数值分析期末试题.doc

(完整word版)数值分析期末试题
第一套
一、（8分）用列主元素消去法解下列方程组：

二、（10分）依据下列数据构造插值多项式：y(0)=1,y(1)= —2,(0)=1, (1)=—4

三、（12分）分别用梯形公式和辛普生公式构造 复化的梯形公式、复化的辛普生公式并利用复化的梯形公式、复化的辛普生公式计算下列积分：
n=4

四、（10分）证明对任意参数t，下列龙格－库塔方法是二阶的。

五、（14分）用牛顿法构造求公式，并利用牛顿法求。保留有效数字五位。
六、（10分）方程组AX=B 其中A= 试就AX=B建立雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法，并讨论a取何值时
迭代收斂。
七、（10分）试确定常数A,B,C,a,使得数值积分公式 有尽可能多的代数精确度。并求该公式的代数精确度。
八、{6分}证明： 其中A为矩阵，V为向量.
第二套
一、（8分）用列主元素消去法解下列方程组：

二、（12分）依据下列数据构造插值多项式：y(0)=(0)=0,
y(1)=(1)= 1,y(2)=1

三、（14分）分别用梯形公式和辛普生公式构造 复化的梯形公式、复化的辛普生公式,并利用复化的梯形公式、
复化的辛普生公式及其下表计算下列积分：

x
0
/12
2/12
3/12
4/12
5/12
/2
sinx
0.00000
0.25882
0.50000
0.70711
0.86603
0.96593
1.00000

四、（12分）证明下列龙格－库塔方法是三阶的。

五、（10分）试确定常数A,B,C使得数值积分公式

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有尽可能多的代数精确度。并求该公式的代数精确度。
六、（14分）用牛顿法构造求公式，验证其收敛性。并求1/ e(保留4位有效数字)。
七、{10分}证明：设非负函数N(x)=为Rn上任意向量范数，则N(x)是x分量x1,x2,…xn的连续函数.
参考答案
一、解：（8分）

增广矩阵：
(4分)
解得：x1=2/3, x2=-1/3 x3=1./2 （8分）
二、解：（12分）
注：直接待定系数简单，或者用牛顿茶商
设 P(x)=0(x)y(0)+1(x) y(1)+2(x)y(2)+0(x) y’(0)+1(x) y’(1) (4分)
解得：
1(x)=x2(x-2)2 2(x)=(1/12)x2(x-1)2 1(x)=-x2(x-1)(x-2) (4分)
P(x)= 1(x) y(1)+2(x)y(2)+1(x) y’(1)= 1(x) +2(x)+1(x)
= x2(x-2)2+(1/12)x2(x-1)2 +x2(x-1)(x-2) (4分)
三、解：（14分） 推证复化的梯形公式 (3分)
推证复化的辛普生公式 (3分)
利用复化的梯形公式=0.96593
利用复化的辛普生公式=1.000003

四、（12分）证明：

k3=f(xn,yn)+2h/3f’(xn,yn)+(2h/3)2f’’(xn,yn)/2+0(h2) (4分)
yn+1=yn+h/4(3 k3+k1)= yn+ h f(xn,yn)+h2f’(xn,yn)/2+h3/6f’’(xn,yn) +0(h3) (8分)
yn+1*= yn+ h yn’ +h2yn’’/2+h3/6 yn’’’ +0(h3)
yn+1 -yn+1*=0(h3)
则该公式是三阶的 (12分)

五、解：（10分） 将1，x,x2代入原式得A+B+C=2 B+2C=2 B+4C=8/3
解得：A=1/3， B=4/3 C =1/3
(8分)
代数精确度为2 (10分)。

六、证明：（14分）1/x-c=0
Xk+1=xk-=xk(2-cxk)
Xk+1-1/c=-c(xk-1/c)2
设rk=1-cxk rk+1=rk2 反复递推 rk=(8分)
若选初值0<x0<2/c <1这时rk趋近于0，从而叠代收敛 (10分)
用牛顿法构造求1/ eX5=0.3679 （14分）

七、{10分}证明：设x=y= (4分)

..(10分)

第三套
一、 （10分）利用列主元素消去法解方程：

二、 （15分）证明下面龙格-库塔方法是三阶的：

三、 （10分）求3次插值多项式使：P(0)=3, P(1)=5,,,
四、 （20分）确定下面公式中的a,b，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数:

五、（20分）分别利用梯形公式和Simpson公式推导复化的梯形公式和Simpson公式，并分别利用复化的梯形公式和Simpson公式计算积分(n=8)
六、（15分）用二分法求方程f(x)=x3+4x2-10在区间[1,1.5]上的根。（1）要得到具有3位有效数的近似根，须作几次二分；（2）用二分法求具有3位有效数的近似根。
七、（10分）设是中的任意范数，，则有
参考答案
五、 （10分）利用列主元素消去法解方程：
解：
（5分）
x1=139/20, x2=5/2, x3=-3/20 （10分）
六、 （15分）证明下面龙格-库塔方法是三阶的：
证:（5分）
（9分）
（13分）
y(xn+1)- yn+1=o(h3) （15分）

七、 （10分）求3次插值多项式使：P(0)=3, P(1)=5,,,
解：设 （2分）

（6分）
3+4x-2x2+6x2(x-1) （10分）
八、 （20分）确定下面公式中的a,b，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数:

解：将1,x，x2,,x3代入（4分）
得（10分）

a=b=1/2（15分）
将1,x，x2,,x3,x4,x5代入公式的两端，可得该公式具有4次代数精确度。（20分）
五、（20分）分别利用梯形公式和Simpson公式推导复化的梯形公式和Simpson公式，并分别利用复化的梯形公式和Simpson公式计算积分(n=8)
证: 利用梯形公式推导复化的梯形公式（5分）
Simpson公式推导复化Simpson公式（10分）
解：利用复化的梯形公式(n=8) =17.22774 （15分）
Simpson公式计算积分 (n=8)=17.32222 （20分）
六、（15分）用二分法求方程f(x)=x3+4x2-10在区间[1,1.5]上的根。（1）要得到具有3位有效数的近似根，须作几次；（2）用二分法求具有3位有效数的近似根。
解：须作3次（5分）
将[1,1.5] [1，1.25], [1.25,1.5] f(1)<0, f(1.25) <0, （8分）
将[1.25,1.5] 二分为[1.25,1.375],[1.375,1.5] f(1.375) >0, （10分）
将[1.25,1.375]二分为[1.25,1.3125],[1.3125,1.375] f(1.3125) <0（12分）
[1.3125,1.375]的 中点为方程f(x)=x3+4x2-10的近似根（15分）
七、设是中的任意范数，，则有
证: 设是的任意特征值，x为相应的向量, （2分）
则, （8分）（10分）

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