠A+∠BCD=180°，根据对顶角相等得∠BCD=∠ECF，则∠A+∠ECF=180°，根据三角形内角和定理得∠ECF+∠1+∠2=180°，所以∠1+∠2=∠A，再利用三角形内角和定理得到∠A+∠AEB+∠1+∠2+∠AFD=180°，则∠A+80°+∠A=180°，然后解方程即可． 【解答】解：连结EF，如图， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠A+∠BCD=180°， 而∠BCD=∠ECF， ∴∠A+∠ECF=180°， ∵∠ECF+∠1+∠2=180°， ∴∠1+∠2=∠A， ∵∠A+∠AEF+∠AFE=180°， 即∠A+∠AEB+∠1+∠2+∠AFD=180°， ∴∠A+80°+∠A=180°， ∴∠A=50°． 故答案为：50． 【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了三角形内角和定理． 　 16．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2 ，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CEDF的周长不变；③点C到线段EF的最大距离为1．其中正确的结论有　①③　．（填写所有正确结论的序号） 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形． 【分析】①作常规辅助线连接CD，由SAS定理可证△CDF和△ADE全等，从而可证∠EDF=90°，DE=DF．所以△DFE是等腰直角三角形； ②当E、F分别为AC、BC中点时，EF取最小值，得到EF的值是变化的，DE和DF也是变化的，于是四边形CEDF的周长变，不正确， ③△DEF是等腰直角三角形， DE=EF，当DF与BC垂直，即DF最小时，FE取最小值2，此时点C到线段EF的最大距离是1． 【解答】解：①连接CD； ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB； ∵AE=CF， ∴△ADE≌△CDF（SAS）； ∴ED=DF，∠CDF=∠EDA； ∵∠ADE+∠EDC=90°， ∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°， ∴△DFE是等腰直角三角形． ∴①正确； ②当E、F分别为AC、BC中点时，EF取最小值， ∴EF的值是变化的， ∴DE和DF也是变化的， ∴四边形CEDF的周长变， ∴②不正确， ③△DEF是等腰直角三角形， DE=EF， 当EF∥AB时，∵AE=CF， ∴E，F分别是AC，BC的中点，故EF是△ABC的中位线， ∴EF取最小值 =2， ∵CE=CF= ， ∴此时点C到线段EF的最大距离= EF=1， ∴③正确， 故答案为：①③ 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正方形、等腰三角形、直角三角形性质等知识，找到EF∥BC时取最小值是解题关键． 　 三、解答题（本大题共有10小题，共102分） 17．（1）计算： （2）解方程组： ． 【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；解二元一次方程组；特殊角的三角函数值． 【专题】计算题；实数． 【分析】（1）原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果； （2）方程组利用加减消元法求出解即可． 【解答】解：（1）原式=9+1�3=7； （2）①�②得：2x=2，即x=1， 把x=1代入②得：y=0， 则方程组的解为 ． 【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 　 18．先化简，再求值： ，其中x是不等式组 的一个整数解． 【考点】分式的化简求值；一元一次不等式组的整数解． 【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再把分子分母因式分解，约分后得到原式=�x2�x+2，然后解不等式组得到整数解，再把满足条件的一个整数代�x2�x+2进行计算即可． 【解答】解：原式= • = • =�（x+2）（x�1） =�x2�x+2， 解不等式组 ， 由①得x≤2， 由②得x＞�1， 所以不等式组的解集为�1＜x≤2，其整数解为0，1，2， 由于x不能取1和2， 所以当x=0时，原式=�0�0+2=2． 【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式的分子或分母因式分解，再进行通分或约分，得到最简分式或整式，然后把满足条件的字母的值代入计算得到对应的分式的值．也考查了解一元一次不等式组． 　 19．房山某中学改革学生的学习模式，变“老师要学生学习”为“学生自主学习”，培养了学生自主学习的能力．小华与小明同学就“最喜欢哪种学习方式”随机调查了他们周围的一些同学，根据收集到的数据绘制了以下的两个统计图．请根据下面两个不完整的统计图回答以下问题： （1）这次抽样调查中，共调查了　500　名学生； （2）补全两幅统计图； （3）根据抽样调查的结果，估算该校1000名学生中大约有多少人选择“小组合作学习”？ 【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图． 【分析】（1）根据个人自学后老师点拨的人数和所占的百分比求出总人数即可； （2）用小组合作学习的人数除以总人数得出小组合作学习所占的百分比，用总人数减去其他学习方式的人数求出教师传授的人数，再除以总人数，求出教师传授的人数所占的百分比，从而补全统计图； （3）用该校的总人数乘以“小组合作学习”所占的百分比即可得出答案． 【解答】解：（1）这次抽样调查中，共调查的学生数是： =500（名）； 故答案为：500．
（2）小组合作学习所占的百分比是： ×100%=30%， 教师传授的人数是：500�300�150=50（人）， 教师传授所占的百分比是： ×100%=10%； 补图如下：
（3）根据题意得： 1000×30%=300（人）． 答：该校1000名学生中大约有300人选择“小组合作学习”． 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 　 20．某鞋店有A、B、C、D四款运动鞋，元旦期间搞“买一送一”促销活动，用树状图或表格求随机选取两款不同的运动鞋，恰好选中A、C两款的概率． 【考点】列表法与树状图法． 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中A、C两款的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，恰好选中A、C两款的有2种情况， ∴恰好选中A、C两款的概率为： = ． 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 　 21．如图所示的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，B（�1，�1），C（5，�1） （1）把△ABC绕点C按顺时针旋转90°后得到△A1B1C1，请画出这个三角形并写出点B1的坐标； （2）以点A为位似中心放大△ABC，得到△A2B2C2，使放大前后的面积之比为1：4，请在下面网格内出△A2B2C2． 【考点】作图-位似变换；作图-旋转变换． 【分析】（1）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用位似图形的性质进而得出对应点位置即可得出答案． 【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求，点B1的坐标为：（5，5）；
（2）如图所示：△A2B2C2． 【点评】此题主要考查了位似变换和旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键． 　 22．如图，跷跷板AB的一端B碰到地面时，AB与地面的夹角为18°，且OA=OB=3m． （1）求此时另一端A离地面的距离（精确到0.1m）； （2）跷动AB，使端点A碰到地面，请画出点A运动的路线（写出画法，并保留画图痕迹），并求出点A运动路线的长． （参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32） 【考点】解直角三角形的应用；弧长的计算． 【分析】（1）过点A作地面的垂线，垂足为C，在Rt△ABC中，根据正弦函数即可求得； （2）以点O为圆心，OA长为半径画弧，交地面于点D，则 就是端点A运动的路线；根据弧长公式即可求得． 【解答】解：（1）过点A作地面的垂线，垂足为C， 在Rt△ABC中，∠ABC=18°， ∴AC=AB•sin∠ABC =6•sin18° ≈6×0.31≈1.9． 答：另一端A离地面的距离约为1.9 m． （2）画法：以点O为圆心，OA长为半径画弧，交地面于点D，则 就是端点A运动的路线． 端点A运动路线的长为 = （m）． 答：端点A运动路线的长为 m． 【点评】本题考查了学生利用三角函数解决实际问题的能力以及弧长的计算．这就要求学生把实际问题转化为直角三角形的问题，利用三角函数解决问题． 　 23．杨梅一上市，水果店的老板用1200元购进一批杨梅，很快售完；老板又用2500元购进第二批杨梅，所购件数是第一批的2倍，但进价比第一批每件多了5元．第一批杨梅每件进价多少元？ 【考点】分式方程的应用． 【分析】设第一批杨梅每件进价是x元，则第二批每件进价是（x+5）元，根据等量关系：第二批杨梅所购件数是第一批的2倍，列方程求解． 【解答】解：设第一批杨梅每件进价x元，根据题意得 ×2= ， 解得 x=120． 经检验，x=120是原方程的根． 答：第一批杨梅每件进价为120元． 【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验． 　 24．如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD=2∠BAC．过点C作CE⊥DB，垂足为E，直线AB与CE相交于F点． （1）求证：CF为⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为 cm，弦BD的长为3cm，求CF的长． 【考点】切线的判定． 【专题】证明题． 【分析】（1）连结OC，如图，由于∠A=∠OCA，则根据三角形外角性质得∠BOC=2∠A，而∠ABD=2∠BAC，所以∠ABD=∠BOC，根据平行线的判定得到OC∥BD，再CE⊥BD得到OC⊥CE，然后根据切线的判定定理得CF为⊙O的切线； （2）解：作OH⊥BD于H，如图，根据垂径定理得到BH=DH= BD= ，在Rt△OBH中可利用勾股定理计算出OH=2，易得四边形OHEC为矩形，则CE=OH=2，HE=OC= ，BE=1，然后证明△FBE∽△FOC，利用相似比可计算出CF． 【解答】（1）证明：连结OC，如图， ∵OA=OC， ∴∠A=∠OCA， ∴∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A， ∵∠ABD=2∠BAC， ∴∠ABD=∠BOC， ∴OC∥BD， ∵CE⊥BD， ∴OC⊥CE， ∴CF为⊙O的切线； （2）解：作OH⊥BD于H，如图， 则BH=DH= BD= ， 在Rt△OBH中，∵OB= ，BH= ， ∴OH= =2， 易得四边形OHEC为矩形， ∴CE=OH=2，HE=OC= ， ∴BE=NE�BH=1， ∵BE∥OC， ∴△FBE∽△FOC， ∴ = ，即 = ， ∴CF= ． 【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了相似三角形的判定与性质． 　 25．已知直线y=�x+6，交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+mx+n经过A点，且与直线y=�x+6交于另一点P． （1）若P与B点重合，求抛物线的解析式； （2）若P在第一象限，过PE⊥x轴于E点，PF⊥y轴于F点，当四边形PEOF面积为5，求抛物线的解析式； （3）若△OAP为等腰三角形，求m的值． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）分别令x、y=0，可求出B、A点的坐标，再利用待定系数法即可得出结论； （2）由四边形PEOF面积为5可得出P点的坐标，结合A点的坐标利用待定系数法即可求得结论； （3）设出P点坐标，由两点间的距离公式表示出△OAP的三条边，再分类讨论相邻两边相等得出结论． 【解答】解：（1）令x=0，则y=6； 令y=0，则�x+6=0，解得：x=6． 故A点坐标为（6，0），B点坐标为（0，6）． ∵P与B点重合， ∴有 ，解得： ． 故当P与B点重合，抛物线的解析式为y=x2�7x+6． （2）结合题意画出图形，如图1所示． ∵点P在线段AB上， ∴设P点坐标为（a，�a+6）（0＜m＜6），则有PE=6�m，PF=m． 四边形PEOF面积=PE•PF=（6�a）×a=5， 解得：a=1，或a=5， 即点P的坐标为（1，5）或（5，1）． 当点P坐标为（1，5）时，有 ， 解得： ， 此时抛物线的解析式为y=x2�8x+12； 当点P坐标为（5，1）时，有 ， 解得： ， 此时抛物线的解析式为y=x2�12x+36． 综上可知，抛物线的解析式为y=x2�8x+12或者y=x2�12x+36． （3）设点P的坐标为（b，6�b）． ∵点O（0，0），点A（6，0）， ∴OP= ，OA=6�0=6，PA= ． ∵△OAP为等腰三角形， ∴分三种情况考虑． ①当OP=OA时，有 =6， 解得：b=0，或b=6（舍去）， 此时P点的坐标为（0，6）． 同（1）一样，故m=�7； ②当OP=PA，即 = ， 解得：b=3， 此时P点的坐标为（3，3）． 将P（3，3），A（6，0）代入抛物线解析式，得： ，解得m=�10； ③当OA=PA时，有6= ， 解得：b=6±3 ， 此时P点的坐标为（6+3 ，�3 ）或（6�3 ，3 ）． 将P（6+3 ，�3 ），A（6，0）代入抛物线解析式，得： ，解得m=�3 �13； 将P（6�3 ，3 ），A（6，0）代入抛物线解析式，得： ，解得m=3 �13． 综上可知：当△OAP为等腰三角形，m的值为�7，�10，�3 �13和3 �13． 【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式、长方形的面积公式、两点间的距离公式以及解一元二次方程，解题的关键：（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）利用长方形的面积找出P点的坐标；（3）由两点间的距离公式分类讨论相邻两边相等的情况．本题属于中档题，（1）（2）难度不大，（3）难度也不大，单运算过程很繁琐，这就需要极大的耐心一步步运算． 　 26．已知，在平面直角从标系中，A点坐标为（0，4），B点坐标为（2，0），C（m，6）为反比例函数 图象上一点．将△AOB绕B点旋转至△A′O′B处． （1）求m的值； （2）若O′落在OC上，连接AA′交OC与D点．①求证：四边形ACA′O′为平行四边形； ②求CD的长度； （3）直接写出当AO′最短和最长时A′点的坐标． 【考点】反比例函数综合题；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值． 【专题】综合题． 【分析】（1）只需把点C的坐标代入反比例函数的解析式，就可解决问题； （2）①过点C作CH⊥y轴与H，如图1，易证AC=OA=O′A′，要证四边形ACA′O′为平行四边形，只需证AC∥O′A′，只需证∠ACO=∠A′O′C即可； ②由平行四边形ACA′O′可得CD= CO′，要求CD，只需求CO′，只需求出OC及OO′即可； （3）根据两点之间线段最短可知：当点O′在线段AB上时AO′最短（如图2），当点O′在线段AB的延长线上时AO′最长（如图3）；过点O′作O′N⊥x轴于N，过点A′作A′M⊥O′N于M，易证△BNO′∽△BOA，△A′MO′∽△O′NB，然后只需运用相似三角形的性质即可解决问题． 【解答】解：（1）∵C（m，6）为反比例函数 图象上一点， ∴m= =2 ；
（2）①过点C作CH⊥y轴与H，如图1． ∵点C的坐标为（2 ，6）， ∴CH=2 ，OH=6， ∴tan∠COH= = ，AC= =4， ∴∠COH=30°，OA=AC， ∴∠BOO′=60°，∠ACO=∠AOC=30°． ∵BO′=BO， ∴∠BO′O=∠BOO′=60°． ∵∠A′O′B=∠AOB=90°， ∴∠CO′A′=30°， ∴∠ACO=∠CO′A′， ∴AC∥O′A′． 又∵O′A′=OA=AC， ∴四边形ACA′O′为平行四边形； ②∵BO′=BO，∠BOO′=60°， ∴△BOB′是等边三角形， ∴OO′=OB=2． ∵∠CHO=90°，CH=2 ，OH=6， ∴OC=4 ， ∴CO′=OC�OO′=4 �2． ∵四边形ACA′O′为平行四边形， ∴CD=O′D= CO′=2 �1； （3）当AO′最短时A′点的坐标（2+ ， ），当AO′最长时A′点的坐标（2� ，� ）． 提示：①当点O′在线段AB上时，AO′最短， 过点O′作O′N⊥x轴于N，过点A′作A′M⊥O′N于M，如图2． ∵O′N∥OA， ∴△BNO′∽△BOA， ∴ = = ， ∴ = = ， ∴BN= ，O′N= ． ∵∠A′MO′=∠A′O′B=∠O′NB=90°， ∴∠MA′O′=∠NO′B， ∴△A′MO′∽△O′NB， ∴ = =2， ∴A′M= ，O′M= ， ∴A′（2� + ， + ）即（2+ ， ）； ②当点O′在线段AB延长线上时，AO′最长， 过点O′作O′N⊥x轴于N，过点A′作A′M⊥O′N于M，如图3． 同理可得：A′（2� ，� ）． 【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值、勾股定理等知识，利用平行四边形的对角线互相平分是解决第（2）②小题的关键，构造K型相似是解决第（3）小题的关键． 　

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